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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,那么函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(-∞,2]　　　　B.(0,2]
C.　　　　D.
2.函数f(x)=2x+log2x的零点所在区间为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.(1,2)
3.设a=,b=,c=lo,则(　　)
A.aC.c4.函数f(x)=log2(4x+1)-x的部分图象大致为(　　)
A　　　　B
C　　　　D
5.已知函数y=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则lg f(4)+lg f(25)=(　　)
A.-2　　　　B.2
C.1　　　　D.-1
6.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离r(单位:m)之间的关系式为ΔL=10·lg(πr2)+k,其中k为常数.当传播距离为r1时,衰减量为ΔL1,当传播距离为r2时,衰减量为ΔL2.若r2=2r1,则ΔL2-ΔL1约为(　　)
(参考数据:lg 2≈0.3)
A.6 dB　　　　B.4 dB
C.3 dB　　　　D.2 dB
7.已知函数f(x)=m(x-)+2,g(x)=ln, x1∈[0,1], x2∈[0,4],都有g(x1)A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a>0且a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1)∪　　　　B.∪(1,+∞)
C.(0,1)∪　　　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=ln(2x-x2),则(　　)
A. f(x)的定义域为(0,2)　　　　
B. f(x)是奇函数
C. f(x)的单调递减区间是(1,2)　　　　
D. f(x)的值域为R
10.已知函数f(x)=则下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增
B.函数f(x)的值域为[-1,+∞)
C.方程f(x)=f有两个不等的实数根
D.不等式f[f(x)]<0的解集为∪(2,8)
11.双曲函数在许多数学、物理及工程问题中都有广泛的应用,最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.已知双曲正弦函数为sinh x=,双曲余弦函数为cosh x=(其中e为自然对数的底数),则(　　)
A.cosh2x+sinh2x=1
B.cosh2x-sinh2x=1
C.sinh(2x)=2sinh xcosh x
D.cosh(2x)=sinh2x+cosh2x
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.设35x=49,若用含x的式子表示log535,则log535=　　　　.
13.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),满足f(-x)=f(x),且f(x)在(0,+∞)上是减函数,则符合条件的函数f(x)的解析式可以是f(x)=　　　　.(写出一个即可)
14.已知函数f(x)=log2(3x+)-,若f(a-1)+f(a-2)≤-2,则实数a的解集为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知f(x)=a·2x+是奇函数,且f(1)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(m)+f(m2-2)<0,求实数m的取值范围.
16.(15分)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,其注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完 请说明理由.
17.(15分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0).当点P(x,y)在函数y=g(x)的图象上运动时,对应的点P0(4x,2y)在函数y=f(x)的图象上运动,则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“伴随”函数.
(1)解关于x的不等式f(x)<-1;
(2)对任意的x∈(0,2), f(x)的图象总在其“伴随”函数g(x)图象的下方,求a的取值范围;
(3)设函数F(x)=f(x)-g(x),x∈(0,2).当a=1时,求|F(x)|的最大值.
18.(17分)已知函数f(x)=.
(1)当a=3,b=-1时,解关于x的方程f(x)=2x;
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,求函数f(x)的解析式;
(3)在(2)的前提下,函数g(x)满足f(x)[g(x)+2]=2x-2-x,若对任意x∈R且x≠0,不等式g(2x)≥m·g(x)-18恒成立,求实数m的最大值.
19.(17分)已知函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数.
(1)判断并证明函数g(x)=f(x)+f(-x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)记函数y=f(-x)+x-2的零点为a,b(a>b),A,B为在函数f(x)的图象上横坐标分别为a,b的两点,点C(2,-1),求证:
(i)(ii)AC>BC.
答案全解全析
1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.A
7.C 8.A 9.AC 10.BC 11.BCD
1.B　因为f(x)=x2+(m-2)x+n为偶函数,
所以其图象的对称轴为直线x==0,解得m=2,
所以g(x)=.
要使g(x)有意义,则x>0且log2x≤1,即02.B　由于函数y=2x,y=log2x均为单调递增函数,故f(x)=2x+log2x为单调递增函数,至多有一个零点,且f=+log2=-1>0, f=+log2=-2<0,故零点所在区间为.
3.B　因为c=lo=,所以c6==,
又a6==,b6==,所以c4.A　对任意的x∈R,4x+1>0,则函数f(x)的定义域为R,
因为f(x)=log2(4x+1)-x=log2(4x+1)-log22x=log2=log2(2x+2-x),
f(-x)=log2(2-x+2x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除C、D选项;
f(x)=log2(2x+2-x)≥log2(2)=1,当且仅当x=0时,等号成立,排除B选项.
5.C　函数y=loga(x-3)+2中,令x-3=1,解得x=4,此时y=loga1+2=2,
所以P(4,2).设幂函数f(x)=xm,因为点P在幂函数y=f(x)的图象上,所以4m=2,解得m=0.5,所以f(x)=x0.5,所以lg f(4)+lg f(25)=lg[f(4)·f(25)]=lg 10=1.
6.A　依题意得,ΔL2-ΔL1=10·lg(π)+k-10·lg(π)-k=20lg=20lg 2≈6(dB).
7.C　由 x1∈[0,1], x2∈[0,4],都有g(x1)易知g(x)=ln=ln在[0,1]上单调递增,∴g(x)min=g(0)=0.
对于函数f(x),当m=0时, f(x)=2>0恒成立;
当m>0时, f(x)在[0,4]上单调递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0当m<0时, f(x)在[0,4]上单调递减,∴f(x)min=f(4)=4m+2,由4m+2>0,解得m>-,∴-综上,实数m的取值范围是.
8.A　设ax=u(u>0),则y=-u2+5u-8=-+-8(u>0).
易知y=-u2+5u-8在上单调递增,在上单调递减.
当0当a>1时,u=ax是增函数,由x≥2,得u≥a2,∵f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴a2≥,又a>0,∴a≥,即当a≥时, f(x)是减函数.
综上所述,实数a的取值范围是(0,1)∪.
9.AC　对于A,由2x-x2>0,得0对于B,∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)不是奇函数,故B错误;
对于C,∵u=2x-x2在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,y=ln u在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)=ln(2x-x2)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故C正确;
对于D, f(x)max=f(1)=0,故D错误.
10.BC　作出f(x)=的图象,如图所示.
令|log2x|-1=0,得|log2x|=1,解得x=或x=2.
对于A,函数f(x)在区间(0,+∞)上不单调,A错;
对于B,函数f(x)的值域为[-1,+∞),B对;
对于C, f=-1=2, f(2)=|log22|-1=0,结合f(x)的图象知方程f(x)=f,即f(x)=0有两个不等的实数根,C对;
对于D,当令|log2x|-1=,解得x=或x=2;
令|log2x|-1=2,解得x=或x=8,
所以不等式f[f(x)]<0的解集为(-∞,0)∪∪(2,8),D错.
11.BCD　对于A,D,cosh2x+sinh2x=+
=+==cosh(2x),不恒为1,故A错误,D正确;
对于B,cosh2x-sinh2x=-=-=1,故B正确;
对于C,sinh(2x)===2sinh xcosh x,故C正确.
12.答案　
解析　对35x=49的两边同时取以5为底的对数,可得xlog535=log549,即x(log55+log57)=2log57,所以log57=,
所以log535=1+log57=1+=.
13.答案　x-2(答案不唯一)
解析　因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),满足f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,又f(x)在(0,+∞)上是减函数,故符合条件的函数f(x)的解析式可以是f(x)=x-2(答案不唯一).
14.答案　
解析　由题意可知3x+>3x+|3x|≥0,则f(-x)=log2(-3x+)-,
所以f(x)+f(-x)=log2(3x+)-+log2(-3x+)-
=log2(-9x2+9x2+1)-=-2,
所以f(x)+1=-[f(-x)+1],
令g(x)=f(x)+1,则g(x)的定义域为R,g(x)=-g(-x),所以g(x)为奇函数,
不等式f(a-1)+f(a-2)≤-2等价于f(a-1)+1≤-f(a-2)-1,即g(a-1)≤-g(a-2)=g(2-a),
令h(x)=log2(3x+),h(x)的定义域为R,关于原点对称,又h(x)+h(-x)=log2(3x+)+log2(-3x+)=0,
所以h(x)是奇函数,
又因为y=log2x在定义域上单调递增,y=3x+在(0,+∞)上单调递增,
所以h(x)=log2(3x+)在R上单调递增,
又y=在R上单调递减,
所以g(x)=log2(3x+)-+1在R上单调递增,
所以a-1≤2-a,解得a≤.
15.解析　(1)f(1)=2a+=.①
∵f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R,∴f(0)=0,∴a+b=0.②
由①②,得a=1,b=-1.(4分)
故f(x)=2x-.
经检验,满足f(x)是奇函数,所以f(x)=2x-.(6分)
(2)∵f(m)+f(m2-2)<0,∴f(m)<-f(m2-2).
又f(x)为奇函数,∴f(m)∵y=2x和y=-在R上均单调递增,∴f(x)在R上单调递增.
∴m<2-m2,即m2+m-2<0,解得-2所以m的取值范围是(-2,1).(13分)
16.解析　(1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),
将(14,81)代入得c=-,
∴当t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82;(3分)
当t∈(14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=,
∴当t∈(14,40]时,p=f(t)=log(t-5)+83.(6分)
综上,p=f(t)=(7分)
(2)老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.理由如下:
当t∈(0,14]时,令-(t-12)2+82≥80,得12-2≤t≤14;(9分)
当t∈(14,40]时,令log(t-5)+83≥80,得14综上,当t∈[12-2,32]时,学生听课效果最佳.(13分)
∵32-(12-2)=20+2>22,
∴老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.(15分)
17.解析　(1)依题意得则所以-a(2)由题意得2y=log2(4x+a),所以y=log2(4x+a),所以f(x)的“伴随”函数为g(x)=log2(4x+a).依题意,对任意的x∈(0,2), f(x)的图象总在其“伴随”函数g(x)图象的下方,即当x∈(0,2)时, f(x)-g(x)=log2(x+a)-log2(4x+a)<0恒成立①.(5分)
由对任意的x∈(0,2)总成立,得a>0,
所以①等价于当x∈(0,2)时,log2(x+a)2即(x+a)2<4x+a,即x2+(2a-4)x+a2-a<0.(7分)
设h(x)=x2+(2a-4)x+a2-a,要使当x∈(0,2)时,h(x)<0恒成立,
只需即解得0≤a≤1,又a>0,所以0所以a的取值范围是(0,1].(9分)
(3)由(2)可得当a=1时,在区间(0,2)上, f(x)即|F(x)|=g(x)-f(x)=log2.(10分)
设t=(t>0),则=.
令4x+1=u(1所以==,(12分)
因为u+≥6(当且仅当u=3时,等号成立),
所以≥=,当且仅当x=时,等号成立,
满足x∈(0,2),所以t的最大值为,
所以|F(x)|的最大值是log2=1-log23.(15分)
18.解析　(1)因为a=3,b=-1,所以f(x)==2x,
整理得(2x)2-2×2x-3=0,解得2x=-1(舍去)或2x=3,所以x=log23.(4分)
(2)因为f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=+=0,
整理得(a+b)(2x+2-x)+2ab+2=0,
要使上式对任意的x都成立,则解得或 (7分)
当时, f(x)=,其定义域为{x|x≠0},不符合题意;(8分)
当时, f(x)=,其定义域为R,符合题意.(9分)
所以f(x)=.(10分)
(3)因为f(x)[g(x)+2]=2x-2-x,所以=2x-==,
又因为x∈R且x≠0,所以2x-1≠0,所以=,(12分)
可得g(x)+2==2x+2-x+2,即g(x)=2x+2-x(x≠0),
则g(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2. (14分)
不等式g(2x)≥m·g(x)-18恒成立,即(2x+2-x)2-2≥m(2x+2-x)-18恒成立,
令t=2x+2-x(x≠0),则t=2x+2-x>2=2,
则由t2-2≥mt-18,可得m≤t+在t>2时恒成立,
因为t>2,所以t+≥8,当且仅当t=4时,等号成立,
所以m≤8,所以实数m的最大值为8.(17分)
19.解析　(1)函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下:
g(x)=ex+e-x,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=(+)-(+)=,(2分)
因为0所以-<0,-1>0,>0,
所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.(5分)
(2)证明:(i)令F(x)=f(-x)+x-2=e-x+x-2,
因为e3>>4,所以>>2,可得<,
则F=->0,F(-1)=e-3<0,F=-<0,F(2)=e-2>0,(8分)
故函数y=F(x)在,内均有零点,
又函数y=F(x)的零点为a,b且a>b,
所以(ii)由题意可知A(a,ea),B(b,eb),C(2,-1),
且即(12分)
AC>BC等价于AC2>BC2,
即(a-2)2+(ea+1)2>(b-2)2+(eb+1)2,即e-2a+(ea+1)2>e-2b+(eb+1)2,
整理得e2a+e-2a+2ea>e2b+e-2b+2eb.
因为a>b,所以2ea>2eb,
又因为由(1)可得函数g(x)=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,
所以g(2a)>g(-2b),即e2a+e-2a>e-2b+e2b,
所以e2a+e-2a+2ea>e2b+e-2b+2eb,即AC>BC.(17分)

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