资源简介

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高中同步达标检测卷
第7章　三角函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4 B.2 C. D.
2.已知α为第三象限角,sin α=-,则cos(π-α)+sin=(　　)
A.0 B.1 C. D.
3.函数f(x)=的图象大致为(　　)
4.已知函数f(x)=sin(ω>0),直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在上单调,则ω=(　　)
A.2 B.5 C.6 D.11
5. 已知函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,则(f(x))2+=(　　)
A.5 B.2 C. D.
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若g(x)=f(x)+1在上有且仅有3个零点,则ω的最小值为(　　)
A. B.3 C. D.
7.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)在区间上单调,且f=f=-f,当x=时, f(x)取到最大值2,若将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>1的解集为(　　)
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
8.已知函数f(x)=4,若存在实数x1,x2,…,xn,当x1A.505 B.506 C.507 D.508
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知θ∈,sin θ+cos θ=,则下列结论正确的有(　　)
A.θ∈ B.cos θ=
C.tan θ=- D.cos θ-sin θ=
10.已知函数f(x)=sin+cos,下列说法中正确的是(　　)
A. f(x)=sin
B.函数f(x)的最大值为
C.函数f(x)的最小正周期是π
D. f(x)在上单调递增
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,将其图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于点中心对称
B.函数f(x)在上单调递增
C.当x∈时,函数f(x)的最大值为
D.函数g(x)=f(x)-在上恰有3个不同的零点
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若函数f(x)=tan(ω≠0)的最小正周期是,则ω=　　　　.
13.已知角α的终边上有一点P(m,2m),m≠0,则=　　　　　.
14.已知函数f(x)=sin在上单调递增,且f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合.若方程f(x)=-在上的解为x1,x2,则f(x1+x2)=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值.
16.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及f(x)图象的对称中心;
(2)若f =,求cos的值;
(3)先将f(x)的图象的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到h(x)的图象,求函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间.
17.(15分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启所著的《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,因其经济又环保,至今还在农业生产中使用.下图是筒车的示意图,筒车的半径r=4 m,轴心O距离水面2 m,筒车上均匀分布了12个盛水筒.已知该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,且当筒车上的某个盛水筒P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P到水面的距离z(单位:m,在水面下,z为负数)表示为时间t(单位:min)的函数;
(2)已知盛水筒Q与盛水筒P相邻,Q位于P的逆时针方向一侧.若盛水筒P和Q均在水面上方,且距离水面的高度相等,求时间t.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程+2asin-2a+2=0在上有解,求实数a的取值范围.
19.(17分)对于函数y=f(x),x∈D1,y=g(x),x∈D2及实数m,若存在x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)+g(x2)=m,则称函数f(x)与g(x)具有“m关联”性质.
(1)若f(x)=sin x与g(x)=cos 2x具有“m关联”性质,求m的取值范围;
(2)已知a>0, f(x)是定义在R上的奇函数,且满足:
①在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1;
②对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0.
求证:y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.
答案全解全析
1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为,所以扇形的面积为×2×=1,可得α=2.
2.C　由题意得cos α=-=-,所以cos(π-α)+sin=-2cos α=.
3.A　易知函数f(x)的定义域为R, f(-x)===f(x),
所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;
当x∈(0,π)时,sin x>0,2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.
4.B　当x∈时,ωx-∈,又f(x)在上单调,所以-≤,所以0<ω≤10.
因为直线x=为f(x)图象的一条对称轴,所以-=+kπ(k∈Z),
解得ω=5+6k(k∈Z).结合0<ω≤10,得ω=5.
5.D　因为函数f(x)的定义域为R,y=2f(x)-sin x是偶函数,y=f(x)-cos x是奇函数,
所以2f(-x)-sin(-x)=2f(x)-sin x,即f(x)-f(-x)=sin x,①
f(-x)-cos(-x)=-f(x)+cos x,即f(x)+f(-x)=2cos x,②
联立①②可得f(x)=(sin x+2cos x),
所以f ==(cos x-2sin x),
因此(f(x))2+=(sin x+2cos x)2+(cos x-2sin x)2=(sin2x+4sin xcos x+4cos2x)+(cos2x-4sin xcos x+4sin2x)=.
6.A　由题图知, f(0)=2sin φ=,即sin φ=,又<φ<π,所以φ=,所以f(x)=2sin,所以g(x)=2sin+1.
令g(x)=0,得sin=-.
因为≤x≤π,所以+≤ωx+≤ωπ+.
因为g(x)=f(x)+1在上有且仅有3个零点,
所以解得≤ω≤3,所以ω的最小值为.
7.A　∵f(x)在区间上单调,∴≥-=,即T≥,
∴≥,∴0<ω≤3.
∵f =f ,∴直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴.
∵f =-f ,∴是函数f(x)图象的一个对称中心.
∵T≥,∴直线x=和是函数f(x)图象相邻的对称轴和对称中心,∴×=-,又ω>0,∴ω=2.
∵函数f(x)的最大值为2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
∵当x=时, f(x)取到最大值2,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
根据题意可知g(x)=2sin,
∵g(x)>1,∴2sin>1,即sin>,
∴+2kπ∴不等式g(x)>1的解集是,k∈Z.
8.C　易知f(x)=4∈[0,4],所以f(x)min=0, f(x)max=4,所以|f(x1)-f(x2)|≤4,当且仅当f(x1)与f(x2)中一个为0,另一个为4时取得最大值4.
为使满足|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=2 021的正整数n最小,只需|f(xi)-f(xi+1)|(1≤i≤n-1,i∈N*)尽可能多的取得最大值4,又505×4=2 020<2 021,所以至少需要506个|f(xi)-f(xi+1)|(1≤i≤n-1,i∈N*)才能使|f(x1)-f(x2)|+|f(x2)-f(x3)|+…+|f(xn-1)-f(xn)|=2 021,此时n-1=506,解得n=507.
9.ACD　对sin θ+cos θ=的等号两边分别平方,得sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=,因为sin2θ+cos2θ=1,所以2sin θcos θ=-<0,
又θ∈,所以θ∈,sin θ<0,cos θ>0.
易得(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,cos θ-sin θ>0,
所以cos θ-sin θ=.与sin θ+cos θ=联立,解得sin θ=-,cos θ=,
所以tan θ==-.
10.BD　∵cos=cos=cos-+x=sin,
∴f(x)=sin,故A不正确;函数f(x)的最大值是,故B正确;函数f(x)的最小正周期是2π,故C不正确;当x∈-,时,x+∈, ,∴函数f(x)在区间-,上单调递增,故D正确.
11.ABD　由题意得ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ),将其图象向右平移个单位长度,得到函数f=sin2+φ=sin2x-+φ的图象.因为f为偶函数,所以-+φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,
所以φ=-,所以f(x)=sin.
对于A, f =sin=0,故A正确.
对于B,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,当k=0时,-≤x≤,因为 ,所以函数f(x)在上单调递增,故B正确.
对于C,当x∈时,-≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以函数f(x)的最大值为1,故C错误.
对于D,令g(x)=f(x)-=sin-=0,得2x-=2kπ+,k∈Z或2x-=2kπ+,k∈Z,所以x=kπ+,k∈Z或x=kπ+,k∈Z,所以函数g(x)=f(x)-在上的零点为x=,x=,x=,共3个,故D正确.
12.答案　2或-2
解析　　由题知,T==,即|ω|=2,解得ω=±2.
13.答案　-3
解析　　由角α的终边上有一点P(m,2m),可得tan α=2,
则====-3.
14.答案　
解析　　设f(x)的最小正周期为T,则T≥-=,故T≥.
因为f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,所以T=π,即=π,解得ω=±2.
若ω=-2,则f(x)=sin=-sin,
当x∈时,2x-∈,
所以f(x)在上单调递减,与题意不符.
若ω=2,则f(x)=sin,
当x∈时,2x+∈,
所以f(x)在上单调递增,满足要求.
综上, f(x)=sin.
当x∈时,2x+∈(π,2π),则由f(x)图象(图略)的对称性得=,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=f =sin=sin=.
15.解析　　(1)f(α)=
==-tan α.(5分)
(2)结合(1)知tan α=-2,
所以===3,(9分)
4sin2α-3sin αcos α====.(13分)
16.解析　　(1)由题图可知,A=2,T=-=,所以T==π,又ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(2分)
又函数f(x)的图象过点,所以2=2sin,所以+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(5分)
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(7分)
(2)由(1)及题意,得f =2sin=,即sin=.
因为-=,
所以cos=cos=-sin=-.(10分)
(3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(12分)
因为x∈,所以2x∈,
令π≤2x≤,解得≤x≤,
所以函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间为.(15分)
17.解析　　(1)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设P(x,y),则点P到水面的距离z=y+2,=sin α,其中α是以Ox为始边,OP为终边的角.
由点O到水面的距离为2 m,半径r=4 m,知∠P0Ox=.(2分)
由该筒车按逆时针方向匀速旋转,2 min转动一圈,得∠P0OP=×t=πt,则α=πt-,则y=rsin α=4sin,则z=4sin+2,t≥0.(5分)
(2)由筒车上均匀分布了12个盛水筒,得∠POQ=.
设Q(xQ,yQ),则=sin,由(1)知,α=πt-,(7分)
所以yQ=4sin=4sin πt,又P点的纵坐标y=4sin,所以sin πt=sin,(10分)
则πt=πt-+2kπ或πt=π-+2kπ,k∈Z,解得t=k+,k∈N.
由盛水筒P和Q均在水面上方,得4sin πt>-2,即sin πt>-,(13分)
则2kπ-<πt<2kπ+,k∈Z,则t=2k+,k∈Z,
由t>0得t=2k+,k∈N.(15分)
18.解析　　(1)由题图可得A=2,最小正周期T=4×=π,则ω===2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分)
因为f =2sin=2,所以sin=1,所以φ+=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin.(6分)
(2)由+2asin-2a+2=0,可得sin2+2a·sin-2a+2=0,即sin2-2acos-2a+2=0,
即1-cos2-2acos-2a+2=0,
即cos2+2acos+2a-3=0,其中x∈.(10分)
因为x∈,所以<2x+<π,
令t=cos,则t∈,t2+2at+2a-3=0,
则关于t的方程t2+2at+2a-3=0在上有解.(13分)
由t2+2at+2a-3=0可得2a=,
令s=t+1,则s∈,t=s-1,则2a==-s+2,
令h(s)=-s+2,s∈,
因为函数y=,y=2-s在上均单调递减,
所以函数h(s)=-s+2在上单调递减,所以h(s)>h=,
所以2a>,解得a>,故实数a的取值范围是.(17分)
19.解析　　(1)由题意可知f(x)=sin x∈[-1,1],g(x)=cos 2x∈[-1,1],故f(x1)+g(x2)∈[-2,2],则m的取值范围为[-2,2].(2分)
(2)证明:因为在[0,2a]上,当且仅当x=时, f(x)取得最大值1, f(x)是定义在R上的奇函数,所以在[-2a,0]上,当且仅当x=-时, f(x)取得最小值-1.(4分)
由对任意x∈R,有f(a+x)+f(a-x)=0,可知f(x)的图象关于点(a,0)对称.
易得f(a+x)=-f(a-x)=f(x-a),即f(x+2a)=f(x),故2a为函数f(x)的周期,故f(x)∈[-1,1].(8分)
易知sin πx∈[-1,1],cos πx∈[-1,1].
当f(x)=1时,x=+2na,n∈Z,
当sin πx=1时,x=+2k,k∈Z,
若+2na=+2k,则a=,k,n∈Z,此时y1=sin πx+f(x)=2,取得最大值;(11分)
当f(x)=-1时,x=-+2pa,p∈Z,
当cos πx=1时,x=2t,t∈Z,
若-+2pa=2t,则a=,t,p∈Z,此时y2=cos πx-f(x)=2,取得最大值.(14分)
由于a=≠,故sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)<4,
即不存在x1∈R,x2∈R,使得sin πx1+f(x1)+cos πx2-f(x2)=4,
所以y1=sin πx+f(x)与y2=cos πx-f(x)不具有“4关联”性质.(17分)

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