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广东省梅州市兴宁实验学校教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2024八上·兴宁期中）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
2．（2024八上·兴宁期中）在、、π、、0、、、这八个数中，无理数有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2024八上·兴宁期中）下列说法错误的是（　　）
A．是2的一个平方根 B．的立方根是
C．1的平方根是 D．是的平方根
4．（2024八上·兴宁期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
5．（2024八上·兴宁期中）下列根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·兴宁期中）在直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·兴宁期中）a为任意实数，则点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024八上·兴宁期中）下列函数：①y=x；②y=2x+11；③y=x2+x+1；④y=中．是关于x的一次函数的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2024八上·兴宁期中）已知点（－4，），（2，）都在直线上，则，大小关系是（　　）．
A．＞ B．＝ C．＜ D．不能比较
10．（2024八上·兴宁期中）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八上·兴宁期中）已知的三边长分别为6，10，8，则的面积为　 　．
12．（2024八上·兴宁期中）16的算术平方根是　 　
13．（2024八上·兴宁期中）若一个正数的平方根是和，则　 　．
14．（2024八上·兴宁期中）点在直角坐标系的轴上，则点的坐标为　 　．
15．（2024八上·兴宁期中）如图，点到原点的距离为　 　．
16．（2024八上·兴宁期中）直线平行于直线，且过点，则直线的函数解析式是　 　．
17．（2024八上·兴宁期中）在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示：
则点的坐标是 　 　．
18．（2024八上·兴宁期中）计算
19．（2024八上·兴宁期中）在平面直角坐标系中，作出，使各顶点的坐标分别是：，，，并求出的面积．
20．（2024八上·兴宁期中）如图，在中，于点D，求的长．
21．（2024八上·兴宁期中）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标是，轴；
（2）点P在第一、三象限的角平分线上．
22．（2024八上·兴宁期中）中， ，过A作，垂足为H，求的长．
23．（2024八上·兴宁期中）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式．
（2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？
24．（2024八上·兴宁期中）①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
（1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ；
（2）化简．
25．（2024八上·兴宁期中）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为，点A的坐标为．
（1）求k的值；
（2）若点是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时，的面积为4，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】A、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、∵=，能围成直角三角形，此选项正确；
C、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
D、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误。
故选B。
【点评】 此类试题属于基础性试题，考生直接一招勾股定理把各项代入验证即可。
2．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：在、、π、、0、、、这八个数中，
无理数有、、π、、，共5个．
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是2的一个平方根，说法正确，本选项不符合题意；
B、的立方根是，说法正确，本选项不符合题意；
C、1的平方根是，说法正确，本选项不符合题意；
D、是的平方根，原说法错误，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方根和立方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25；
当长为的边为直角边时，由勾股定理得：；
综上所述，的值为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再利用勾股定理分别求出m2的值即可.
5．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、∵，不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、∵是最简二次根式，∴C符合题意；
D、∵，不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①根号下不能含有能开方的数；②根号下不是是小数；③根号下不能是分数）逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）求解即可.
7．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点P的纵坐标大于横坐标，
∴点P一定不在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：由一次函数的定义知，①y=x；②y=2x+11是一次函数，
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的定义（我们把形如y=kx+b，且k≠0的解析式称为一次函数）分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：因为点（－4，），（2，）都在直线上，
k <0，
∴y随x的增大而减小
∵-4<2
∴＞
故答案为：A
【分析】先求出y随x的增大而减小，再根据-4<2比较大小即可。
10．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数，随着的增大而减小，
，
，
，
此一次函数图象过第一，二，四象限．
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
11．【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵的三边长分别为6，10，8，且，
∴是直角三角形，两直角边长是6，8，
∴的面积为：，
故答案为：24．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，两直角边长是6，8，再利用三角形的面积公式求解即可.
12．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
13．【答案】5
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用平方根的定义及性质可得，再求出a的值即可.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在y轴上，
∴m+3=0，
∴m=-3，
∴P（0，-2），
故答案为：.
【分析】利用y轴上点坐标的特征可得m+3=0，再求出m的值，从而可得点P的坐标.
15．【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作轴于A，
∵，
∴，
∴，
∴点到原点的距离为5，
故答案为：5．
【分析】先结合点P的坐标可得PA和OA的长，再利用勾股定理求出OP的长即可.
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线平行于直线，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
故答案为：．
【分析】利用两直线平行斜率相等可得k=2，再利用待定系数法求出直线解析式即可.
17．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可知，蚂蚁每次移动完成一个循环，
，，都在轴上，
∵蚂蚁每次移动1个单位，
，，，
，，，A4n（2n，0）
，
∴点的坐标是．
故答案为：.
【分析】根据题意先求出前几项的点坐标与序号的关系可得A4n（2n，0），再结合，求出点的坐标即可.
18．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用0指数幂化简，再计算二次根式的除法，最后计算加减法即可.
19．【答案】解：如图，描点并作，
，，
轴，，
，
，
，
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】先根据点A、B、C的坐标画出△ABC，再利用三角形的面积公式求解即可.
20．【答案】解：在中，
∴，
∵
∵
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式可得，最后求出CD的长即可.
21．【答案】（1）解：因为点，点Q坐标为，且轴，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
（2）解：因为点P在第一、三象限的角平分线上，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据轴，可得，求出m的值，再求出点P的坐标即可；
（2）利用第一、三象限的角平分线上的点坐标的特征可得，求出m的值，再求出点P的坐标即可.
（1）解：因为点，点Q坐标为，且轴，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
（2）因为点P在第一、三象限的角平分线上，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
22．【答案】解：设，则，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
由勾股定理得：，
∴的长为12．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，可得BH的长，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
23．【答案】（1）解：观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点和，为正比例函数，
可设其函数关系式为，把点代入得：
∴，
∴函数关系式为；
∵用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，
∴可设其函数关系式为，
∵其图象经过点和，
∴代入可得：，
解得：
∴函数关系式为；
（2）解：用租书卡的方式租书，每天租书的收费为元；
用会员卡的方式租书，每天租书的收费为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“单价=总费用÷总天数”列出算式求解即可.
（1）解：观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点和，为正比例函数，
可设其函数关系式为，把点代入得：
∴，
∴函数关系式为；
∵用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，
∴可设其函数关系式为，
∵其图象经过点和，
∴代入可得：
，
解得：
∴函数关系式为；
（2）解：用租书卡的方式租书，每天租书的收费为元；
用会员卡的方式租书，每天租书的收费为元．
24．【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法并利用分母有理化分析求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
（1）解：方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
（2）原式
．
25．【答案】（1）解：把代入，
可得，
解得：.
（2）解：直线的解析式为，点，
点坐标为，
点的坐标为，
∴；
（3）解：当运动到位置时，的面积为4，理由如下：
当时，则，解得，
当，，
所以点坐标为，
所以当运动到位置时，的面积为4．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点E（-8，0）代入解析式，可得，再求出k的值即可；
（2）先求出点P坐标为，再结合点A的坐标，利用三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（3）将S=4代入解析式求出x的值，再求出y的值，可得点P的坐标.
（1）解：把代入得，
解得；
（2）解：直线的解析式为，点，
点坐标为，
点的坐标为，
∴；
（3）解：当运动到位置时，的面积为4，理由如下：
当时，则，解得，
当，，
所以点坐标为，
所以当运动到位置时，的面积为4．
1 / 1广东省梅州市兴宁实验学校教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2024八上·兴宁期中）在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）。
A．5，6，7 B．5，12，13 C．1，4，9 D．5，11，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】A、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、∵=，能围成直角三角形，此选项正确；
C、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误；
D、∵，故不能围成直角三角形，此选项错误。
故选B。
【点评】 此类试题属于基础性试题，考生直接一招勾股定理把各项代入验证即可。
2．（2024八上·兴宁期中）在、、π、、0、、、这八个数中，无理数有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：在、、π、、0、、、这八个数中，
无理数有、、π、、，共5个．
故答案为：D．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．（2024八上·兴宁期中）下列说法错误的是（　　）
A．是2的一个平方根 B．的立方根是
C．1的平方根是 D．是的平方根
【答案】D
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、是2的一个平方根，说法正确，本选项不符合题意；
B、的立方根是，说法正确，本选项不符合题意；
C、1的平方根是，说法正确，本选项不符合题意；
D、是的平方根，原说法错误，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方根和立方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
4．（2024八上·兴宁期中）若直角三角形的三边长为，则的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25；
当长为的边为直角边时，由勾股定理得：；
综上所述，的值为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，再利用勾股定理分别求出m2的值即可.
5．（2024八上·兴宁期中）下列根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、∵，不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、∵，不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、∵是最简二次根式，∴C符合题意；
D、∵，不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①根号下不能含有能开方的数；②根号下不是是小数；③根号下不能是分数）逐项分析判断即可.
6．（2024八上·兴宁期中）在直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）求解即可.
7．（2024八上·兴宁期中）a为任意实数，则点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴点P的纵坐标大于横坐标，
∴点P一定不在第四象限．
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
8．（2024八上·兴宁期中）下列函数：①y=x；②y=2x+11；③y=x2+x+1；④y=中．是关于x的一次函数的有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：由一次函数的定义知，①y=x；②y=2x+11是一次函数，
故答案为：C.
【分析】利用一次函数的定义（我们把形如y=kx+b，且k≠0的解析式称为一次函数）分析求解即可.
9．（2024八上·兴宁期中）已知点（－4，），（2，）都在直线上，则，大小关系是（　　）．
A．＞ B．＝ C．＜ D．不能比较
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：因为点（－4，），（2，）都在直线上，
k <0，
∴y随x的增大而减小
∵-4<2
∴＞
故答案为：A
【分析】先求出y随x的增大而减小，再根据-4<2比较大小即可。
10．（2024八上·兴宁期中）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数，随着的增大而减小，
，
，
，
此一次函数图象过第一，二，四象限．
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可.
11．（2024八上·兴宁期中）已知的三边长分别为6，10，8，则的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵的三边长分别为6，10，8，且，
∴是直角三角形，两直角边长是6，8，
∴的面积为：，
故答案为：24．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，两直角边长是6，8，再利用三角形的面积公式求解即可.
12．（2024八上·兴宁期中）16的算术平方根是　 　
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
13．（2024八上·兴宁期中）若一个正数的平方根是和，则　 　．
【答案】5
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【分析】利用平方根的定义及性质可得，再求出a的值即可.
14．（2024八上·兴宁期中）点在直角坐标系的轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在y轴上，
∴m+3=0，
∴m=-3，
∴P（0，-2），
故答案为：.
【分析】利用y轴上点坐标的特征可得m+3=0，再求出m的值，从而可得点P的坐标.
15．（2024八上·兴宁期中）如图，点到原点的距离为　 　．
【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作轴于A，
∵，
∴，
∴，
∴点到原点的距离为5，
故答案为：5．
【分析】先结合点P的坐标可得PA和OA的长，再利用勾股定理求出OP的长即可.
16．（2024八上·兴宁期中）直线平行于直线，且过点，则直线的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵直线平行于直线，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
故答案为：．
【分析】利用两直线平行斜率相等可得k=2，再利用待定系数法求出直线解析式即可.
17．（2024八上·兴宁期中）在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示：
则点的坐标是 　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可知，蚂蚁每次移动完成一个循环，
，，都在轴上，
∵蚂蚁每次移动1个单位，
，，，
，，，A4n（2n，0）
，
∴点的坐标是．
故答案为：.
【分析】根据题意先求出前几项的点坐标与序号的关系可得A4n（2n，0），再结合，求出点的坐标即可.
18．（2024八上·兴宁期中）计算
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用0指数幂化简，再计算二次根式的除法，最后计算加减法即可.
19．（2024八上·兴宁期中）在平面直角坐标系中，作出，使各顶点的坐标分别是：，，，并求出的面积．
【答案】解：如图，描点并作，
，，
轴，，
，
，
，
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】先根据点A、B、C的坐标画出△ABC，再利用三角形的面积公式求解即可.
20．（2024八上·兴宁期中）如图，在中，于点D，求的长．
【答案】解：在中，
∴，
∵
∵
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等积变换
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的面积公式可得，最后求出CD的长即可.
21．（2024八上·兴宁期中）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点Q的坐标是，轴；
（2）点P在第一、三象限的角平分线上．
【答案】（1）解：因为点，点Q坐标为，且轴，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
（2）解：因为点P在第一、三象限的角平分线上，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）根据轴，可得，求出m的值，再求出点P的坐标即可；
（2）利用第一、三象限的角平分线上的点坐标的特征可得，求出m的值，再求出点P的坐标即可.
（1）解：因为点，点Q坐标为，且轴，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
（2）因为点P在第一、三象限的角平分线上，
所以，
解得，
则，
所以点P的坐标为．
22．（2024八上·兴宁期中）中， ，过A作，垂足为H，求的长．
【答案】解：设，则，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
由勾股定理得：，
∴的长为12．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，可得BH的长，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
23．（2024八上·兴宁期中）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式．
（2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？
【答案】（1）解：观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点和，为正比例函数，
可设其函数关系式为，把点代入得：
∴，
∴函数关系式为；
∵用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，
∴可设其函数关系式为，
∵其图象经过点和，
∴代入可得：，
解得：
∴函数关系式为；
（2）解：用租书卡的方式租书，每天租书的收费为元；
用会员卡的方式租书，每天租书的收费为元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；有理数混合运算的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合函数图象中的数据利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用“单价=总费用÷总天数”列出算式求解即可.
（1）解：观察图象可知，用租书卡的金额与租书时间之间的函数图象经过点和，为正比例函数，
可设其函数关系式为，把点代入得：
∴，
∴函数关系式为；
∵用会员卡租书的金额与租书时间之间的函数图象是一次函数，
∴可设其函数关系式为，
∵其图象经过点和，
∴代入可得：
，
解得：
∴函数关系式为；
（2）解：用租书卡的方式租书，每天租书的收费为元；
用会员卡的方式租书，每天租书的收费为元．
24．（2024八上·兴宁期中）①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
（1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ；
（2）化简．
【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法并利用分母有理化分析求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
（1）解：方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
（2）原式
．
25．（2024八上·兴宁期中）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点E和点F，点E的坐标为，点A的坐标为．
（1）求k的值；
（2）若点是第二象限内的直线上的一个动点，在点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）条件下，探究：当P运动到什么位置时，的面积为4，并说明理由．
【答案】（1）解：把代入，
可得，
解得：.
（2）解：直线的解析式为，点，
点坐标为，
点的坐标为，
∴；
（3）解：当运动到位置时，的面积为4，理由如下：
当时，则，解得，
当，，
所以点坐标为，
所以当运动到位置时，的面积为4．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点E（-8，0）代入解析式，可得，再求出k的值即可；
（2）先求出点P坐标为，再结合点A的坐标，利用三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（3）将S=4代入解析式求出x的值，再求出y的值，可得点P的坐标.
（1）解：把代入得，
解得；
（2）解：直线的解析式为，点，
点坐标为，
点的坐标为，
∴；
（3）解：当运动到位置时，的面积为4，理由如下：
当时，则，解得，
当，，
所以点坐标为，
所以当运动到位置时，的面积为4．
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