资源简介

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高中同步达标检测卷
第5章　三角函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数y=2sin的周期,振幅,初相分别是(　　)
A.,2,　　　　B.4π,-2,-　　　　C.4π,2,　　　　D.2π,2,-
2.若sin(π+α)=,α∈,则tan(3π-α)=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
3.已知tan α=,则sin α=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为(　　)
A B C D
5.已知函数y=,则y的最大值为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1
6.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为(　　)
A. rad　　　　B.1 rad　　　　C. rad　　　　D.2 rad
7.已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)(A1>0,ω1>0),g(x)=A2sin(ω2x+φ2)(A2>0,ω2>0)的图象如图所示,为得到函数g(x)的图象,只需先将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再(　　)
A.向右平移个单位长度　　　　B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度　　　　D.向左平移个单位长度
8.已知函数f(x)=sin ωx,ω>0,将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递增,则ω的取值范围为(　　)
A.(0,4]　　　　B.(0,2]　　　　
C.　　　　D.(0,1]
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
10.下列关于函数y=tan的说法正确的是(　　)
A.函数在区间上单调递增
B.函数的最小正周期是π
C.函数图象关于点成中心对称
D.函数图象关于点成中心对称
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B. f(x)的图象关于点对称
C.将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
D.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-2,-]
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.写出一个同时具有下列性质的函数:f(x)=　　　　.
①定义域为R;②是奇函数;③f(x+π)=f(x).
13.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　　,tan θ=　　　　.
14.函数f(x)=sin在上单调递增,且f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合.若方程f(x)=-在上的解为x1,x2,则f(x1+x2)=　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值.
16.(15分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为π,将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,g(x)的图象关于y轴对称,且f=2,求函数f(x)的解析式.
17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),其图象中相邻的两个对称中心的距离为.请从下列三个条件中选择一个作为已知条件并解决后面的问题.
条件①:函数f(x)的图象关于直线x=-对称;条件②:函数f(x)的图象关于点对称;条件③:对任意实数x, f(x)≤f恒成立.
(1)直接写出f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若在区间上存在x0满足g(x0)≤m,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及f(x)图象的对称中心;
(2)若f =,求cos的值;
(3)先将f(x)的图象的纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,再将g(x)的图象向右平移个单位长度,得到h(x)的图象,求函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间.
19.(17分)某学校南门有条长500米,宽6米的道路(如图1所示的矩形ABCD),路的一侧划有100个长5米,宽2.5米的停车位(如矩形AEFG,AG=5米,AE=2.5米),由于停车位不足,放学时段道路拥堵,学校保安李师傅提出一个改造方案,在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下,可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位(如图2),记绿化带被压缩的宽度AM=d米,停车位相对道路倾斜的角度为∠E1A1M=θ,其中θ∈.
　
(1)若cos θ=,求EE1和E1M的长;
(2)求d关于θ的函数表达式d(θ);
(3)若d=3,按照李师傅的方案,该路段改造后的停车位比改造前增加多少个
答案与解析
1.C　由题意知,周期T==4π,振幅为2,在x+中,令x=0,可得初相为.
2.D　∵sin(π+α)=,α∈,
∴-sin α=,∴sin α=-,∴cos α=-=-,
∴tan α==,
∴tan(3π-α)=tan(-α)=-tan α=-.
3.B　由tan α=,得=,∴cos 2α=2sin α-sin 2α,
∴2sin α=cos 2α+sin 2α=1,解得sin α=.
4.C　易知函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)===f(x),故f(x)是偶函数,排除A,B.
当x=时, f=>0,排除D.
5.D　y==sin x+2+-4,
令t=sin x+2,则t∈[1,3],y=t+-4,由对勾函数的性质可知y=t+-4在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,
又当t=1时,y=1,当t=3时,y=,所以y的最大值为1.
6.D　设扇形的圆心角为α rad,半径为r,则S扇形=αr2,
由C=2r+αr,得r=,且0<α<2π,
∴S扇形=α·==,
又2α+≥2=8,当且仅当2α=,即α=2时“=”成立,
∴S扇形的最大值为,对应的圆心角α=2 rad.
7.A　由题图1可知A1=2,T1=π-(-π)=2π,则ω1==1,
当x=时,ω1x+φ1=1×+φ1=2kπ+(k∈Z),则φ1=2kπ(k∈Z),
不妨令k=0,可得φ1=0,则f(x)=2sin x,
同理可得g(x)=2sin=2sin,
故再将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到函数g(x)的图象.
8.C　将f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数g(x)=sin的图象,
因为函数g(x)在区间上单调递增,
所以结合各选项,只需ωx+∈即可,
所以解得-3≤ω≤,
又因为ω>0,所以0<ω≤.
9.BC　选项A中,-=-2π+,是第二象限角,故A错误;
选项B中,设该扇形的半径为r,则·r=π,∴r=3,∴S扇形=××32=,故B正确;
选项C中,r==5,∴cos α==-,故C正确;
选项D中,取α=30°,则α是锐角,但2α=60°不是钝角,故D错误.
10.ACD　当x∈时,2x-∈,所以y=tan在区间上单调递增,故A正确;
函数y=tan的最小正周期是,故B错误;
当x=时,2x-=,所以函数y=tan的图象关于点成中心对称,故C正确;
当x=时,2x-=0,所以函数y=tan的图象关于点成中心对称,故D正确.
11.ABC　由题图可得A=2,·=-,故ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),又f=2sin=2,即sin=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin.
当x=-时, f(x)=0,故A中说法错误;
当x=-时, f(x)=-2,故B中说法错误;
将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin的图象,故C中说法错误;
当x∈时,2x+∈-,,
则当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递减,当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递增,
因为2sin=-,2sin=-2,2sin=,
所以方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-],故D中说法正确.
12.答案　f(x)=sin 2x(答案不唯一)
13.答案　;-
解析　∵sin θ+cos θ=,
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,∴sin θcos θ=-,
∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=,(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.
∵θ∈(0,π),sin θcos θ=-<0,
∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ=.
由解得∴tan θ=-.
14.答案　
解析　设f(x)的最小正周期为T,则T≥-=,故T≥,
因为f(x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合,所以π为函数的一个周期,
故最小正周期T=π,即=π,解得ω=±2,
若ω=-2,则f(x)=sin=-sin,
当x∈时,2x-∈,
所以f(x)=-sin在上单调递减,不合要求,
若ω=2,则f(x)=sin,
当x∈时,2x+∈,
所以f(x)=sin在上单调递增,满足要求,
当x∈时,2x+∈(π,2π),
则由图象的对称性可得=,即x1+x2=,
故f(x1+x2)=f=sin=sinπ=.
15.解析　(1)f(α)=
==-tan α.(5分)
(2)结合(1)知tan α=-2,
所以===3,(9分)
4sin2α-3sin αcos α====.(13分)
16.解析　∵函数f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期为π,
∴ω==2,(2分)
∵g(x)=f=Acos=Acos的图象关于y轴对称,(4分)
∴-+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,(7分)
由|φ|<,可得φ=,∴f(x)=Acos.(10分)
∵f=2,∴f=Acos=Acos 0=A=2,(13分)
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos.(15分)
17.解析　(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象中相邻的两个对称中心的距离为,
所以=,即最小正周期T=π,(2分)
所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分)
选择条件①:
因为函数f(x)的图象关于直线x=-对称,
所以2×+φ=kπ+,k∈Z,(5分)
解得φ=kπ+,k∈Z.
因为|φ|<,所以φ=-.(7分)
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(8分)
选择条件②:
因为函数f(x)的图象关于点对称,
所以2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z.(5分)
因为|φ|<,所以φ=-.(7分)
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(8分)
选择条件③:
因为对任意实数x, f(x)≤f恒成立,
所以当x=时, f(x)取得最大值,(4分)
所以2×+φ=2kπ+,k∈Z,(5分)
解得φ=2kπ-,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=-.(7分)
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(8分)
(2)由题意得g(x)=f=2sin=2sin.(10分)
当x∈时,2x-∈,(11分)
所以当2x-=,即x=时,g(x)有最小值-1.(13分)
因为在区间上存在x0满足g(x0)≤m,
所以m≥-1,故m的取值范围是[-1,+∞).(15分)
18.解析　(1)由题图可知,A=2,T=-=,因为T==π,
ω>0,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).(3分)
又函数f(x)的图象过点,所以2=2sin,即+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin.(6分)
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以f(x)图象的对称中心为,k∈Z.(9分)
(2)由(1)及题意,得f =2sin=,即sin=.(11分)
因为-=,
所以cos=cos=-sin=-.(13分)
(3)易得h(x)=sin=-cos 2x.(15分)
因为x∈,所以2x∈,
令π≤2x≤,解得≤x≤,
所以函数y=h(x)在x∈上的单调递减区间为.(17分)
19.解析　(1)因为∠E1A1M+∠A1E1M=90°,∠A1E1M+∠AE1F1=90°,所以∠E1A1M=∠AE1F1=θ.
则EE1=E1F1cos θ=5×=3米,(2分)
由θ∈,cos θ=,得sin θ=,
所以ME1=A1E1sin θ=×=2米.(4分)
(2)易得d=AM=E1E-AE+ME1,(6分)
结合(1)可得d=AM=5cos θ+sin θ-2.5,
故d(θ)=5cos θ+sin θ-,θ∈.(9分)
(3)令3=5cos θ+sin θ-,则10cos θ+5sin θ=11.
则sin θ=,所以sin2θ+cos2θ=+cos2θ=1,
化简得125cos2θ-220cos θ+96=0,解得cos θ=或cos θ=.
因为θ∈,所以设改造后的停车位的个数为n.
如图,过停车位顶点Gn作射线MA1的垂线,垂足为Hn.
则顶点Gn到线段ME的距离dn=MA1+A1A2+A2A3+…+An-1An+AnHn.
又A1A2=A2A3=…=An-1An,A1H1=A2H2=A3H3=…=AnHn,
所以dn=MA1+A2H2+(n-1)A1A2.(14分)
易得∠E2A2A1=∠A2G2H2=θ,
所以A1A2==,A2H2=A2G2sin θ=3,
又MA1=A1Ecos θ=2.
所以dn=MA1+A2H2+(n-1)A1A2=5+(n-1),
令dn≤500,即(n-1)≤495,解得n≤159.4,(16分)
故改造后的停车位的个数为159,
则改造后的停车位比改造前增加59个.(17分)

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