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湖南省湘潭市2026届高三上学期第一次摸底数学检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知复数满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．[5分]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．[5分]双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．[5分]已知函数 ，若方程的实根个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的一个周期
B．在上递减
C．将图象向左平移个单位可得到的图象
D．若，则
10．[5分]如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（ ）
A．
B．平面与侧面的交线长为
C．点到平面的距离为
D．与平面所成角的余弦值为
11．[5分]已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（ ）
A．F的坐标为 B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]记为等差数列的前n项和，若，，则 .
13．[5分]若圆与抛物线的准线相切，则 ．
14．[5分]已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 .
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[14分]近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑．为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生．按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计．通过整理得到如图所示的频率分布直方图．已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人．
参考数据与参考公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中．

（1）求的值．
（2）估计月消费金额的中位数
（3）依据小概率值的独立性检验，分析月消费金额在2000元以上的大学生与性别是否有关？
16．[14分]某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
17．[16分]已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，.
（1）证明：为奇函数.
（2）证明：在上是减函数.
（3）求不等式的解集.
18．[18分]已知数列的前n项和为，且（）.
（1）若为等比数列，求公比q的值；
（2）若，
（ⅰ）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求数列的前n项和.
19．[18分]为考察某种药物预防和治疗流感的效果，某药物研究所用100只小白鼠进行了分组试验，该分组试验分两个阶段：第一阶段为5天的观察预防期，第二阶段为10天的观察治疗期.第一阶段结束时，统计数据如下：患病小白鼠的比例为，未服药小白鼠的比例为，未服药且未患病的小白鼠有20只.
（1）完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，推断该药物对预防流感是否有效.
药物 流感 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
（2）第一阶段结束时，若在患病的小白鼠中随机抽取2只，用X表示服药的只数，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
湖南省湘潭市2026届高三上学期第一次摸底数学检测试卷参考答案
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】ACD
10．【答案】BC
11．【答案】BC
12．【答案】95
13．【答案】
14．【答案】54
15．【答案】（1）
（2）元
（3）有关．
【详解】（1）由直方图知，各矩形面积之和为1，
则，解得；
（2）由频率分布直方图知，
前3个矩形面积之和为：；
前4个矩形面积之和为： ，
设中位数为，∴，
∴，∴月消费金额的中位数为百元，即元；
（3）故月消费金额超过2000元的大学生人数为人，
由分层抽样知，男生、女生抽样的人数分别为600人和400人，
由题知，月消费金额超过2000元的男生人数为100人，由条件可以列出列联表：
男生 女生 合计
消费金额不超过2000元 500人 250人 750人
消费金额超过2000元 100人 150人 250人
合计 600人 400人 1000人
提出零假设：月消费金额在2000元以上的大学生与性别无关．
故，
所以在犯错的概率不超过的情况下可以判断月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关．
16．【答案】（1）0.006；（2）；（3）.
【详解】（1）因为，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为
17．【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
（3）.
【详解】（1）令，则，所以，
令，则，
所以且定义域为R，故为奇函数；
（2）设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，故在上单调递减；
（3）因为为奇函数，且，所以，
不等式化为，
因为在上单调递减，所以，即，解得，
即不等式的解集是.
【知识点】数列求和方法之错位相减法、等比数列的判定与证明、等比数列的概念与通项公式
18．【答案】（1）；
（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）.
【详解】（1）数列中，，由，得，
则，解得或，
当时，，，，
而，显然不恒成立，因此，
当时，，，，符合题意，
所以.
（2）（ⅰ）由，得，两式相减得，
则，当时，，
而，，则，即，，
所以数列为等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则，
，两式相减得，
当时，，
于是，，则；
当时，，
于是，，则，
因此，，，
则，，
两式相减得，
所以.
19．【答案】（1）列联表见详解，有效
（2）分布列见详解，
【详解】（1）因为患病小白鼠的比例为，所以患病小白鼠有只，
则不患病的小白鼠有100-45=55只，又未服药小白鼠的比例为，
所以未服药小白鼠有，从而完善2×2列联表，如下表：
药物 流感 合计
未患病 患病
未服用 20 20 40
服用 35 25 60
合计 55 45 100
零假设为：该药物对预防流感无关联.
因为，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，
没有充分证据表明该药物对预防流感有效.
（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
0 1 2
所以X的数学期望为.
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