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1.1生活中的立体图形培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．下列图形中，面与面相交是曲线的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．（2018七上·郓城期中）下面现象说明“线动成面”的是（　　）
A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
3．（2024七上·化州期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将如图所示放置的一个直角三角形ABC，（∠C=90°），绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的(　　)
A． B． C． D．
5．（2024七上·新会期末）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023七上·洪山期中） 20个棱长为的小正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（　　）.
A． B． C． D．
7．（2022七上·铅山期末）“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去太原植物园游玩，中途两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问这个几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．圆台
8．（2021七上·峄城月考）如图，5个边长为 的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023七上·重庆市月考）两个同样大小的正方体形状积木，每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于-3，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于 　 　．
10．（人教版七年级数学上册 第四章几何图形初步 单元检测卷）用棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，把这个几何体放在桌子上，并把暴露的面涂上颜色，那么涂颜色面的面积之和是　 　cm2.
11．（2024·广州开学考）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 7 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于　 　。
12．（2022七上·李沧期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 　 　．
13．（2018七上·唐山期中）如图，由18个棱长为2cm的正方体拼成的立体图形，它的表面积是　 　cm2.
三、解答题
14．如图，是一个正六棱柱，它的底面边长是3cm，高是6cm．
（1）这个棱柱的侧面积是多少？
（2）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少？
（3）这个棱柱共有多少个顶点？
（4）通过观察，试用含n的式子表示n棱柱的面数与棱的条数．

15．（2023七上·姑苏月考）如图所示的某种玩具是由两个正方体木块用胶水粘合而成的，它们的棱长分别为和为了美观，现在要在其表面喷涂油漆不包括黏合处，已知喷涂需要油漆，那么喷涂这个玩具共需油漆多少克？
16．（2021七上·锦江期中）一个正方体.六个面上分别写着6个连续整数．且每两个相对面上的两个数的和都相等，如图所示.能看到的三个面上所写的数为16， 19，20，问这6个整数的和为多少
17．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册1.1《生活中的立体图形》同步训练）有3个棱长分别是3cm，4cm，5cm的正方体组合成如图所示的图形．其露在外面的表面积是多少？（整个立体图形摆放在地上）
18．（2023七上·吉州月考）观察下列多面体，并把表格补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b 9 12
面数c 5 8
（1）完成表格中的数据；
（2）根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱；
（3）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱．
19．建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 　 　
长方体 8 6 12
正八面体 　 　 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　 　.
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　.
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
（4）模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.
20．（2024七上·五华开学考）下面是科科和研研在整理和复习“图形的位置”时的思考，请帮他们解决问题．
（一）在直线上怎么确定数的位置
科科：数学中，经常用带箭头的直线上的点表示数．
如图，如果“D”表示的数是24，则“A”表示的数是（　　）；如果“B”表示的数是，则“C”表示的数是（　　）．
（二）在平面上怎么确定图形的位置
研研：在平面上还可以用方格纸上的数对来确定位置，借助方格纸复习“图形的运动”相关知识．
①下图中，三角形ABC的顶点A的位置用数对表示是（ ， ）．
②画出三角形绕点C顺时针旋转后的图形，这时旋转后的点A在点C的 （偏）（　　）°方向上．
③把原三角形按放大，画出放大后的图形．
（三）在空间中怎么确定图形的位置
科科：平面上可以用数对表示，那空间中只要再增加一个表示高的数就可以了．
如图①，长方形中A点的位置用数对表示为．
在图②中，长方体的高为4，则B点可以表示为．
研研：照这样的方法在图②中
C点可以表示为（ ， ， ），
D点可以表示为（ ， ， ）．
如果方格纸中1小格表示，根据图②中的数据，计算出长方体的表面积为（ ）平方厘米．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：棱锥各个面与面相交都是直线，故A不符合；长方体各个面与面相交都是直线，故B不符合；圆台的上底面与侧面相交是曲线，下底面与侧面相交是曲线，故C符合；棱台各个面与面相交都是直线，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】分别对各个几何体的面与面相交的线进行识别，再作出判断.
2．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹是“面动成体”，故本选项错误；
B、扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是“点动成线”，故本选项错误；
C、天空划过一道流星是“点动成线”，故本选项错误；
D、汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹是“线动成面”，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
3．【答案】B
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：如图，
将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，可得选项B的几何体，
选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到，
故答案为：B．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”的特点分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体是两个圆锥的组合体，它的正视图是两个等腰三角形，三角形之间有一条虚线段．故答案选：C
【分析】应先得到旋转后得到的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．
5．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解： 给定的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是一个空心的圆柱体.
故答案为：D.
【分析】面动成体，据此原理想象形成的几何体特点再进行选择即可.
6．【答案】B
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：从上面看，有1+2+3+4=10（个)正方形；
从正面看，有1+2+3+4=109（个）正方形；
从左面看，有1+2+3+4=10（个）正方形；
∴表面积=(10+10+10)×a×a=60
故答案为：B.
【分析】根据立体图形的三视图，可分别得到三个不同方位的正方形的个数；根据正方形的面积公式即可求出表面积.
7．【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】当硬币在地面某位置快速旋转时，形成的几何体是球，
故答案为：C．
【分析】根据面动成体，故硬币在地面某位置旋转时，形成球体。
8．【答案】B
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：第一层露在表面的部分为 ，第二层露在表面的部分分为 ，所以此几何体露在表面的部分的面积为 ．
故答案为：B.
【分析】分别从上面看，从前面看（与从后面看一样），从左边看（与从右边看一样），落在表面的部分为4+3+3+3+3=16.
9．【答案】-33
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：∵每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于-3，
∴左面正方体中：1的对面是-4；2的对面是-5； 另外两个都看不见的相对两个面之和等于-3；
右面正方体中：3的对面是-6；4的对面是-7；5的对面是-8；
∴看不见的7个面上的数之和为：-4-5-3-6-7-8=-33。
故答案为：-33.
【分析】根据 每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于-3，可求得看得见的5个面所对的面上的数字，以及两个都看不见的相对两个面之和等于-3，然后去求它们的和即可得出答案。
10．【答案】30
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：通过观察，从前、后、左、右、上5个方向各有6个面暴露，
∴ 涂颜色的面积为5×6=30cm2
故答案为：30。
【分析】通过观察，从前、后、左、右、上5个方向各有6个面暴露，可知总暴露的面积。
11．【答案】36
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：∴不带红色的小正方体的个数等于 7
∴这7个小正方体都在长方体的内部
∵7=7×1×1
∴这个长方体为3×3×9的长方体
∵（1+1+7）×4=36（个）
∴两面带红色的小正方体的个数为36个
故答案为36.
【分析】由题意知：不带红色的小正方体的个数等于 7，因此这7个小正方体都在长方体的内部，这样得出长方体为3×3×9的长方体， 两面带红色的小正方体 都在长方体的四条棱上，又由因为四个顶点处小正方体三面是红色，所以（1+1+7）×4=36，即可得出答案.
12．【答案】②⑤⑥
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：由图形可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体．
故能够完成任务的为模块②，⑤，⑥．
故答案为：②⑤⑥．
【分析】根据立体图形的性质，观察可知：模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，可得答案。
13．【答案】192
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】该立体图形可通过六个面进行观察，将每个正方形的面积计为单位“1”
从前面看：8个 从后面看：8个；
从左面看：7个 从右面看：7个；
从上面看：9个 从底面看：9个；
综上所述共可看48个面，总表面积计算即：48×（2×2）=192
【分析】立体图形的表面积，可以分组进行观察；也可发现前后面，左右面，上下面看到的数量各自相等，再累加求解。
14．【答案】解：（1）正六棱柱的侧面积3×6×6=108（cm2）；
（2）这个棱柱共有 6+6+6=18条棱；
所有的棱长的和是12×3+6×6=36+36=72（cm）；
（3）这个棱柱共有12个顶点；
（4）n棱柱的面数是（n+2）面，
n棱柱棱的条数是3n条．
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【分析】（1）根据底面边长乘以高，可得一个侧面的面积，根据一个侧面的面积乘以6，可得答案；
（2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，根据有理数的加法，可得棱长的和；
（3）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点；
（4）根据几棱柱有几个侧面，棱柱都有两个底面，可得棱柱的面，根据几棱柱有几条侧棱，底面的棱是几的二倍，可得棱的条数．
15．【答案】解：玩具的表面积为：
所以喷涂这个玩具共需油漆克．
答：喷涂这个玩具共需油漆克．
【知识点】几何体的表面积
【解析】【分析】先利用正方体的面积公式求出该图形的表面积，再结合题中已知，可以求出所需油漆质量.
16．【答案】解：从16到20共5个数，还差一个数，它是15或21．
因为这6个数是连续的整数且相对面上的两个数的和都相等．
如果缺少的那个数是15，那么最小的15应该和最大的20相对，16和19相对，这和图示不符，
所以这6个数是16、17、18、19、20、21．
16+17+18+19+20+21=111．
故这6个整数的和为111．
【知识点】立体图形的概念与分类；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【分析】 由题意“六个连续的整数”“两个相对面上的数字和相等”，则由16，19，20三个数字看出可能是15，16，17，18，19，20或16，17，18，19，20，21，因为相对面上的数字和相等，所以第一种情况必须16，19处于对面，所以这六个数字只能是16，17，18，19，20，21，相加即可求出这6个整数的和．
17．【答案】解：露在外面的表面积：5×5+4×（3×3+4×4+5×5）=25+4×（9+16+25）=225cm2 ．
【知识点】几何体的表面积
【解析】【分析】根据题意每个正方体的四个侧面都露在外面，用平移的观点看，露在上面的是一个大正方形的上表面，而且正方体的所有的面都是正方形，根据正方形的面积计算方法即可算出答案。
18．【答案】（1）解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 6 8 10 12
棱数 9 12 15 18
面数 5 6 7 8
（2）16，28，42
（3）二十八
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：（2）根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，
∴十四棱柱共有14+2=16个面，共有2×14=28个顶点，共有3×14=42条棱；
故答案为：16，28，42；
（3）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为30-2=28棱柱；
故答案为：二十八．
【分析】（1）认真观察图象，分别数出三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱的顶点、棱及面数即可；
（2）根据（1）中数据找出规律：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，根据规律求解即可；
（3）根据棱柱共有个面即可求解．
（1）解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 6 8 10 12
棱数 9 12 15 18
面数 5 6 7 8
（2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，
所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱；
故答案为：16，28，42；
（3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱；
故答案为：二十八．
19．【答案】（1）6；6；V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条).
根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，
∴x+y=14.
（4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个.
因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为
又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=
由欧拉公式V+F-E=2得(
解得x=12.
所以正五边形只要12个.
又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，
所以六边形个数 即需20个正六边形.
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6
长方体的棱数为8+6-2=13
∴正八面体的顶点数为12+2-8=6
∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2
故答案为：6；6；V+F-E=2
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8
由（1）可得：x-8+x-30=2
解得：x=20
故答案为：20
【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案.
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，化简即可求出答案.
（4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】解：（一）根据题意，如果“D”表示的数是24，每一份为，
则“A”表示的数是；
如果“B”表示的数是，
，
则“C”表示的数是．
（二）①下图中，三角形的顶点A的位置用数对表示是．
②三角形绕点C顺时针旋转后的如图，这时旋转后的点A在点C的北偏东方向上．
③把原三角形按放大，放大后的如图．
（三）按照题中的方法在图②中，
C点可以表示为，
D点可以表示为．
根据图②中的数据，长方体的表面积（平方厘米）．
【知识点】几何体的表面积；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【分析】（一）根据题意算出每一格的数额即可解答；
（二）①根据题意即可表示顶点A的位置；
②先画出三角形绕点C顺时针旋转后的图形，再判断即可；
③根据题意画图即可；
（三）按照示例和正方体表面积公式即可求解；
1 / 11.1生活中的立体图形培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．下列图形中，面与面相交是曲线的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：棱锥各个面与面相交都是直线，故A不符合；长方体各个面与面相交都是直线，故B不符合；圆台的上底面与侧面相交是曲线，下底面与侧面相交是曲线，故C符合；棱台各个面与面相交都是直线，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】分别对各个几何体的面与面相交的线进行识别，再作出判断.
2．（2018七上·郓城期中）下面现象说明“线动成面”的是（　　）
A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹是“面动成体”，故本选项错误；
B、扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是“点动成线”，故本选项错误；
C、天空划过一道流星是“点动成线”，故本选项错误；
D、汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹是“线动成面”，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
3．（2024七上·化州期末）下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：如图，
将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，可得选项B的几何体，
选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到，
故答案为：B．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”的特点分析求解即可.
4．将如图所示放置的一个直角三角形ABC，（∠C=90°），绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体是两个圆锥的组合体，它的正视图是两个等腰三角形，三角形之间有一条虚线段．故答案选：C
【分析】应先得到旋转后得到的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．
5．（2024七上·新会期末）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解： 给定的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是一个空心的圆柱体.
故答案为：D.
【分析】面动成体，据此原理想象形成的几何体特点再进行选择即可.
6．（2023七上·洪山期中） 20个棱长为的小正方体摆放成如图的形状，这个图形的表面积是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：从上面看，有1+2+3+4=10（个)正方形；
从正面看，有1+2+3+4=109（个）正方形；
从左面看，有1+2+3+4=10（个）正方形；
∴表面积=(10+10+10)×a×a=60
故答案为：B.
【分析】根据立体图形的三视图，可分别得到三个不同方位的正方形的个数；根据正方形的面积公式即可求出表面积.
7．（2022七上·铅山期末）“十一黄金周”期间，小明和小亮相约去太原植物园游玩，中途两人口渴了，于是小明提议通过在地面旋转硬币的方法决定谁去买水，在旋转硬币时小明发现：当硬币在地面某位置快速旋转时，形成了一个几何体，请问这个几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．圆台
【答案】C
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】当硬币在地面某位置快速旋转时，形成的几何体是球，
故答案为：C．
【分析】根据面动成体，故硬币在地面某位置旋转时，形成球体。
8．（2021七上·峄城月考）如图，5个边长为 的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：第一层露在表面的部分为 ，第二层露在表面的部分分为 ，所以此几何体露在表面的部分的面积为 ．
故答案为：B.
【分析】分别从上面看，从前面看（与从后面看一样），从左边看（与从右边看一样），落在表面的部分为4+3+3+3+3=16.
二、填空题
9．（2023七上·重庆市月考）两个同样大小的正方体形状积木，每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于-3，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图所示，则看不见的七个面上的数的和等于 　 　．
【答案】-33
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：∵每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于-3，
∴左面正方体中：1的对面是-4；2的对面是-5； 另外两个都看不见的相对两个面之和等于-3；
右面正方体中：3的对面是-6；4的对面是-7；5的对面是-8；
∴看不见的7个面上的数之和为：-4-5-3-6-7-8=-33。
故答案为：-33.
【分析】根据 每个正方体上相对的两个面上写的数之和都等于-3，可求得看得见的5个面所对的面上的数字，以及两个都看不见的相对两个面之和等于-3，然后去求它们的和即可得出答案。
10．（人教版七年级数学上册 第四章几何图形初步 单元检测卷）用棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，把这个几何体放在桌子上，并把暴露的面涂上颜色，那么涂颜色面的面积之和是　 　cm2.
【答案】30
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：通过观察，从前、后、左、右、上5个方向各有6个面暴露，
∴ 涂颜色的面积为5×6=30cm2
故答案为：30。
【分析】通过观察，从前、后、左、右、上5个方向各有6个面暴露，可知总暴露的面积。
11．（2024·广州开学考）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中， 不带红色的小正方体的个数等于 7 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于　 　。
【答案】36
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：∴不带红色的小正方体的个数等于 7
∴这7个小正方体都在长方体的内部
∵7=7×1×1
∴这个长方体为3×3×9的长方体
∵（1+1+7）×4=36（个）
∴两面带红色的小正方体的个数为36个
故答案为36.
【分析】由题意知：不带红色的小正方体的个数等于 7，因此这7个小正方体都在长方体的内部，这样得出长方体为3×3×9的长方体， 两面带红色的小正方体 都在长方体的四条棱上，又由因为四个顶点处小正方体三面是红色，所以（1+1+7）×4=36，即可得出答案.
12．（2022七上·李沧期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 　 　．
【答案】②⑤⑥
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：由图形可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体．
故能够完成任务的为模块②，⑤，⑥．
故答案为：②⑤⑥．
【分析】根据立体图形的性质，观察可知：模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，可得答案。
13．（2018七上·唐山期中）如图，由18个棱长为2cm的正方体拼成的立体图形，它的表面积是　 　cm2.
【答案】192
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】该立体图形可通过六个面进行观察，将每个正方形的面积计为单位“1”
从前面看：8个 从后面看：8个；
从左面看：7个 从右面看：7个；
从上面看：9个 从底面看：9个；
综上所述共可看48个面，总表面积计算即：48×（2×2）=192
【分析】立体图形的表面积，可以分组进行观察；也可发现前后面，左右面，上下面看到的数量各自相等，再累加求解。
三、解答题
14．如图，是一个正六棱柱，它的底面边长是3cm，高是6cm．
（1）这个棱柱的侧面积是多少？
（2）这个棱柱共有多少条棱？所有的棱长的和是多少？
（3）这个棱柱共有多少个顶点？
（4）通过观察，试用含n的式子表示n棱柱的面数与棱的条数．

【答案】解：（1）正六棱柱的侧面积3×6×6=108（cm2）；
（2）这个棱柱共有 6+6+6=18条棱；
所有的棱长的和是12×3+6×6=36+36=72（cm）；
（3）这个棱柱共有12个顶点；
（4）n棱柱的面数是（n+2）面，
n棱柱棱的条数是3n条．
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【分析】（1）根据底面边长乘以高，可得一个侧面的面积，根据一个侧面的面积乘以6，可得答案；
（2）根据六棱柱的特点，可得棱的条数，根据有理数的加法，可得棱长的和；
（3）根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点；
（4）根据几棱柱有几个侧面，棱柱都有两个底面，可得棱柱的面，根据几棱柱有几条侧棱，底面的棱是几的二倍，可得棱的条数．
15．（2023七上·姑苏月考）如图所示的某种玩具是由两个正方体木块用胶水粘合而成的，它们的棱长分别为和为了美观，现在要在其表面喷涂油漆不包括黏合处，已知喷涂需要油漆，那么喷涂这个玩具共需油漆多少克？
【答案】解：玩具的表面积为：
所以喷涂这个玩具共需油漆克．
答：喷涂这个玩具共需油漆克．
【知识点】几何体的表面积
【解析】【分析】先利用正方体的面积公式求出该图形的表面积，再结合题中已知，可以求出所需油漆质量.
16．（2021七上·锦江期中）一个正方体.六个面上分别写着6个连续整数．且每两个相对面上的两个数的和都相等，如图所示.能看到的三个面上所写的数为16， 19，20，问这6个整数的和为多少
【答案】解：从16到20共5个数，还差一个数，它是15或21．
因为这6个数是连续的整数且相对面上的两个数的和都相等．
如果缺少的那个数是15，那么最小的15应该和最大的20相对，16和19相对，这和图示不符，
所以这6个数是16、17、18、19、20、21．
16+17+18+19+20+21=111．
故这6个整数的和为111．
【知识点】立体图形的概念与分类；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【分析】 由题意“六个连续的整数”“两个相对面上的数字和相等”，则由16，19，20三个数字看出可能是15，16，17，18，19，20或16，17，18，19，20，21，因为相对面上的数字和相等，所以第一种情况必须16，19处于对面，所以这六个数字只能是16，17，18，19，20，21，相加即可求出这6个整数的和．
17．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册1.1《生活中的立体图形》同步训练）有3个棱长分别是3cm，4cm，5cm的正方体组合成如图所示的图形．其露在外面的表面积是多少？（整个立体图形摆放在地上）
【答案】解：露在外面的表面积：5×5+4×（3×3+4×4+5×5）=25+4×（9+16+25）=225cm2 ．
【知识点】几何体的表面积
【解析】【分析】根据题意每个正方体的四个侧面都露在外面，用平移的观点看，露在上面的是一个大正方形的上表面，而且正方体的所有的面都是正方形，根据正方形的面积计算方法即可算出答案。
18．（2023七上·吉州月考）观察下列多面体，并把表格补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b 9 12
面数c 5 8
（1）完成表格中的数据；
（2）根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱；
（3）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱．
【答案】（1）解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 6 8 10 12
棱数 9 12 15 18
面数 5 6 7 8
（2）16，28，42
（3）二十八
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：（2）根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，
∴十四棱柱共有14+2=16个面，共有2×14=28个顶点，共有3×14=42条棱；
故答案为：16，28，42；
（3）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为30-2=28棱柱；
故答案为：二十八．
【分析】（1）认真观察图象，分别数出三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱的顶点、棱及面数即可；
（2）根据（1）中数据找出规律：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，根据规律求解即可；
（3）根据棱柱共有个面即可求解．
（1）解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数 6 8 10 12
棱数 9 12 15 18
面数 5 6 7 8
（2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱，
所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱；
故答案为：16，28，42；
（3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱；
故答案为：二十八．
19．建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 　 　
长方体 8 6 12
正八面体 　 　 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是　 　.
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　.
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.
（4）模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.
【答案】（1）6；6；V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数为x+y，棱数为 (条).
根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，
∴x+y=14.
（4）解：设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个.
因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数 E为
又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数V=
由欧拉公式V+F-E=2得(
解得x=12.
所以正五边形只要12个.
又根据每个正五边形周围连着5个正六边形，每个正六边形又连着3个正五边形，
所以六边形个数 即需20个正六边形.
【知识点】几何体的点、棱、面
【解析】【解答】解：由图可得，四面体的棱数为4+4-2=6
长方体的棱数为8+6-2=13
∴正八面体的顶点数为12+2-8=6
∴顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式为V+F-E=2
故答案为：6；6；V+F-E=2
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8
由（1）可得：x-8+x-30=2
解得：x=20
故答案为：20
【分析】（1）由图，结合多面体的特征即可求出答案.
（2）设这个多面体的面数为x，则顶点数为x-8，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立方程，化简即可求出答案.
（4）设足球表面的正五边形有x个，正六边形有y个，总面数 F 为(x+y)个，根据题意可得球表面的棱数 E为 ，顶点数V= ，根据（1）中规律建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2024七上·五华开学考）下面是科科和研研在整理和复习“图形的位置”时的思考，请帮他们解决问题．
（一）在直线上怎么确定数的位置
科科：数学中，经常用带箭头的直线上的点表示数．
如图，如果“D”表示的数是24，则“A”表示的数是（　　）；如果“B”表示的数是，则“C”表示的数是（　　）．
（二）在平面上怎么确定图形的位置
研研：在平面上还可以用方格纸上的数对来确定位置，借助方格纸复习“图形的运动”相关知识．
①下图中，三角形ABC的顶点A的位置用数对表示是（ ， ）．
②画出三角形绕点C顺时针旋转后的图形，这时旋转后的点A在点C的 （偏）（　　）°方向上．
③把原三角形按放大，画出放大后的图形．
（三）在空间中怎么确定图形的位置
科科：平面上可以用数对表示，那空间中只要再增加一个表示高的数就可以了．
如图①，长方形中A点的位置用数对表示为．
在图②中，长方体的高为4，则B点可以表示为．
研研：照这样的方法在图②中
C点可以表示为（ ， ， ），
D点可以表示为（ ， ， ）．
如果方格纸中1小格表示，根据图②中的数据，计算出长方体的表面积为（ ）平方厘米．
【答案】解：（一）根据题意，如果“D”表示的数是24，每一份为，
则“A”表示的数是；
如果“B”表示的数是，
，
则“C”表示的数是．
（二）①下图中，三角形的顶点A的位置用数对表示是．
②三角形绕点C顺时针旋转后的如图，这时旋转后的点A在点C的北偏东方向上．
③把原三角形按放大，放大后的如图．
（三）按照题中的方法在图②中，
C点可以表示为，
D点可以表示为．
根据图②中的数据，长方体的表面积（平方厘米）．
【知识点】几何体的表面积；长方体的顶点、棱、面的特点
【解析】【分析】（一）根据题意算出每一格的数额即可解答；
（二）①根据题意即可表示顶点A的位置；
②先画出三角形绕点C顺时针旋转后的图形，再判断即可；
③根据题意画图即可；
（三）按照示例和正方体表面积公式即可求解；
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