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22.3 第2课时 体积、增长率问题
素养目标
1.学会将实际应用问题转化为数学问题,培养数学应用意识.
2.会分析题目中的量之间的关系,准确列出一元二次方程.
3.通过求解长方体的面积、增长率等问题,逐步培养分析问题、解决问题的能力.
重点
寻找等量关系,用一元二次方程解决“长方体面积”“增长率”等问题.
【预习导学】
知识点一 长方体的面积问题
阅读课本本课时“问题3”“探索”中的所有内容,回答下列问题.
1.回顾:列一元二次方程解应用题的一般步骤:①　 　;②　 　;③　 　;④　 　;
⑤　 　.
2.在课本“图22.3.3”中,正方形的边长为　 　cm,设剪去的小正方形的边长
为　 　cm,则折叠成一个无盖的长方体盒子后,长方体盒子的底面是
一个　 　,边长为　 　cm,面积为　 　cm2,根据题意,可列出方程　 　,解得x=　 　或x=　 　,因为10-2x>0,
所以x=　 　cm,所以剪去的小正方形的边长为　 　cm.
3.观察“对点自测”中的数据,发现:当折叠成的长方体的底面积逐渐变小时,剪去的正方形的边长逐渐　 　,此时折叠成的长方体的侧面积　 　,当剪去的正方形的边长为　 　cm时,折叠成的长方体的侧面积取最大值　 　cm2.
4.设折叠成的长方体的侧面积为S cm2,剪去的小正方形的边长为x cm,则S=-8x2+40x,配方,得S=　 　,当x=　 　cm时,S取最大值,最大值为　 　cm2.
归纳总结　应用一元二次方程解与图形有关的应用题时,经常用到　 　相等,故此类问题的解题关键是:根据　 　相等,寻找　 　关系,建立　 　.
知识点二 增长率问题
阅读课本本课时“问题4”中的所有内容,回答下列问题.
1.工厂计划在两年后实现产值“翻一番”,即工厂两年后实现的产值为原产值的　 倍,
若设原产值为1个单位,则工厂两年后实现的产值为　 　个单位,设这两年中产值的平均增长率为x,根据题意,可列出方程　 　,解得　 　或x=　 　,因为x>0,所以x= 　,所以这两年中产值的平均增长率为 　.
阅读课本本课时“探索”中的所有内容,回答下列问题.
2.若两年后的产值为原来的1.5倍,设原产值为1个单位,则工厂两年后实现的产值
为　 　个单位,设这两年中产值的平均增长率为x,根据题意可列出方程　 　,解得x=　 　或x=　 　,因为x>0,所以x=　 　,所以这两年中产值的平均增长率为　 　.
3.若两年后的产值为原来1.2倍,若设原产值为1个单位,则工厂两年后实现产值
为　 　个单位,设这两年中产值的平均增长率为x,根据题意,可列出方程　 　,解得x=　 　或x=　 　,因为x>0,所以x=　 　,所以这两年中产值的平均增长率为　 　.
4.工厂计划在两年后实现产值“翻一番”,若设原产值为1个单位,则工厂两年后实现的产值
为　 　个单位,又如果第二年的增长率为第一年的两倍,设第一年的增长率为x,则第二年的增长率为2x,根据题意,可列出方程　 　,解得x=　 　或x=　 　,因为x>0,所以x=　 　,所以第一年的增长率为　 　.
归纳总结　平均增长率的基本公式:y=a(1+x)n.其中y为　 　;a为　 　;x为　 　;n为　 　.
对点自测
根据所学知识,填表:
折叠成的长方体底面积/cm2 49 36 25 16 9
剪去的正方形边长/cm 1.5 3.5
折叠成的长方体的侧面积/cm2 42 42
【合作探究】
任务驱动一 长方体的面积问题
1.如图,李丽要在一幅长为100 cm、宽为60 cm的风景画的四周外围,镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图,使风景画的面积占整个挂图面积的56%,设金色纸边的宽为x cm,根据题意可列方程 ( )
A.(100+x)(60+x)×56%=100×60
B.(100+x)(60+2x)×56%=100×60
C.(100+2x)(60+x)×56%=100×60
D.(100+2x)(60+2x)×56%=100×60
变式演练　将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为3 cm的小正方形,做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积为121 cm2,求原铁皮的边长.
方法归纳交流　长方体面积问题的解题关键:根据　 　相等,寻找　 　关系,构建　 　.在解方程时,注意两点:1.观察方程　 　,寻找简单解法;2.根据问题　 　,灵活取舍两个根.
任务驱动二 增长率问题
2.某商店今年3月份的销售额是4万元,5月份的销售额是9万元,从3月份到5月份,该店销售额平均每月的增长率是 ( )
A.60%　　　　B.50%　　　　C.40%　　　　D.30%
3.某超市一月份的营业额为100万元,三月份的营业额为144万元,如果每月比上月增长的百分数相同,问:平均每月增长的百分数是多少
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.①审题　②设未知数　③找等量关系,列一元二次方程　④解一元二次方程　⑤检验并作答
2.10　x　正方形　(10-2x)　(10-2x)2　(10-2x)2=81　0.5　9.5　0.5　0.5
3.增加　变大　2.5　50　-8(x-2.5)2+50　2.5
50
归纳总结　面积　面积　等量　一元二次方程
知识点二
1.2　2　1×(1+x)2=2　x=-1　--1
-1　-1
2.1.5　1×(1+x)2=1.5　-1　--1　-1　-1
3.1.2　1×(1+x)2=1.2　-1　--1　-1　-1
4.2　(1+x)(1+2x)=2　　　　
归纳总结　增长后的量　增长前的基础量　平均增长率　增长的次数
对点自测
2　2.5　3　48　50　48
【合作探究】
任务驱动一
1.D
变式演练　解:设原铁皮的边长为x cm,由题意可知(x-6)2=121,化简得x-6=±11,解得x1=17,x2=-5(不合题意,舍去),所以x=17.答:原铁皮的边长17 cm.
方法归纳交流　面积　等量　一元二次方程　特点　背景
任务驱动二
2.B
3.解:设平均每月增长的百分数为x,由题意可知100(1+x)2=144,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:平均每月增长的百分数为20%.22.3 第1课时 面积、下降率问题
素养目标
1.学会将实际应用问题转化为数学问题,培养数学应用的意识.
2.会分析题目中量之间的关系,准确列出一元二次方程.
3.通过求解面积、降低率等问题,逐步培养分析问题、解决问题的能力.
重点
寻找等量关系,用一元二次方程解决“面积”“降低率”等问题.
【预习导学】
知识点一 面积问题
阅读课本本课时“问题1”“试一试”中的所有内容,回答下列问题.
1.回顾:一元二次方程的解法:　 　、　 　、　 　、
　 　等.列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的一般步骤:①　 　;②　 　;
③　 　;④　 　;
⑤　 　.
2.在课本“图22.3.1”中,矩形试验田的长为　 　m,宽为　 　m,设小道的宽为x m,则两条小道的占地面积分别为32x m2、20x m2,它们重叠的部分是一个　 　,面积为　 　m2,根据题意,可列出方程　 　,
解得x=　 　或x=　 　,因为x<20,所以x=　 　m,所以小道的宽为　 　m.
3.将小道　 　后,如“图22.3.2”,小道的占地面积　 　,因此种植面积仍为540 m2.在“图22.3.2”中,设小道的宽为　 　m,种植面积由原来的　 　个小矩形拼成了　 　个大矩形,此时大矩形的长为　 　m,
宽为　 　m,根据题意可列出方程　 　,解得x=　 　或x=　 　,因为x<20,所以x=　 　m,所以小道的宽为　 　m.
4.比较2、3中不同的分析问题的方法,　 　中的解法较简便.
归纳总结　列一元二次方程解应用题的一般步骤:①　 　;②　 　;③　 　;④　 　;
⑤　 　.
知识点二 降低率问题
阅读课本本课时“问题2”中的所有内容,回答下列问题.
1.回顾:降低后的量=基础数×(1-　 　).
2.设每次降价的百分率为　 　,则原来的每瓶零售价56元在经历第一次降价后,每瓶的零售价变为　 　元,在此基础上再进行第二次降价,得每瓶的最新零售价变为　 　元,化简得　 　元,根据题意,可列出方程　 　,解得x1=　 　,x2=　 　,因为x不可能　 　1,所以x=　 不符合题意,所以x=　 　,所以每次降价的百分率为　 　.
归纳总结　降低后的量=基础数×(1-　 　)n,其中n表示降低的　 　.
【合作探究】
任务驱动一 面积问题
1.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为504 m2,道路的宽应是多少
变式演练　如图,某小区计划在一块长为40 m,宽为24 m的矩形空地上修建两条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为480 m2,设道路的宽为x m,依据题意,可列出方程:　 　.
方法归纳交流　在应用一元二次方程求解与面积相关的题时,通常会用到　 　的思想,利用　 　把不规则的图形变为　 　,进而列出方程求解.
任务驱动二 降低率问题
2.某种品牌的运动服经过两次降价,每件的零售价由400元降为256元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
方法归纳交流　应用一元二次方程解决实际问题时,关键是　 　,设出　 　,找出合适的　 　,列出方程并求解、　 　,最后作答.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.开方法　配方法　公式法　因式分解法　①审题　②设未知数　③找等量关系,列方程(组)　④解方程(组)　⑤检验并作答
2.32　20　正方形　x2　32×20-32x-20x+x2=540　2　50　2　2
3.平移　不变　x　4　1　(32-x)　(20-x)
(32-x)(20-x)=540　2　50　2　2
4.3
归纳总结　①审题　②设未知数　③找等量关系,列一元二次方程　④解一元二次方程　⑤检验并作答
知识点二
1.降低率
2.x　56(1-x)　56(1-x)(1-x)　56(1-x)2
56(1-x)2=31.5　0.25　1.75　大于　1.75　0.25
25%
归纳总结　降低率　次数
【合作探究】
任务驱动一
1.解:设道路的宽为x m,由题意可知(32-2x)(20-x)=504,解得x1=2,x2=34,因为x<16,所以x=34不符合题意,舍去,所以x=2 m,所以道路的宽应是2 m.
变式演练　(40-x)(24-x)=480
方法归纳交流　数形结合　平移　规则的图形
任务驱动二
2.解:设每次降价的百分率为x.由题意可知400(1-x)2=256,解得x1=0.2,x2=1.8,因为x<1,所以x=1.8不符合题意,应舍去,所以x=0.2,所以每次降价的百分率为20%.
方法归纳交流　读懂题意　未知数　等量关系　检验

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