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湖南省湘潭市2026届高一上学期第一次摸底数学检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知命题，；命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
2．[5分]已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．[5分]已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．[5分]已知全集，集合A，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．[5分]如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]已知，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B．若，则“”的充要条件是“”；
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“”是“”的充分不必要条件.
10．[5分]设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．[5分]已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为3
D．的最小值为2
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
13．[5分]已知集合，,,，则集合中的元素个数为____.
14．[5分]若存在，使不等式成立，则的取值范围为________.
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[14分]随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
16．[15分]已知集合，，.
（1）求；
（2），求的取值范围．
17．[15分]给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
（1）当时，求的所有可能取值；
（2）当时，求满足的的个数；
（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由．
（注：实数满足：，当且仅当时取“”号）
18．[18分]由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点 棱 面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.
（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
（3）已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.
19．[18分]已知曲线（）上一点（）处的切线分别交直线，直线于点，，记点，，.
（1）设，的面积分别为，，解不等式；
（2）在曲线与线段，线段围成的区域内，以为一顶点作，设所有这些三角形的面积最大值为，求的极值.
湖南省湘潭市2026届高一上学期第一次摸底数学检测试卷参考答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】AB
10．【答案】ACD
11．【答案】ABC
12．【答案】
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】（1）；
（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元
【详解】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680万元．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，
∴；
∵，∴；
.
（2）
①当时，不满足题意（舍）；
②当时，，
，；
③当时，，，
综上，
17．【答案】（1）0，2，4
（2）12
（3）不可能，理由见详解
【详解】（1）若时，则，且，
可得，
所以的所有可能取值为0，2，4.
（2）若对调两个位置的序号之差大于2，则，
可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，
若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能；
若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组，
由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能；
所以的个数为.
（3）不可能，理由如下：
设专家甲的排序为，记；
专家乙的排序为，记；
由题意可得：，，
因为，
结合的任意性可得，
所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为.
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）设足球有个正五边形，则有个正六边形，
足球的顶点，棱数，
由欧拉公式得，
解得，即此足球中有个面为正五边形，
所以此足球的棱数.
（2）由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，
当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，
又，即，解得，
故个顶点的凸多面体，至多有条棱.
（3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，
则此多面体棱数，，即，
由欧拉公式，得，
所以，即，即，
所以，
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
综上：棱数可能为.
19．【答案】（1）
（2）的极大值为，极小值为
【详解】（1）因为，，
所以：，即，其中
得：，.
所以，
故或，
由知不等式的解集为.
（2）知在内，要使得面积最大，必须在线段或线段上，有三种情况：
①均在线段上，此时的最大面积为的面积（如图1）；
②均在线段上，此时的最大面积为的面积（如图1）；
③分别在线段上（如图2），设，，
其中，.
此时的面积
当时，，，
设是上的一次函数或常数函数，
，
，.
所以，，，.
当时，，，
设是上的一次函数或常数函数，
，，
其中
所以，，，.
所以
当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的极大值为，
当时，，，单调递增；
所以的极小值为.
综上，的极大值为，极小值为.
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