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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第3章　函数的概念与性质
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(　　)
A B C D
2.函数y=+(2x+1)0的定义域为(　　)
A.　　　　B.∪
C.　　　　D.∪
3.下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A.y=与y=x　　　　B.y=与y=x-1
C.y=与y=x　　　　D.y=x0与y=1
4.函数f(x)=的图象大致为(　　)
A　B　C　D
5.已知函数f(x)=若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.[4,8)　　　　
C.[1,4)　　　　D.[2,8)
6.定义在R上的偶函数f(x)对任意x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,若f(-1)=0,则不等式xf(x)<0的解集是(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)　　　　D.(-∞,-1)∪(0,1)
7.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f =1,如果对于任意x,y∈(0,+∞),且xf(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为(　　)
A.[-4,0)　　　　B.[-1,0)　　　　
C.(-∞,0]　　　　D.[-1,4]
8.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1]　　　　B.[-2,1]　　　　C.[-1,2]　　　　D.[-1,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知f(x)=,则下列说法正确的有(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的值域是[-1,1]
C.f(x)在[-1,1]上单调递增
D.f(x)的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞)
10.某校学习兴趣小组通过研究发现:形如y=(ac≠0,b,d不同时为0)的函数图象可以由反比例函数的图象经过平移变换得到,则对函数y=的图象及性质,下列表述正确的是(　　)
A.图象上点的纵坐标不可能为1
B.图象关于点(1,1)成中心对称
C.图象与x轴无交点
D.函数在区间(1,+∞)上单调递减
11.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　)
A.函数y=x2+1是闭函数
B.函数y=-x3是闭函数
C.函数y=是闭函数
D.若函数y=k+是闭函数,则k∈
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若函数f(x)=则f(-3)=　　　　.
13.用max{a,b}表示a,b中的较大者.设f(x)=max{x+2,x2-3x+5},则函数f(x)的最小值是　　　　.
14.设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x+1)=f(x),当x∈(0,1]时,f(x)=,则当x∈(0,1]时,f(x)的最小值为　　　　;若对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥恒成立,则实数m的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x++1.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给出证明.
16.(15分)2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车.一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时.研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的一次函数.
(1)当0≤x≤220时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x(单位:辆/千米)为多大时,车流量f(x)=x·v(x)(单位:辆/时)可以达到最大 并求出最大车流量.(注:车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数)
17.(15分)已知一次函数f(x)满足f(x-1)=2x+a,　　　.
在下面所给的三个条件中,任选一个补充到题目中,并作答.
①f(a)=5;②4a=f;③4f(1)-2f(2)=6.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值为2,求实数λ的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)若定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,且f(-1)=2.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值;
(3)若m∈[0,1],不等式f(3m2)>f(am+2)-4恒成立,求实数a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)(a<0),求F(x)的最大值g(a);
(3)对于(2)中的g(a),若-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
答案与解析
1.D
2.B　要使函数y=+(2x+1)0有意义,
则解得x<且x≠-,
所以函数的定义域为∪.
3.A　对于A,函数y===x与y=x的定义域都为R,对应关系也相同,是同一个函数,故A符合题意;
对于B,函数y==|x-1|与y=x-1的定义域都为R,但对应关系不同,不是同一个函数,故B不符合题意;
对于C,函数y=的定义域为{x|x≠0},函数y=x的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数,故C不符合题意;
对于D,函数y=x0的定义域为{x|x≠0},函数y=1的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数,故D不符合题意.
4.D　易知函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,C;
当x>0时, f(x)==x-,又y=x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D符合.
5.B　因为f(x)是R上的增函数,
所以解得4≤a<8.
6.D　因为对任意x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,由于f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=f(-1)=0,由此画出f(x)的大致图象如图所示:
由图可知,不等式xf(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1).
7.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f ,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.
由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于任意x,y∈(0,+∞),且xf(y),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以即解得-1≤x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0).
8.B　当a>2,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=
当2此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0,
所以f(x)<0,不满足当x>2时, f(x)>0,故a>2不符合题意;
当02时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0,解得x>2a,
由于x>2时, f(x)>0,故2a≤2,所以0当a=0,x>2时, f(x)=x2>0恒成立,符合题意;
当a<0,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
由于x>2时, f(x)>0,故-a≤2,
所以-2≤a<0.
综上,a的取值范围是[-2,1].
考场速解　当x>2时, f(x)>0,即x|x-a|>2a2,即|x-a|>,
画出y=|x-a|和y=的大致图象,如图,
结合图象得2-a≥a2,解得-2≤a≤1.
9.ABC　对于A,f(x)=的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;
对于B,当x=0时,f(x)=0,当x≠0时,f(x)==,
若x>0,则x+≥2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,
此时0同理,若x<0,则-1≤f(x)<0,故f(x)的值域为[-1,1],故B正确,D错误;
对于C,任取x1,x2∈[-1,1],且x110.ABD　y===1+,则函数y=的图象可由y=的图象先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,∴y=图象上点的纵坐标不可能为1,图象关于点(1,1)成中心对称,图象与x轴的交点为(-2,0),函数在区间(1,+∞)上单调递减.
11.BD　因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误.
y=-x3在定义域上是减函数,若y=-x3是闭函数,则存在区间[a,b],使得函数的值域为[a,b],即解得因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确.
y==1-在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,函数在定义域上不单调,从而该函数不是闭函数,C错误.
y=k+在定义域[-2,+∞)上单调递增,若y=k+是闭函数,则存在区间[a,b],使函数的值域为[a,b],即所以a,b为方程x=k+的两个实数根,即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实数根.
设g(x)=x2-(2k+1)x+k2-2,
当k≤-2时,有可得-当k>-2时,有无解.
综上所述,k∈,D正确.
12.答案　10
解析　f(-3)=f(-2)=f(-1)=…=f(3)=3×3+1=10.
13.答案　3
解析　在同一直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2-3x+5的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示,
由图象可得, f(x)min=f(1)=3.
14.答案　2;
解析　当x∈(0,1]时,由f(x)=,得f(x)=+2x,
则当x∈(0,1]时,f(x)=+2x≥2=2,当且仅当=2x,即x=时取等号,所以f(x)在(0,1]上的最小值为2.
因为f(x+1)=f(x),所以f(x)=f(x-1),
所以当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],
f(x)=f(x-1)=≥,当且仅当=2(x-1),即x=+1时取等号;
当x∈(2,3]时,x-2∈(0,1],
f(x)=f(x-1)=f(x-2)=≥,当且仅当=2(x-2),即x=+2时取等号;
当x∈(3,4]时,x-3∈(0,1],
f(x)=f(x-1)=f(x-2)= f(x-3)=≥,当且仅当=2(x-3),即x=3+时取等号.
因为<<,所以当x∈(3,4]时,令=,解得x=.
因为对任意x∈(0,m](m>0),都有f(x)≥恒成立,所以m≤,
所以实数m的最大值为.
15.解析　(1)设x<0,则-x>0,f(-x)=-x-+1.(2分)
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0,
∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=x+-1,(5分)
∴f(x)= (6分)
(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减.(7分)
证明:在(0,1)内任取x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=x1++1-
=x1-x2-
=(x1-x2)·,(10分)
当00,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),(12分)
∴函数f(x)在(0,1)上单调递减.(13分)
16.解析　(1)由题意可得,当0≤x≤20时,v(x)=100.(2分)
当20≤x≤220时,设v(x)=ax+b(a≠0),
则解得则v(x)=-x+110,(4分)
所以v(x)=(6分)
(2)由(1)得f(x)=x·v(x)=(8分)
当0≤x≤20时,f(x)=100x,在定义域上单调递增,
所以f(x)的最大值为f(20)=2 000;(10分)
当20综上所述,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大车流量为6 050辆/时.(15分)
17.解析　设f(x)=kx+b(k≠0),则k(x-1)+b=2x+a,即kx-k+b=2x+a,
所以k=2,-k+b=a,则b=2+a,
所以f(x)=2x+2+a.(3分)
若选①:
(1)由f(a)=5得2a+2+a=5,解得a=1,所以f(x)=2x+3.(6分)
(2)g(x)=x(2x+3)+λ(2x+3)+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,
其图象开口向上,且对称轴为直线x=-,区间[0,2]的中点值为1.(9分)
当-≤1,即λ≥-4时,g(x)max=g(2)=8+8+4λ+3λ=7λ+16,
所以7λ+16=2,解得λ=-2.(12分)
当->1,即λ<-4时,g(x)max=g(0)=3λ,
所以3λ=2,解得λ=(舍去).
综上所述,λ=-2.(15分)
若选②:
(1)由4a=f得4a=2×+2+a,解得a=1,
所以f(x)=2x+3.(6分)
(2)同选①中的解法.(15分)
若选③:
(1)由4f(1)-2f(2)=6得4(2+2+a)-2(4+2+a)=6,解得a=1,
所以f(x)=2x+3.(6分)
(2)同选①中的解法.(15分)
18.解析　(1)证明:由题知函数f(x)的定义域为R,
令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0,
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),得f(-x)=-f(x),(2分)
所以函数f(x)为奇函数.(3分)
(2)任取x1,x2∈R,且x1因为当x<0时,f(x)>0,所以f(x1-x2)>0,
由(1)知f(x)为奇函数,
所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)为R上的减函数,
故f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3),(6分)
因为f(-1)=2,f(-2)=f(-1)+f(-1)=4,f(-3)=f(-2)+f(-1)=6,
所以f(3)=-f(-3)=-6,故f(x)在[-3,3]上的最小值为-6.(8分)
(3)由(2)可得f(-2)=4,所以f(3m2)>f(am+2)-4=f(am+2)-f(-2)=f(am+2)+f(2)=f(am+4),(10分)
因为f(x)在R上为减函数,
所以当m∈[0,1]时,3m2当m=0时,-4<0,不等式恒成立;
当m∈(0,1]时,a>3m-恒成立,
易知g(m)=3m-在(0,1]上单调递增,(15分)
则有a>g(1)=-1,
所以a的取值范围为(-1,+∞).(17分)
19.解析　(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,
∴函数f(x)的定义域为[-1,1].(1分)
∵(+)2=2+2,且∈[0,1],
∴(+)2∈[2,4],
∴+∈[,2],
∴函数f(x)的值域为[,2].(3分)
(2)F(x)={[f(x)]2-2}+f(x)=a++,
令t=f(x)=+,则t∈[,2],=t2-1,(4分)
∴a++=a+t=at2+t-a,(6分)
令φ(t)=at2+t-a,t∈[,2],则g(a)为函数φ(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值.
易得函数y=at2+t-a的图象是开口向下的抛物线,且其对称轴为直线t=-.
①若-∈(0,],即a≤-,则g(a)=φ()=;(9分)
②若-∈(,2),即-③若-∈[2,+∞),即-≤a<0,则g(a)=φ(2)=a+2.(11分)
综上,g(a)=(12分)
(3)要使-m2+2nm+≤g(a)在n∈[-1,1]上恒成立,
则-m2+2nm+≤g(a)min在n∈[-1,1]上恒成立,(14分)
由(2)易得g(a)min=.
所以m2-2nm≥0在n∈[-1,1]上恒成立.
令h(n)=m2-2nm,n∈[-1,1],
若m=0,则h(n)=0≥0对任意n∈[-1,1]恒成立;
若m≠0,则有即
所以m≥2或m≤-2.
综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).(17分)

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