资源简介

2.2 第1课时 有理数的加法法则
素养目标
1.知道有理数的加法法则,能熟练运用有理数的加法法则进行运算.
2.经历探索有理数加法法则的过程,学会探索有理数加法法则的方法.
重点
会用有理数加法法则进行运算.
【自主预习】
两个有理数相加分为哪几种情形
　　　　
1.计算3+(-1)的结果为 (　　)
A.-4 B.2　　　　
C.-2 D.4
2.计算:(+4)+(+3)=　　　　,(-4)+(-3)=　　　　,(-54)+(-31)=　　　　,(-10)+0=　　　　.
【合作探究】
知识点一：同号两数相加
第一种情况:两个正数相加.
试一试　(+2)+(+3)=　　　　.
第二种情况:两个负数相加.
试一试　(-2)+(-5).
用1个 表示-1,在方框中放进2个 和5个 ,如图,
由此可得(-2)+(-5)=　　　　.
思考　你还有其他方法计算(-2)+(-5)吗
　　两个正数相加,结果为　　　　,再把绝对值　　　　;两个负数相加,结果为　　　　,再把绝对值　　　　.综上所述,同号两数相加,取　　　　的符号,并把绝对值　　　　.
1.填表.
加数 加数 和的符号 绝对值的和 和
+6 +14 　　　　 　　　　 　　　　
-6 -14 　　　　 　　　　 　　　　
知识点二：异号两数相加
第一种情况:正数的绝对值较大.
试一试　(-2)+5=　　　　.
第二种情况:负数的绝对值较大.
试一试 　(-5)+2=　　　　.
第三种情况:两数的绝对值相等.
试一试　(-2)+2=　　　　.
　　异号两数相加,绝对值相等时和为　　　　,即　　　　的两个数和为0;绝对值不等时,取　　　　的数的符号,并用较大的绝对值　　　　较小的绝对值.
2.某个地区,一天早晨的温度是-7 ℃,中午上升了12 ℃,则中午的温度是 (　　)
A.-5 ℃ B.-18 ℃　　　　
C.5 ℃ D.18 ℃
3.若a和b互为相反数,则a+b+3的值为 (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
4.计算(+2)+(-3)的结果是　　　　.
知识点三： 一个数同0相加
第一种情况:正数同0相加.
试一试　(+6)+0=　　　　.
第二种情况:负数同0相加.
试一试　(-3)+0=　　　　.
　　一个数同0相加,仍得　　　　.
5.下列各式运算正确的是 (　　)
A.(-3)+(-3)=0
B.0+(-3)=3
C.-+-=-
D.-++=0
方法归纳与交流　有理数的加法运算的一般步骤:
(1)　　　　;
(2)　　　　;
(3)　　　　.
与绝对值相结合的有理数加法运算
例　已知|m|=5,|n|=2,且n<0,求m+n的值.
　　　　
　　　　
　　　　
变式训练
已知|x|=5,|y|=3,若x　　　　
　　　
参考答案
【自主预习】
预学思考
(1)同号两数相加;(2)异号两数相加;(3)一个数同0相加.
自学检测
1.B　2.7　-7　-85　-10
【合作探究】
知识生成
知识点一
5　-7
思考　解:可以规定向东为正,向西为负,则(-2)+(-5)可以表示先向西走了2米,又向西走了5米,则两次共向西走了7米,所以(-2)+(-5)=-7.
归纳总结　正　相加　负　相加　相同　相加
对点训练
1.+　20　20　-　20　-20
知识点二
3　-3　0
归纳总结　0　互为相反数　绝对值较大　减
对点训练
2.C　3.B　4.-1
知识点三
6　-3
归纳总结　这个数
对点训练
5.D
方法归纳与交流
(1)判别是同号两数相加还是异号两数相加
(2)判断结果是正号还是负号
(3)判断是利用绝对值的和还是差进行计算
【题型精讲】
题型
例　解:因为|m|=5,|n|=2,
所以m=±5,n=±2.又因为n<0,
所以n=-2.当m=5,n=-2时,m+n=5+(-2)=3,
当m=-5,n=-2时,m+n=(-5)+(-2)=-7,
所以m+n的值为3或-7.
变式训练　解:因为|x|=5,|y|=3,
所以x=±5,y=±3.因为x所以x=-5,y=3或x=-5,y=-3,
所以x+y的值为-2或-8.2.2 第3课时 有理数的减法
素养目标
1.经历探索有理数减法法则的过程,能进行有理数减法的运算.
2.由有理数减法的运算法则体会转化的数学思想.
重点
有理数减法的法则.
【自主预习】
1.什么数加-7等于5 请你列出求这个数的算式.
　　　　
2.上述你所列的算式与算式5+7的结果有什么关系 用一个式子表示出来.
　　　　
1.计算(-3)-(-4)的结果等于 (　　)
A.1 B.-1　　　　
C. 7 D.-7
2.5-3=5+　　　　;5-(-3)=5+　　　　;3-5=3+　　　　;3-(-5)=3+　　　　;0-5=0+　　　　;0-(-5)=0+　　　　.
【合作探究】
知识点一：有理数减法法则
阅读课本本课时“例3”之前的内容,思考下列问题.
比一比　15-6　　　　15+(-6);3-19　　　　3+(-19);-12-0　　　　-12+0;-8-(-3)　　　　-8+3.
思考　仔细观察等式的左右两边,从左边到右边都有哪些因素发生了变化 发生了什么变化 以其中一个为例详细说明.
(1)有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的　　　　.
(2)由有理数减法法则可知,有理数的减法转化成了　　　　法.
1.有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数.老师让四位同学用字母表示法则,四位同学中表示完全正确的是 (　　)
A.小颖:a-b=a+(-b)
B.小明:a-b=a-b
C.小红:a-b=a+b
D.小宁:a-b=a+-b
知识点二：有理数的减法运算
阅读课本本课时“例3”及之后的内容,思考下列问题.
1.在进行有理数的减法运算时,我们会将减法运算转化成什么运算
　　　　
2.在“转化”的过程中,一共出现了几次变形
　　　　
(1)有理数减法运算转化成加法运算,要有两“变”:一是运算符号变,即　　　　变　　　　;二是减数的性质符号变,即变成　　　　.
(2)一个数减一个正数,结果会比这个数　　　　;一个数减一个负数,结果会比这个数　　　　.
2.计算:
(1)(-32)-(+5);(2)(-16)-45;
(3)(-2)-(-25);(4)0-(-23).
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
有理数减法在实际生活中的应用
例　某工厂一周计划每天生产电动车80辆,由于工人实行轮休,每天上班人数不同,每天实际生产量与计划量相比情况如下表(增加的为正数,减少的为负数):
日期 一 二 三 四 五 六 日
增减 数/辆 +4 -1 +2 -2 +6 -3 -5
(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆电动车
(2)本周总生产量是多少辆 比原计划增加了还是减少了 增加或减少多少辆
　　　　
　　　　
　　　　
变式训练
某市周一到周五每天的最高气温和最低气温记录如下表:
一 二 三 四 五
最高气温/℃ -1 5 8 6 10
最低气温/℃ -7 -2 -3 -2 3
哪天的温差最大 哪天的温差最小 分别是多少
温馨提示　温差=最高气温-最低气温.
　　　　
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.12,5-(-7).
2.5-(-7)=5+7.
自学检测
1.A
2.(-3)　3　(-5)　5　(-5)　5
【合作探究】
知识生成
知识点一
=　=　=　=
思考　从等式的左边到右边,运算符号变了,由“-”变成了“+”,运算符号后的数变成了这个数的相反数.
归纳总结　(1)相反数　(2)加
对点训练
1.A
知识点二
1.加法运算.
2.在转化的过程中一共出现了2次变形:①“减号”变“加号”;②在“减号”变“加号”的同时,“加号”后加上的数为“减号”后数的相反数.
归纳总结　(1)“-”　“+”　相反数
(2)小　大
对点训练
2.解:(1)原式=(-32)+(-5)=-37.
(2)原式=(-16)+(-45)=-61.
(3)原式=(-2)+25=23.
(4)原式=0+23 =23.
【题型精讲】
题型
例　解:(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产6-(-5)=6+5=11辆.
(2)总产量为4+(-1)+2+(-2)+6+(-3)+(-5)+80×7=561辆,
比原计划增加了,增加了561-560=1辆.
变式训练　解:星期一温差最小,(-1)-(-7)=6 ℃;星期三温差最大,8-(-3)=11 ℃.2.2 第2课时 有理数的加法运算律
素养目标
1.知道有理数加法的运算律,并能运用加法运算律简化运算.
2.结合正负数的意义,用有理数的加法解决一些简单的实际问题.
重点
会运用有理数加法的运算律,并能运用有理数加法运算律简化运算.
【自主预习】
1.在小学数学学习过哪些加法运算律
　　　　
2.这些加法运算律在有理数范围内还成立吗
　　　　
1.小辉解题时,将式子-+(-7)+(+7)先变成-+,再计算.他运用了 (　　)
A.加法交换律
B.加法交换律和加法结合律
C.加法结合律
D.乘法结合律
2.计算:20.96+(-1.4)+(-13.96)+1.4.
　　　　
　　　　
3.某店主用400元购买了8套儿童服装,准备以一定的价格出售,如果以每套儿童服装55元的价格为标准,超出的记为正数,不足的记为负数.记录如下:+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2.(单位:元)
(1)当店主卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损
(2)盈利(或亏损)了多少钱
　　　　
　　　　
　　　　
【合作探究】
知识点一：有理数的加法运算律
阅读课本本课时“例2”之前的内容,思考下列问题.
1.请用字母表示加法交换律和加法结合律.
　　　　
2.运用加法运算律的作用是什么
1.下列变形中,正确运用加法运算律的是 (　　)
A.3+(-2)=2+3
B.4+(-6)+3=4+3+(-6)
C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2
D.+(-1)++=++(+1)
知识点二：运用运算律简化有理数的加法运算
阅读课本“例2”及之后的内容,填空.
(1)利用互为相反数的两个数相加得　　　　,计算比较简便.
(2)多个有理数相加,既有正数又有负数,把正数和　　　　、负数和　　　　分别结合在一起再相加,计算比较简便.
(3)有关分数的计算中,把分母　　　　的数结合相加,计算比较简便.
(4)计算时,把能凑成　　　　的两个或多个数相加,计算比较简便.
2.计算:(1)32+(-29)+29+68.
(2)16+(-25)+24+(-32).
(3)+-+-+.
(4)(-2.39)+(+3.57)+(-7.61)+(-1.57).
运用有理数的加法解决实际问题
例　10袋小麦称重记录,以每袋90千克为标准,超过的千克数记作正数,不足的千克数记为负数.结果记录如下:+7,+5,-4,+6,+4,+3,-3,-2,-8,+1.问总质量超过多少千克或不足多少千克 这10袋小麦的总质量是多少千克
　　　　
　　　　
变式训练
王先生到市行政中心大楼办事,假定乘电梯向上一楼记作+1,向下一楼记作-1,王先生从1楼出发,电梯上下楼层(单位:层)依次记录如下:+6,-3,+10,-8,+12,-7,-10.
(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼.
(2)该中心大楼每层高3米,电梯每向上或下1米需要耗电0.2千瓦时,根据王先生现在所处位置,请你算算,他办事时电梯需要耗电多少千瓦时
　　　　
　　　　
　　　　
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.加法交换律、加法结合律.
2.成立.
自学检测
1.C
2.解:原式=(20.96-13.96)+(-1.4+1.4)
=7+0=7.
3.解:(1)根据题意得(+2)+(-3)+(+2)+(+1)+(-2)+(-1)+0+(-2)=-3(元),
55×8+(-3)=437(元).因为437>400,
所以店主卖完这8套儿童服装后盈利了.
(2)437-400=37(元),
所以盈利了37元.
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).
2.简化运算.
对点训练
1.B　
知识点二
归纳总结　(1)0　(2)正数　负数　(3)相同　(4)整数
对点训练
2.(1)解:32+(-29)+29+68
=32+68+(-29)+29
=(32+68)+[(-29)+29]
=100+0
=100.
(2)解:16+(-25)+24+(-32)
=16+24+(-25)+(-32)
=(16+24)+[(-25)+(-32)]
=40+(-57)
=-17.
(3)解:+-+-+
=+-+-+
=(-1)+2
=1.
(4)解:(-2.39)+(+3.57)+(-7.61)+(-1.57)
=[(-2.39)+(-7.61)]+[(+3.57)+(-1.57)]
=(-10)+(+2)
=-8.
【题型精讲】
题型
例　解:7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+(-8)+1=[(-4)+4] +[3+(-3)]+(7+5+1+6)+[(-2)+(-8)]=9.90×10+9=909(千克),因此总质量超过9千克,这10袋小麦的总质量是909千克.
变式训练　解:(1)(+6)+(-3)+(+10)+(-8)+(+12)+(-7)+(-10)
=[(+10)+(-10)]+[(+6)+(+12)]+[(-3)+(-8)+(-7)]
=0+18+(-18)
=0,
所以王先生最后能回到出发点1楼.
(2)王先生走过的路程是3×(|+6|+|-3|+|+10|+|-8|+|+12|+|-7|+|-10|)
=3×(6+3+10+8+12+7+10)
=3×56
=168(m),
所以他办事时电梯需要耗电168×0.2=33.6(千瓦时).2.2 第4课时 有理数的加减混合运算
素养目标
1.知道有理数加减法可以统一为加法,能熟练地进行加减混合运算.
2.能根据具体问题,适当运用运算律简化运算.
3.能综合运用有理数的加减法的相关知识解决简单的实际问题.
重点
运用运算律简化运算.
【自主预习】
1.在小学学习过的加减混合运算的顺序是怎样的
2.小学学习过的加减混合运算的顺序在有理数范围内还成立吗
　　　　
3.在进行有理数的加减混合运算时,我们一般的处理策略是什么 这样做有什么好处
　　　　
1.把-21-26-31+17写成加法运算的形式是 (　　)
A.(-21)-(+26)-(+31)+17
B.(-21)+(-26)+(-31)+17
C.(-21)+(+26)+(+31)+17
D.(-21)+(-26)+(+31)+(-17)
2.计算:23+(-14)-35-(-10).
　　　　
　　　　
【合作探究】
知识点一：有理数的加减混合运算
阅读课本第40页“例5”,回答下列问题.
1.在例5中,你发现了哪些运算
　　　　
2.它们是按怎样的顺序来运算的
　　　　
　　因为加法和减法属于同级运算,所以可以从　　　　往　　　　依次计算.
1.计算:(1)(+20)-(-3)+(+5)+(-7);
(2)(-5)-(+3)-(-7)+(-2).
知识点二：有理数加减混合运算省略括号和加号的书写形式
阅读课本第40-41页的“思考·交流”及“例6”,完成下列问题.
1.算式4.5-3.2+1.1-1.4是什么运算 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)是什么运算
　　　　
2.算式4.5-3.2+1.1-1.4交换位置时可否变成4.5-1.1+3.2-1.4 为什么
　　　　
3.看图回答问题:
把4.5-3.2+1.1-1.4看作为4.5,-3.2,1.1,-1.4的和.
(1)有理数的加减混合运算的一般步骤.
方法一:①将加减混合运算统一为　　　　;②进行有理数的加法运算.
方法二:①将加减混合运算统一为　　　　;②省略　　　　与　　　　;③利用　　　　简化运算.
(2)在运用加法交换律.交换两个加数位置时,一定要把前面的　　　　一起交换.
2.将式子(-20)+(+3)-(-5)-(+7)省略括号和加号后变形正确的是 (　　)
A.20-3+5-7　　　　　B.-20-3+5+7
C.-20+3+5-7　　　　D.-20-3+5-7
3.计算:
(1)-3.19+2+(-6.81)--2;
(2)(-0.5)--3+(+2.75)-+5.
　　　　
　　　　
方法归纳与交流　(1)同号、凑整、同分母等结合法的灵活应用,可避免繁琐运算,减少计算错误.既有分数又有小数的题目要先统一形式,再计算.
(2)加减混合运算中,当两个运算符号连用时,化简规律是:+(+)化为　　　　,+(-)化为　　　　,-(+)化为　　　　,-(-)化为　　　　.
水位的上升或下降
例　下表是嘉嘉记录的今年雨季河流一星期的水位变化情况(上星期日的水位达到警戒水位):
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位 变化/米 +0.50 +0.61 -0.45 +0.06 +0.27 -0.58 -0.06
正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降.
(1)星期　　　　河流的水位最高,与警戒水位的距离是　　　　米;星期　　　　河流的水位最低,与警戒水位的距离是　　　　米.
(2)与上星期日相比,本星期日河流水位　　　　(填“上升”或者“下降” )了.
(3)某市遭遇暴雨袭击,需要抗洪抢险,抢救灾民,人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民,早晨从A地出发,晚上到达B地,约定向东为正方向,当天航行路程(单位:千米)记录如下:12,-8,-15,-6,12,-7,11,-4.若冲锋舟每千米耗油0.5升,出发前冲锋舟油箱有油25升,问途中至少需补充多少升油
变式训练
下表是某水库一星期内的水位(单位:m)变化情况:
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位 变化 +2.4 +0.6 -4 -1.6 +3.5 +2 -1.5
注:该水库的警戒水位是35.5 m,表格中“+”表示比警戒水位高,“-”表示比警戒水位低.
(1)该水库水位最高的一天是星期　　　　,这一天的实际水位是　　　　m.
(2)若规定:水位比前一天上升用“+”,比前一天下降用“-”,不升不降用“0”.请补全下面的水位(单位:m)变化表:
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位 变化 +3.1 　　　　 　　　　 +2.4 　　　　 -1.5 -3.5
(3)在(2)的条件下,上星期日该水库的实际水位是多少
　　　　
　　　　
　　　　
参考答案
【自主预习】
预学思考
1.从左往右.
2.成立.
3.我们一般统一成加法运算,可以运用加法的交换律和结合律简化计算.
自学检测
1.B
2.解:原式=23+(-14)+(-35)+10=-16.
【合作探究】
知识生成
知识点一
1.加法运算和减法运算.
2.从左往右依次计算.
归纳总结　左　右
对点训练
1.解:(1)原式=20+3+5+(-7)=28+(-7)=21.
(2)原式=-5+(-3)+7+(-2)=-8+7+(-2)=(-1)+(-2)=-3.
知识点二
1.前者是加减混合运算,后者是加法运算.
2.不能,因为在交换加法位置时,要把前面的符号一起进行交换.
3.加号　括号
归纳总结　(1)加法运算　加法运算　括号　加号　加法运算律
(2)符号
对点训练
2.C
3.解:(1)原式=(-3.19-6.81)+2+2
=-10+5=-5.
(2)原式=(-0.5)-(-3.75)+(+2.75)-(+5.5)
=-6+6.5=0.5.
方法归纳与交流
(2)+　-　-　+
【题型精讲】
题型
例　解:(1)设上星期日的水位为a米,
由表格可知,
星期一的水位为(a+0.50)米,
星期二的水位为(a+1.11)米,
星期三的水位为(a+0.66)米,
星期四的水位为(a+0.72)米,
星期五的水位为(a+0.99)米,
星期六的水位为(a+0.41)米,
星期日的水位为(a+0.35)米.
由上可知,星期二河流的水位最高,与警戒水位的距离是1.11米;星期日河流的水位最低,与警戒水位的距离是0.35米.故答案为二;1.11;日,0.35.
(2)由(1)知,星期日的水位为(a+0.35)米,上星期日的水位为a米,
所以与上星期日相比,本星期日河流水位上升了.故答案为上升.
(3)(12+|-8|+|-15|+|-6|+12+|-7|+11+|-4|)×0.5
=75×0.5
=37.5(升),
37.5-25=12.5(升).
答:途中至少需补充12.5升油.
变式训练　解:(1)由表格可知,该水库水位最高的一天是星期五,
这一天的实际水位是35.5+3.5=39 m.
故答案为五;39.
(2)+0.6-(+2.4)=-1.8,
-4-(+0.6)=-4.6,
+3.5-(-1.6)=+5.1.故答案为-1.8;-4.6;+5.1.
(3)35.5+2.4-3.1
=37.9-3.1
=34.8 m.
答:上星期日该水库的实际水位是34.8 m.

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