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5.6找最大公因数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．24和18的公因数有（ ）个。
A．1 B．2 C．4
2．如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（ ）。
A．m B．9 C．n D．mn
3．如果把16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺两个苹果，那么有（　　）小朋友．
A．7 B．8 C．9 D．10
4．客厅长5.6米，宽4米，选用边长（ ）分米的方砖铺地不需要切割。
A．7 B．6 C．5 D．8
5．笑笑家的客厅长6米，宽4.8米，现计划在地面铺地砖，请你帮忙选择一种地砖，使地面都是整块方砖（不切割），你的选择是（ ）。
A．边长50厘米 B．边长60厘米 C．边长70厘米 D．边长80厘米
6．a与b的最大公因数是12，a与b的公因数有（　　）
A．2个 B．5个 C．6个 D．8个
7．把一张长24厘米，宽18厘米的彩纸剪成一些相同小正方形且没有剩余，要使小正方形个数最少，它的边长应是（ ）
A．1厘米 B．18厘米 C．6厘米 D．3厘米
8．学校开展劳动教育特色课程叠衣服比赛。参赛学生每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，最多能有（ ）名学生同时参赛。
A．8 B．12 C．24
9．12和21的最大公因数是（ ）。
A．2 B．3 C．12 D．21
10．用48朵玫瑰和32朵百合做花束，如果每个花束里的玫瑰朵数都相等，每束花里的百合朵数也相等，每束花里至少有（ ）朵花。
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．12和18公有的素因数有　 　，最大公因数是　 　．
12．a和b都是非零自然数，a÷b＝6，a和b的最大公因数是( )。
13．写出每组数的最大公因数．
45和30　
51和17　 　
15和21　
8和10　 　．
14．填一填。
24和16的最大公因数是( )。
15．15和18的公因数：　 　．
16．有两根绳子，一根长24米，另一根长30米，现在要把它们剪成长度相等的小段，且刚好剪完没有剩余，每小段最长是( )米，两根绳子一共可以剪( )段。
17．找出下面各组数的最大公因数，填在后面的( )里．
4和6( ) 6和8( ) 8和12( ) 4和20( )
7和9( ) 7和13( ) 6和18( ) 30和45( )
18．已知A=2×3×5×n，B=2×3×7×9，A 和B的最大公因数是42，那么n是　 　．
19．在合适的位置填数。
20．A÷B＝3（A、B均为非零自然数），A和B的最大公因数是( )。
三、判断题
21．a＝b＋1（a、b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是1。( )
22．两个自然数，当一个数是另一个数的倍数的时候，这两个自然数的最大公因数是较小的那个数。( )
23．17和34的公因数只有1。 。
24．a和b是互质数，所以它们没有公约数．　 　．
25．6和4的最大公因数是12。 。
四、计算题
26．找出下面各组数的最大公因数。
2和4 6和9 5和10
9和8 9和12 14和7
9和18 8和18 20和15
27．求48和72的最大公因数
五、解答题
28．既能整除24，又能整除30的整数是多少？他们的和是多少？
29．（1）分别写出1，2，…，20各数和4的最大公因数。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
和4的最大公因数
根据上表完成下图。
（2）找一找1，2，…，20各数和10的最大公因数，你有什么发现？与同伴交流。
30．写出15，36的全部因数，并找出15和36的最大公因数。
31．可可认为，1至20各数与3的最大公因数是有规律的，你认为可可的想法正确吗？请写出你的思考过程。
32．五年级布置一块长1.6米，宽1.2米的长方形宣传展板，展板上要贴满学生作品，作品规格为大小相同且边长为整分米数的正方形。作品边长最大可以设计为多少分米？展板上一共可以贴满多少幅这样的作品？
《5.6找最大公因数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B C C C B C
1．C
【分析】两个数的公因数要先分别求出这两个数的因数。
【详解】18的因数有：1、2、3、6、9、18；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，
所以18和24的公因数有：1、2、3、6共4个。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查求两个数的公因数的方法：求两个数的公因数要先分别求出这两个数的因数，然后找出它们公有的因数。
2．C
【分析】由m＝9n可知，m÷n＝9，则m是n的倍数，n是m的因数，m和n成倍数关系时，最大公因数是里面的较小数，据此解答。
【详解】假设m＝18，n＝2，18＝9×2，18和2的最大公因数是2，则m和n的最大公因数是n。
故答案为：C
【点睛】根据题意确定m和n成倍数关系是解答题目的关键。
3．A
【详解】试题分析：由如果把16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺两个苹果，可知：把16个梨减去2个，19个苹果加上2个，即18个梨和21个苹果能正好平均分给这些小朋友，没有剩余，即这些小朋友的人数是18和21的最大公因数，因此求出18和21的最大公因数就是这些小朋友的人数．
解；16﹣2=14个，19+2=21个，
14=2×7，21=3×7，
14和21的最大公因数是7，
即这些小朋友是7人；
故选A．
点评：解答本题关键是理解：把16个梨减去2个，19个苹果加上2个，即18个梨和21个苹果能正好平均分给这些小朋友，没有剩余，即这些小朋友的人数是18和21的最大公因数．
4．D
【分析】要使方砖铺地不需要切割，那么方砖的边长一定是56和40的公因数；
先分别列举出56、40的所有因数，然后求出它们的公因数，再从四个选项中找出是56和40的公因数的数即可。
【详解】5.6米＝56分米
4米＝40分米
56的因数：1，2，4，7，8，14，28，56；
40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40；
56和40的公因数有：1，2，4，8；
A．7不是56和40的公因数，所以选用边长7分米的方砖铺地需要切割，不符合题意；
B．6不是56和40的公因数，所以选用边长6分米的方砖铺地需要切割，不符合题意；
C．5不是56和40的公因数，所以选用边长5分米的方砖铺地需要切割，不符合题意；
D．8是56和40的公因数，所以选用边长8分米的方砖铺地不需要切割，符合题意。
故答案为：D
5．B
【分析】先把6米和4.8米都转化为多少厘米，大单位化小单位，需要乘上它们之间的进率100，相当于把小数点向右移动2位。6×100＝600，4.8×100＝480，所以6米＝600厘米，4.8米＝480厘米。由题意得，要使铺出来的地砖都是整块的，说明方砖的边长应该是600和480的公因数。据此解答。
【详解】6米＝600厘米，4.8米＝480厘米
600＝2×2×2×3×5×5，480＝2×2×2×2×2×3×5
A．50不是600和480的公因数，不满足题意。
B．60是600和480的公因数，满足题意。
C．70不是600和480的公因数，不满足题意。
D．80不是600和480的公因数，不满足题意。
故答案为：B
6．C
【详解】试题分析：这两个自然数的公因数就是它们最大公因数的因数；因为12的因数有1、2、3、4、6、12 共6个；所以这两个自然数的公因数有6个，即1、2、3、4、6、12；据此解答即可．
解：因为12的因数有1、2、3、4、6、12 共6个；
所以这两个自然数的公因数有6个，即1、2、3、4、6、12；
故选C．
点评：解答此题应根据找一个数的因数的方法进行解答；应明确：两个自然数的公因数就是它们最大公因数的因数．
7．C
【分析】把一张长24厘米，宽18厘米的彩纸剪成一些相同小正方形且没有剩余，要使小正方形个数最少，只要使小正方形的边长最大即可，那么只要求出24和18的最大公因数，即可得解。
【详解】24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
所以24和18的最大公约数是2×3＝6（厘米）
要使小正方形个数最少，它的边长应是6厘米。
故答案为：C
【点睛】灵活运用求几个数的最大公因数的方法来解决实际问题。
8．C
【分析】参赛学生每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，因此参赛人数必须是上衣和裤子数量的公因数，最多参赛人数是上衣和裤子数量的最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】48＝2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
2×2×2×3＝24（名）
最多能有24名学生同时参赛。
故答案为：C
9．B
【分析】两个数的公有质因数的连成积为两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，较小的数为最大公因数；如果两个数为互质数，最大公因数为1，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
21＝3×7
12和21的最大公因数是3。
故答案为：B
10．C
【分析】由于每个花束里的玫瑰花、百合花朵数都相等，则花束的数量应该是48和32的公因数，因为求的是每束花至少有多少朵，那么就要求出最多可以扎成多少束，所以花束数量是48和32的最大公因数，利用每种花的总朵数分别除以花束数量求出每束花中玫瑰花、百合花的朵数，再相加即可。
【详解】48＝2×2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
48和32的最大公因数为：
2×2×2×2
＝4×2×2
＝8×2
＝16
所以共有16束花。
每束花中有玫瑰花的朵数：48÷16＝3（朵）
每束花中有百合花的朵数：32÷16＝2（朵）
每束花里至少有花的朵数：3＋2＝5（朵）
故答案为：C
【点睛】本题是一道关于最大公因数应用题目，注意求最大公因数的方法和计算的正确性。
11．1、2、3、6，6
【详解】试题分析：求两个数的公因数、最大公因数，可以先分别找出这个数的因数，再找出它们的公因数、最大公因数．据此解答．
解：12的因数有：1、2、3、4、6、12，
18的因数有：1、2、3、6、9、18，
所以，12和18的公因数有：1、2、3、6；其中最大公因数是6．
故答案为1、2、3、6，6．
点评：此题考查的目的是理解公因数、最大公因数的意义，掌握求两个数的公因数、最大公因数的方法．
12．b
【分析】倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，由a与b都是不等于0的自然数，并且a÷b＝6，可知：a和b是倍数关系，b是较小数，据此解答。
【详解】由题意得：a÷b＝6，可知a是b的倍数，所以a和b的最大公因数是b。
13．15；17；3；2
【详解】试题分析：（1）把45和30分解质因数，找出这两个数公有的质因数，求出它们的积就是这两个数的最大公因数；
（2）51和17是倍数关系，倍数关系的最大公因数是较小数，其中17是较小数据此解答；
（3）把15和21分解质因数，找出这两个数公有的质因数，求出它们的积就是这两个数的最大公因数，以此解答；
（4）把8和10分解质因数，找出这两个数公有的质因数，求出它们的积就是这两个数的最大公因数，以此解答；
解：①45和30，
45=3×3×5，
30=2×3×5，
45和30的最大公因数是：3×5=15；
②51和17是倍数关系，它们的最大公因数是：17；
③15和21，
15=3×5，
21=3×7，
15和21的最大公因数是：3；
④8和10，
8=2×2×2，
10=2×5，
8和10的最大公因数是：2．
故答案为15；17；3；2．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数的方法，如果两个数是倍数关系，较小的数就是它们的最大公因数，如果两个数是互质数，最大公因数是1，两个数是一般关系用分解质因数的方法求它们的最大公因数．
14．8
【分析】先分别找出24和16的因数，再找出它们因数中相同的数即公因数，再从公因数中找出最大的数就是两个数的最大公因数。
【详解】24÷1＝24、24÷2＝12、24÷3＝8、24÷4＝6，所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
16÷1＝16、16÷2＝8、16÷4＝4，所以16的因数有1、2、4、8、16。
24和16的公因数是两个数因数中相同的数，即1、2、4、8，其中最大的数是8，就是两数的最大公因数。
24和16的最大公因数是8。
15．1、3
【详解】试题分析：根据找一个数因数的方法，列举15的因数和18的因数，进而得出结论．
解：15的因数有：1、3、5、15；
18的因数有：1、2、3、6、9、18；
所以15和18的公因数有：1、3；
故答案为1、3．
点评：解答此题的关键：应明确公因数的含义，掌握找一个数的因数的方法．
16． 6 9
【分析】根据题意，可计算出24与30的最大公因数，即是每段绳子最长的长度，然后再用24除以最大公约数加上30除以最大公因数的商，即是一共剪成的段数，列式解答即可得到答案。
【详解】
所以24与30最大公因数是：
即每小段最长是6米。
（段）
每小段最长是（6）米，两根绳子一共可以剪（9）段。
17． 2 2 4 4 1 1 6 15
【详解】略
18．7
【详解】试题分析：最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此可知：A和B的最大公因数是：2×3×n=6n，6n=42，求出n的值即可．
解：由分析知：2×3×n=6n，
6n=42，
n=7；
答：n是7；
故答案为7．
点评：本题主要考查两个数的最大公因数的求法，注意找准两个数的公有的质因数．
19．见详解
【分析】根据因数的意义以及找一个因数的方法分别找出10和20的因数，之后找出这两个数的因数中共有的因数即为公因数。
【详解】10的因数：1、2、5、10
20的因数：1、2、4、5、10、20
公因数：1、2、5、10
【点睛】本题主要考查因数的找法以及公因数的意义，熟练掌握找公因数的方法并灵活运用。
20．B
【分析】根据题意，A÷B＝3，说明A和B是倍数关系，且A＞B，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数”进行解答。
【详解】A÷B＝3（A、B均为非零自然数），A和B的最大公因数是B。
21．√
【分析】根据题意，a＝b＋1（a、b是不为0的自然数），a－b＝1，说明a和b是相邻的自然数，这两个数互质，那么a和b的最大的公因数是1，据此解答。
【详解】根据分析可知，a＝b＋1（a、b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是1，说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查两个数是互质数的最大公因数，最大公因数是1。
22．√
【详解】如果两个数是倍数关系，则较小的数就是这两个数的最大公因数；
如：12和6是倍数关系，则6就是12和6的最大公因数。
故答案为：√。
23．×
【分析】因为17和34是倍数关系，所以17和34的公因数有：1和17。
【详解】17和34的公因数有：1和17.所以，17和34的公因数只有1。此说法错误。
故答案为×。
【点睛】此题考查的目的是理解公因数的意义，掌握求两个数的公因数的方法。
24．错误
【详解】试题分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，据此判断即可．
解：因为公因数只有1的两个数叫做互质数；
所以a、b是互质数，这两个数没有公约数，说法错误．
故答案为错误．
点评：此题主要考查互质数的意义，应注意基础知识的灵活运用．
25．×
【分析】6和4的最大公因数是2，6和4的最小公倍数是12。
【详解】6＝2×3，
4＝2×2，
6和4的最大公因数是2，
故答案为错误。
【点睛】该题主要考查两个数的最大公因数和最小公倍数的求法。
26．2；3；5
1；3；7
9；2；5
【分析】全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。特殊情况，两数成倍数关系，最大公因数是较小数；两数互质，最大公因数是1，据此求出各组数的最大公因数。
【详解】4÷2＝2，2和4的最大公因数是2；
6＝2×3、9＝3×3，6和9的最大公因数是3；
10÷5＝2，5和10的最大公因数是5；
9和8是互质数，9和8的最大公因数是1；
9＝3×3、12＝2×2×3，9和12的最大公因数是3；
14÷7＝2，14和7的最大公因数是7；
18÷9＝2，9和18的最大公因数是9；
8＝2×2×2、18＝2×3×3，8和18的最大公因数是2；
20＝2×2×5、15＝3×5，20和15的最大公因数是5。
27．24
【分析】求最大公因数的方法
方法一：质因数分解法
全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
方法二：短除法
短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。
把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。
【详解】48=2×2×2×2×3；
72=2×2×2×3×3；
2×2×2×3=24
所以48和72的最大公因数是24.
故答案为：24
【点睛】本题考查了两个数的最大公因数求法，利用短除法更方便一些。
28．既能整除24．又能整除30的整数是1，2，3，6，他们的和是12．
【详解】试题分析：整除的意义：若整数“a”除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零． 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），a是b的倍数，b是a的因数，据此可知：既能整除24，又能整除30的整数的数是24和30公因数，求出它们的公因数加起来就可求出他们的和是多少，据此解答．
解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24，
30的因数有；1，2，3，5，6，10，15，30．
24和30的公因数有1，2，3，6，
既能整除24．又能整除30的整数是1，2，3，6，
他们的和是：1+2+3+6=12；
答：既能整除24．又能整除30的整数是1，2，3，6，他们的和是12．
点评：解答本题关键是理解：既能整除24，又能整除30的整数的数是24和30公因数．
29．（1）见详解
（2）见详解
【分析】如何求两个数的最大公因数：
1、把两个数的因数分别列出来，然后找出来他们共有的因素就是他们的公因数，其中最大的那一个就是他们的最大公因数；
2、利用分解质因数的方法，也可以方便的求出两个数的最大公因数。例如：求24和36的最大公因数。
24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
24和36的最大公因数为：2×2×3＝12
3、短除法。例如：求24和36的最大公因数。
【详解】（1）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
和4的最大公因数 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1
14 15 16 17 18 19 20
和4的最大公因数 2 1 4 1 2 1 4
我发现了：从1到20各数和4的最大公因数按照1、2、1、4的规律在不断的重复。（答案不唯一）
（2）1和10的最大公因数是1；
2和10的最大公因数是2；
3和10的最大公因数是1；
4和10的最大公因数是2；
5和10的最大公因数是5；
6和10的最大公因数是2；
7和10的最大公因数是1；
8和10的最大公因数是2；
9和10的最大公因数是1；
10和10的最大公因数是10；
11和10的最大公因数是1；
12和10的最大公因数是2；
13和10的最大公因数是1；
14和10的最大公因数是2；
15和10的最大公因数是5；
16和10的最大公因数是2；
17和10的最大公因数是1；
18和10的最大公因数是2；
19和10的最大公因数是1；
20和10的最大公因数是10、
我发现1到20各数和10的最大公因数在按照1、2、1、2、5、2、1、2、1、10的规律不断重复。
30．15的因数有1，3，5，15；36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。
15和36的最大公因数是3。
【分析】利用乘法算式，先找出15和36的全部因数，再从中找出15和36的最大公因数。
【详解】15＝1×15，15＝3×5
36＝1×36，36＝2×18，36＝3×12，36＝4×9，36＝6×6
答：15的因数有1，3，5，15；36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。
15和36的最大公因数是3。
31．正确；过程见详解
【分析】互质数的最大公因数是1；较大数是较小数的倍数时最大公因数是较小数。据此解答即可。
【详解】1和3的最大公因数是1；2和3的最大公因数是1；3和3的最大公因数是3；4和3的最大公因数是1；5和3的最大公因数是1；6和3的最大公因数是3；7和3的最大公因数是1；8和3的最大公因数是1；9和3的最大公因数是3；10和3的最大公因数是1；11和3的最大公因数是1；12和3的最大公因数是3；13和3的最大公因数是1；14和3的最大公因数是1；15和3的最大公因数是3；16和3的最大公因数是1；17和3的最大公因数是1；18和3的最大公因数是3；19和3的最大公因数是1；20和3的最大公因数是1。
答：可可的想法正确，发现1至20各数和3的最大公因数是1、1、3重复出现的。
32．4分米；12幅
【分析】1.6米＝16分米；1.2米＝12分米，求出16和12的最大公因数，就是作品边长最大，再用长方形的长和宽分别除以最大作品边长，得到的商再相乘，即可解答。
【详解】1.6米＝16分米；1.2米＝12分米。
16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
16和12的最大公因数是：2×2＝4
作品边长最大可以设计为4分米；
16÷4＝4（个）
12÷4＝3（个）
4×3＝12（幅）
答：作品边长最大可以设计为4分米，展板上一个可以贴面12幅这样的作品。
【点睛】本题考查长方形切割问题的应用，利用求最大公因数的方法进行解答。
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