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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第2章　一元二次函数、方程和不等式
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N　　　　B.M=N　　　　
C.M3.某种杂志以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,该杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设提价后每本杂志的定价为x元,要使提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足(　　)
A.6≤x≤7　　　　B.5≤x≤7　　　　
C.5≤x≤6　　　　D.4≤x≤6
4.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.若a　　　　B.若a>b>0,则<
C.若a>b,则ac2>bc2　　　　D.若ac2>bc2,则a>b
5.关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分而不必要条件是(　　)
A.-1C.-26.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是(　　)
A.12　　　　B.-12　　　　C.16　　　　D.-16
7.关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是(-∞,+∞),则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.∪
8.设实数x,y满足x>,y>3,不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立,则实数k的最大值为(　　)
A.12　　　　B.24　　　　C.2　　　　D.4
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0　　　　B.b>0
C.c>0　　　　D.a+b+c>0
10.已知-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,则(　　)
A.-1≤a≤4　　　　B.0≤b≤4
C.ab的最大值为24　　　　D.-28≤2a-5b≤14
11.已知实数x,y满足x2+y2+xy=4,则(　　)
A.-2≤y≤2　　　　B.-≤x+y≤
C.-4≤x-y≤4　　　　D.≤x2+y2≤8
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a+b=10,c=6,则此三角形面积的最大值为　　　　.
13.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　.
14.若a>1,且不等式x2-x+4<0的解集中有且仅有四个整数,则a的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)已知a(2)已知a≥3,证明:-<-.
16.(15分)设命题p:对任意的x∈[1,4],不等式x2-4x+2≥m2-3m恒成立;命题q:存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.
17.(15分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新成立一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:
①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元.
如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案 为什么
18.(17分)(1)已知关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0,a∈R的解集为(-∞,-1]∪[2,+∞),求实数a的值;
(2)若不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立,求实数a的取值范围;
(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0.
19.(17分)对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0),若存在x0∈R,使得m+nx0+t=x0成立,则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点.
(1)求二次函数y=x2-x-3的不动点;
(2)若二次函数y=2x2-(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求+的最小值;
(3)若对任意实数b,二次函数y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有不动点,求a的取值范围.
答案与解析
1.D　由题意得集合A={x|12.A　M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=+>0,∴M>N.
3.A　提价后每本杂志的定价为x元,则提价后的销售量为万本,
要想提价后的销售总收入不低于42万元,则x≥42,
即(x-6)(x-7)≤0,解得6≤x≤7.
4.D　对于A,若a<0,b>0,则<,故A错误;
对于B,根据糖水不等式可知,若a>b>0,则>,故B错误;
对于C,当c=0时,ac2=bc2=0,故C错误;
对于D,由ac2>bc2,可知c2>0,∴a>b,故D正确.
5.A　当m=0时,原不等式可化为-1<0,显然成立;
当m≠0时,原不等式恒成立需满足解得-1综上可得,原不等式恒成立的充要条件为-1结合选项,可知关于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一个充分而不必要条件是-16.A　∵ab=2(a+b)+5,∴a+b=.
∵a>0,b>0,
∴a+b=≥2,当且仅当a=b=5时,等号成立,∴ab≥25,
∵y=(a+b-4)(12-a-b)==-(ab-21)2+16,
∴当ab=25时,y取最大值,为12.
7.A　不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是(-∞,+∞),
即 x∈R,ax2-|x|+2a≥0恒成立,即a≥,
当x=0时,a≥0;
当x≠0时,a≥=,
因为≤=,所以a≥.
综上所述,a∈.
8.B　令a=2x-3,b=y-3,因为x>,y>3,所以a>0,b>0,
不等式k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-12x2-3y2可转化为k≤,
即+≥k,
而+=+≥+=12≥24=24,
当且仅当a=b=3时等号同时成立,所以k≤24.
故实数k的最大值为24.
9.BCD　因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则根据根与系数的关系得=2×=-1<0,-=2+=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.
10.AD　对于A,因为-5≤a-b≤4,2≤2a+b≤8,
所以-5+2≤(a-b)+(2a+b)≤4+8,即-3≤3a≤12,即-1≤a≤4,故A正确;
对于B,由-5≤a-b≤4,可得-8≤2b-2a≤10,又2≤2a+b≤8,所以-8+2≤(2b-2a)+(2a+b)≤10+8,即-6≤3b≤18,即-2≤b≤6,故B错误;
若ab的最大值为24,因为-1≤a≤4,-2≤b≤6,所以a=4,b=6,则2a+b=14>8,故C错误;
设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b)=(x+2y)a+(-x+y)b,则解得x=4,y=-1,因为-20≤4(a-b)≤16,-8≤-(2a+b)≤-2,所以-28≤2a-5b≤14,故D正确.
11.BCD　对于A,由题可知关于x的方程x2+xy+y2-4=0必有实数根,所以Δ=y2-4(y2-4)≥0,解得-≤y≤,故A错误;对于B,因为x2+y2+xy=(x+y)2-xy=4,xy≤,所以≤4,解得-≤x+y≤,当且仅当x=y=时,不等式x+y≤的等号成立,当且仅当x=y=-时,不等式-≤x+y的等号成立,故B正确;对于C,因为x2+y2+xy=(x-y)2+3xy=4,-xy≤,所以≤4,解得-4≤x-y≤4,当且仅当x=-y=2时,不等式x-y≤4的等号成立,当且仅当x=-y=-2时,不等式-4≤x-y的等号成立,故C正确;对于D,由xy≤可知x2+y2+xy=4≤,即≤x2+y2,当且仅当x=y=±时,等号成立,由x2+y2+xy=4得x2+y2-4=-xy,又-xy≤,所以x2+y2-4≤=,所以≤4,即x2+y2≤8,当且仅当-x=y=±2时,等号成立,所以≤x2+y2≤8,故D正确.
12.答案　12
解析　依题意得p===8,
所以三角形的面积为=4
≤4×=4×=12,当且仅当8-a=8-b,即a=b=5时等号成立.
故此三角形面积的最大值为12.
13.答案　2
解析　当a=0时,不等式ax2+2x+b≥0即2x+b≥0,对一切实数x不恒成立,不符合题意;
当a≠0时,依题意知∴
∵存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,
∴4-4ab≥0,解得ab≤1,∴ab=1.
∵a>b,∴a-b>0,
∴==(a-b)+≥2,
当且仅当a-b=且ab=1,即a=,b=时,等号成立,
故的最小值为2.
14.答案　(4,5]
解析　由x2-x+4<0,可得(x-a)<0,
当1若解集中仅有四个整数,则四个整数为2,3,4,5,所以5<≤6,
此时≤a<,与1当a=2时,a=,不等式(x-a)<0即(x-2)2<0,则不等式的解集为 ,不符合题意;
当a>2时,a>,所以不等式的解集为,
若解集中仅有四个整数,则四个整数可能为2,3,4,5或1,2,3,4,
当整数解为2,3,4,5时,5当整数解为1,2,3,4时,0<<1,且4综上,实数a的取值范围是(4,5].
15.证明　(1)因为a所以a<0,且a-c所以(a-c)(b-c)>0,所以<,(4分)
即<,所以<.(6分)
(2)已知a≥3,要证-<-,
只需证+<+,(8分)
即证a+(a-3)+2<(a-1)+(a-2)+2,(10分)
即证<,
即证a(a-3)<(a-1)(a-2),即证0<2,显然成立,(12分)
所以-<-.(13分)
16.解析　(1)若p为真命题,则当x∈[1,4]时,(x2-4x+2)min≥m2-3m.(2分)
易知当x=2时,y=x2-4x+2取得最小值,为-2,(3分)
∴-2≥m2-3m,解得1≤m≤2.
故当p为真命题时,实数m的取值范围是{m|1≤m≤2}.(5分)
(2)存在x∈,使得不等式x2-x+m-≥0成立,
即在x∈上,≥0,(7分)
易知当x=0时,y=x2-x+m-取得最大值,为m-,(8分)
∴m-≥0,解得m≥,
∴当q为真命题时,实数m的取值范围是.(10分)
由(1)知当p为真命题时,实数m的取值范围是{m|1≤m≤2}.
若p为假命题,q为真命题,则解得m>2;(12分)
若p为真命题,q为假命题,则解得1≤m<.(14分)
综上所述,实数m的取值范围是.(15分)
17.解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本(单位:元)为=++40,x∈[70,100].(2分)
又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(3分)
所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分)
因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(5分)
(2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利为y1元,
由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(7分)
因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(9分)
若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利为y2元,由题可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(11分)
因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(13分)
答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(15分)
答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择补贴方案①.(15分)
答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大贡献,所以选择补贴方案②.(15分)
18.解析　(1)依题意知,-1,2是关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0(a>0)的两根,根据根与系数的关系得-1+2=,-1×2=-,解得a=1,所以实数a的值为1.(3分)
(2)不等式ax2+(a-2)x-2≥2x2-3对x∈R恒成立即为(a-2)x2+(a-2)x+1≥0恒成立.
当a=2时,该不等式为1≥0,恒成立;(5分)
当a≠2时,关于x的一元二次不等式(a-2)x2+(a-2)x+1≥0在R上恒成立,
则解得2综上,实数a的取值范围是[2,6].(8分)
(3)不等式ax2+(a-2)x-2≥0化为(ax-2)(x+1)≥0.
①当a=0时,原不等式为-2(x+1)≥0,解得x≤-1;(10分)
②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,
而>-1,所以x≥或x≤-1;(12分)
③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0,
当>-1,即a<-2时,解不等式得-1≤x≤,
当=-1,即a=-2时,解不等式得x=-1,
当<-1,即-2综上所述,当a<-2时,原不等式的解集为,
当a=-2时,原不等式的解集为{-1},
当-2当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1],
当a>0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪.(17分)
19.解析　(1)令x2-x-3=x,整理得(x-3)(x+1)=0,解得x=-1或x=3,
所以二次函数y=x2-x-3的不动点为-1和3.(3分)
(2)由题意可得方程2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根,即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根,
所以解得a>1,(5分)
所以+===-2
=-2=-2=-2=-2
=++3,(7分)
因为a>1,所以a-1>0,所以++3≥2+3=8,当且仅当=,即a=6时等号成立,
所以+的最小值为8.(10分)
(3)由题知对于任意实数b,方程ax2+(b+1)x+(b-1)=x(a≠0)有解,即ax2+bx+(b-1)=0有解,(13分)
所以b2-4a(b-1)≥0,即b2-4ab+4a≥0,
又b是任意实数,所以(-4a)2-16a≤0,即a(a-1)≤0(a≠0),
解得0所以a的取值范围是(0,1].(17分)

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