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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第2章　常用逻辑用语
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.命题“ x∈R,x+2≤0”的否定是(　　)
A. x∈R,x+2>0 B. x∈R,x+2≤0
C. x∈R,x+2>0 D. x R,x+2>0
2.“|a|>|b|”是“a>b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(　　)
A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形
B.在一元二次方程中,p:ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0
C.p:a∈P∩Q,q:a∈P
D.p:a P∪Q,q:a P
4.下列四个命题是真命题的是(　　)
A. n∈R,n2≥n B. n∈R, m∈R,m·n=m
C. n∈R, m∈R,m25.命题“关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a=0 B.a≤0
C.-≤a≤0 D.-≤a<0
6.若不等式|x+1|-|x-2|A.a>1 B.a≥1 C.a<-1 D.a≤-1
7.已知关于x的方程x2+ax+b=0,给出下列四个命题:
甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.
如果只有一个命题是假命题,那么该命题是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.已知命题p: x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: x∈R,x2+2ax+4=0.若命题 p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1 D.a≥2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知命题p: x∈R,|x+1|>1,命题q: x>0,x2>x,则(　　)
A. q: x≤0,x2≤x B. p是真命题
C.p和 q都是假命题 D. p和q都是真命题
10.已知命题p: x∈R,ax2-x+1=0,若p为真命题,则实数a的值可以是(　　)
A.- B.0 C. D.
11.在整数集Z中,被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={x|x=6n+k,n∈Z},k=0,1,2,3,4,5,则(　　)
A.-5∈[5]
B.Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]
C.“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”
D.“整数a,b满足a∈[1],b∈[2]”是“a+b∈[3]”的必要不充分条件
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|2a13.已知p:x2+x-6=0,q:mx+1=0,且q是p的充分不必要条件,则实数m的取值集合是　　　　.
14.已知命题p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知集合A={x|m-1(1)求实数a的取值集合B;
(2)在(1)的条件下,若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
16.(15分)设命题p:x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根,命题q:对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立.
(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.
17.(15分)已知集合A=,B={x|ax-1≥0}.
(1)当a=2时,求A∩B;
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
从①“x∈B”是“x∈A”的必要条件;② x∈A,x B;③ x∈A,x B这三个条件中选择一个填入(2)中横线处,并解答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)判断8,9,10是否属于集合A;
(2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件;
(3)记集合S={x|x∈A,x=2k,k∈N*},T={x|x=12k+4,k∈N*},求证:T S.
19.(17分)若集合A具有以下性质:①0∈A,1∈A;②若x,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A,则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合B={-1,0,1},有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A;
(3)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.
命题p:若x,y∈A,则必有xy∈A;
命题q:若x,y∈A,且x≠0,则必有∈A.
答案全解全析
1.A　 x∈R,x+2≤0的否定为 x∈R,x+2>0.
2.D　设a=-2,b=0,此时满足|a|>|b|,但不满足a>b,充分性不成立,
设a=2,b=-3,此时满足a>b,但不满足|a|>|b|,必要性不成立,
故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件.
3.A　对于A,等腰三角形不一定是等边三角形,但等边三角形一定是等腰三角形,故p是q的必要不充分条件,故A符合题意.
显然B中p是q的充要条件,故B不符合题意.
对于C,当a∈P∩Q时,a∈P,a∈Q,但a∈P时,不一定得到a∈P∩Q,如图1所示,故p是q的充分不必要条件,故C不符合题意.
　　
对于D,当a P∪Q时,a P,a Q,但a P时,不一定得到a P∪Q,如图2所示,故p是q的充分不必要条件,故D不符合题意.
4.B　对于A,令n=,则=<,故A中命题是假命题;
对于B,令n=1,则 m∈R,m×1=m成立,故B中命题是真命题;
对于C,令n=-1,则m2<-1,显然无实数解,故C中命题是假命题;
对于D,令n=-1,则(-1)2<-1,显然不成立,故D中命题是假命题.
5.B　关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数,
则a=0或解得-≤a≤0.
结合选项可知,命题“关于x的方程ax2+x-1=0的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是a≤0.
6.B　当0因为|x+1|-|x-2|7.A　若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为3,又两根之和为2,所以该方程的另一个根为-1,两根异号,符合题意;
若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一个根为1,又两根之和为2,所以该方程的另一个根也为1,两根同号,不符合题意;
若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,两根同号,不符合题意;
若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根分别为1和3,所以两根之和为4,不符合题意.
综上,甲为假命题.
8.D　若“ x∈[1,2],x2-a≥0”为真命题,则在x∈[1,2]上,a≤(x2)min,∴a≤1.
若“ x∈R,x2+2ax+4=0”为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.
∵命题 p和命题q都是真命题,∴即a≥2.
9.BCD　命题q: x>0,x2>x,则 q: x>0,x2≤x,故A错误.
当x=0时,|x+1|=1,故p是假命题,则 p是真命题,故B正确.
当x=2时,x2>x,故q是真命题,则 q是假命题,故C,D正确.
10.ABC　∵ x∈R,ax2-x+1=0为真命题,∴方程ax2-x+1=0有实数根,
当a=0时,x=1,符合题意;
当a≠0时,由方程ax2-x+1=0有实数根,得Δ=(-1)2-4a≥0,解得a≤,∴a≤且a≠0.
综上,a≤.结合选项知,实数a的值可以是-,0,.
11.BC　对于A,易知[5]={x|x=6n+5,n∈Z},由6n+5=-5,得n=-=- Z,所以-5 [5],故A错误.
对于B,[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]={x|x=6n1,n1∈Z}∪{x|x=6n2+1,n2∈Z}∪{x|x=6n3+2,n3∈Z}∪{x|x=6n4+3,n4∈Z}∪{x|x=6n5+4,n5∈Z}∪{x|x=6n6+5,n6∈Z}=Z,故B正确.
对于C,必要性:若整数a,b属于同一“类”,则整数a,b被6除所得余数相同,从而a-b被6除所得余数为0,即a-b∈[0];
充分性:若a-b∈[0],则a-b被6除所得余数为0,则整数a,b被6除所得余数相同,
所以“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”,故C正确.
对于D,若整数a,b满足a∈[1],b∈[2],则a=6n'1+1,n'1∈Z,b=6n'2+2,n'2∈Z,所以a+b=6(n'1+n'2)+3,n'1+n'2∈Z,故a+b∈[3];若a+b∈[3],则可能有a∈[2],b∈[1],故“整数a,b满足a∈[1],b∈[2]”是“a+b∈[3]”的充分不必要条件,故D错误.
12.答案　a≥3
解析　　因为命题p: x∈B,x∈A是真命题,所以B A.
当B= 时,a+3≤2a,解得a≥3.
当B≠ 时,无解.
综上,实数a的取值范围是a≥3.
13.答案　
解析　　由题意得{x|mx+1=0} {x|x2+x-6=0}={2,-3}.
当m=0时,{x|mx+1=0}= ,满足题意;
当m≠0时,{x|mx+1=0}=,则-=2或-=-3,解得m=-或m=.
综上,实数m的取值集合是.
14.答案　m>0
解析　　若p为真命题,则对于方程ax2+2x+1=0,
当a=0时,2x+1=0,解得x=-,符合题意;
当a≠0时,设方程ax2+2x+1=0的两个根分别为x1,x2,
若a<0,则Δ=4-4a>0,且x1+x2=->0,x1x2=<0,
此时方程ax2+2x+1=0有一个正实根和一个负实根,符合题意;
若a>0,则由Δ=4-4a=0,得a=1,
此时方程为x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,所以x=-1,符合题意;
由Δ=4-4a>0,得00,
此时方程ax2+2x+1=0有两个负实根,符合题意.
综上所述,p为真命题时,a的取值范围是(-∞,1].
若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m+1,
则m+1>1,解得m>0.
15.解析　　(1)由命题“ x∈R,x2+ax+1<0”是真命题,得a2-4>0,解得a<-2或a>2,所以实数a的取值集合B={a|a<-2或a>2}.(5分)
(2)显然A≠ ,由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得A B,(8分)
则m+1≤-2或m-1≥2,解得m≤-3或m≥3,
所以实数m的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞).(13分)
16.解析　　(1)若命题p为真命题,则对于方程x2+(2m-4)x+m=0,Δ=(2m-4)2-4m=4(m-1)(m-4)>0,解得m>4或m<1,
∴实数m的取值范围为{m|m>4或m<1}.(3分)
(2)由(1)知,若命题p为真命题,则m>4或m<1.
若命题q为真命题,则对任意的x∈[2,3],不等式x2-4x+13≥m2恒成立,即当2≤x≤3时,(x-2)2≥m2-9恒成立,(6分)
当x=2时,y=(x-2)2取得最小值0,所以0≥m2-9,即m2≤9,解得-3≤m≤3.(8分)
当p真q假时,解得m<-3或m>4;(11分)
当p假q真时,解得1≤m≤3.(14分)
综上,实数m的取值范围为{m|m<-3或1≤m≤3或m>4}.(15分)
17.解析　　(1)当a=2时,B={x|2x-1≥0}=.(2分)
又A=={1,2,3},(4分)
∴A∩B={1,2,3}.(6分)
(2)若选条件①,则A B.(8分)
当a=0时,B= ,与题意不符.(10分)
当a<0时,B=,此时需满足≥3,解得0当a>0时,B=,此时需满足≤1,解得a<0或a≥1,
∴a≥1.(14分)
综上,实数a的取值范围为{a|a≥1}.(15分)
若选条件②,则A∩B= .(8分)
当a=0时,B= ,满足题意.(10分)
当a<0时,B=,此时需满足<1,解得a<0或a>1,∴a<0.(12分)
当a>0时,B=,此时需满足>3,解得0综上,实数a的取值范围为.(15分)
若选条件③,则A∩ RB≠ .(8分)
当a=0时,B= ,则 RB=R,又A={1,2,3},∴A∩ RB={1,2,3},满足题意.(10分)
当a<0时,B=,则 RB=,又A={1,2,3},∴<3,解得a<0或a>,∴a<0.(12分)
当a>0时,B=,则 RB=,又A={1,2,3},∴>1,解得0综上,实数a的取值范围为{a|a<1}.(15分)
18.解析　　(1)易知8=32-12,9=52-42,∴8∈A,9∈A.(2分)
假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0.(5分)
∵10=2×5或10=1×10,∴或均无整数解,∴10 A.(8分)
(2)证明:易知2k+1=(k+1)2-k2,∴2k+1∈A,即一切奇数都属于A.(10分)
又8∈A,而8 B,
∴“x∈A”的充分条件是“x∈B”,但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件.(12分)
(3)证明: x∈T,x=12k+4=2(6k+2),k∈N*,则x为偶数.(14分)
令得
∴x=(3k+2)2-(3k)2∈S,即T S.(17分)
19.解析　　(1)集合B不是“好集”,有理数集Q是“好集”.(2分)
理由如下:
假设集合B是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-2∈B,与-2 B矛盾,所以集合B不是“好集”.(4分)
因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,
所以有理数集Q是“好集”.(6分)
(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.(8分)
若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.
所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.(11分)
(3)命题p,q均为真命题.(13分)
理由如下:对任意一个“好集”A,任取x,y∈A,
若x,y中有0或1,则xy∈A.
若x,y均不为0,1,则由定义可知x-1,,∈A,
所以-∈A,即∈A,所以x(x-1)∈A.
由(2)得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.
同理,得y2∈A.
若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2∈A.
若x+y≠0且x+y≠1,则(x+y)2∈A.
所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A,所以∈A.
由(2)得=+∈A,所以xy∈A.
综上,xy∈A.
所以命题p为真命题.(15分)
若x,y∈A,且x≠0,则∈A,所以=y·∈A,所以命题q为真命题.(17分)

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