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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末综合检测
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|-3A.{-2,-1,0,1}　　　　B.{-3,-2,-1,0}
C.{-2,-1,0}　　　　D.{-3,-2,-1 }
2.某大学工程学院共有本科生1 200人、硕士生400人、博士生200人,要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本,则应抽取博士生的人数为(　　)
A.20　　　　B.25　　　　
C.40　　　　D.50
3.函数y=+ln(x-4)的定义域为(　　)
A.(4,7)　　　　B.(4,7]　　　　
C.(-∞,7]　　　　D.(4,+∞)
4.已知a,b是实数,则“a>b>0且cA.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.函数f(x)=ln的图象大致是(　　)
6.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象如图所示,为了得到g(x)=sin ωx的图象只要将f(x)的图象(　　)
A.向右平移个单位长度　　　　B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度　　　　D.向左平移个单位长度
7.定义域为R的函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x), f(4)=0,且 x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,则不等式(x-3)f(x)<0的解集为(　　)
A.(-∞,2)∪(4,+∞)　　　　B.(2,3)∪(4,+∞)
C.(2,3)∪(3,4)　　　　D.(-∞,2)∪(3,4)
8.已知a=,b=,c=log34,d=log45,则a,b,c,d的大小关系为(　　)
A.b>a>d>c　　　　B.b>c>a>d　　　　C.b>a>c>d　　　　D.a>b>d>c
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列命题是真命题的是(　　)
A.若幂函数f(x)=xα的图象过点,则α=-
B. x∈(0,1),>lox
C. x∈(0,+∞),lox>lox
D.命题“ x∈R,sin x+cos x<1”的否定是“ x∈R,sin x+cos x≥1”
10.下列说法不正确的是(　　)
A.函数f(x)=在定义域内是减函数
B.若g(x)是奇函数,则一定有g(0)=0
C.已知x>0,y>0,且+=1,若x+y>m2+3m恒成立,则实数m的取值范围是(-4,1)
D.已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是[-3,-1]
11.已知函数f(x)=方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根,则下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)的零点的个数为2 B.实数m的取值范围为
C.函数f(x)无最值 D.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则f的值为　　　　　.
13.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是　　　　.
14.已知实数a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设全集U=R,函数f(x)=log3(-x2+6x-5)的定义域为集合A,集合B={x|2-a(1)当a=1时,求 U(A∩B);
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
16.(15分)从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图).
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)试估计该小学学生的平均身高;
(3)若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取24人参加一项活动,求从身高在[140,150]内的学生中选取的人数.(同一组中的数据用该组区间的组中值作代表)
17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤.若f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为,f(0)=1,求解下列问题.
(1)求f(x)的解析式并求f(x)的单调递增区间;
(2)请完善表格,然后利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象,并求f(x)在区间上的最值.
ωx+φ
x
f(x)
18.(17分)已知二次函数f(x)的图象经过原点,对称轴为直线x=1,方程f(x)+1=0有两个相等实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意x∈,2f(log2x)+m≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若函数g(x)=与h(x)=k·3x-k-2的图象有且只有一个公共点,求实数k的取值范围.
19.(17分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=-2x2-4x-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=.
①若 x∈R,不等式f(m)≤g(x)+恒成立,求实数m的取值范围;
②已知包含实数0的区间D,若 x1,x2,x3∈D, f(g(x1)), f(g(x2)), f(g(x3))可作为一个三角形的三边长.将区间[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)记为I,定义‖I‖=b-a,设M={y|y=g(x),x∈D},求‖M‖.
答案与解析
1.C　因为集合M={x|-32.A　由题意得应抽取博士生的人数为×180=20.
3.B　由题意,得解得44.A　c->0,
又∵a>b>0,∴->->0 <,故充分性成立,
反过来,不妨取a=-1,d=1,b=1,c=2,则<,但a>b>0且c故“a>b>0且c5.B　由x->0得-11,故函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(1,+∞),
又函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增,
所以函数f(x)=ln在(-1,0)和(1,+∞)上均单调递增.
6.A　由题图可知,=-=,所以T=π,所以ω==2,从而f(x)=sin(2x+φ),
又f=sin=-1,因此+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin,所以为了得到函数g(x)=sin 2x的图象,只需将函数f(x)的图象向右平移个单位长度即可.
7.D　因为f(3+x)=f(3-x),所以直线x=3是函数f(x)图象的对称轴.
又因为 x1,x2∈[3,+∞),当x1≠x2时,>0,
所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,在(-∞,3]上单调递减.
由f(4)=0得f(2)=0,
所以当x∈(-∞,2)时,x-3<0, f(x)>0,满足(x-3)f(x)<0,
当x∈[2,3]时,x-3≤0, f(x)≤0,不满足(x-3)f(x)<0,
当x∈(3,4)时,x-3>0, f(x)<0,满足(x-3)f(x)<0,
当x∈[4,+∞)时,x-3>0, f(x)≥0,不满足(x-3)f(x)<0,
所以不等式(x-3)f(x)<0的解集为(-∞,2)∪(3,4).
8.C　a==(2.
函数y=在[0,+∞)上单调递增,<2<3,
所以<(2<,即b>a>.
函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,log43>0,log45>0,所以2=log416>log415=log43+log45=+2·>2·,所以log43×log45<1,即log45<=log34,即c>d.
函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,且4<3,
所以log34综上,b>a>>c>d.
9.BD　选项A中,4= 2-α=22 α=-2,故A错误;
选项B中,在同一平面直角坐标系中作出y=与y=lox的图象,设两图象交点的横坐标为x0,则0lox,故B正确;
选项C中,当x=2时,lox=lo2=-1,
lox=lo2=-log32>-log33=-1,故C错误;
显然选项D正确.
10.ABD　函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数,故A中说法不正确;
当g(x)是奇函数时,g(0)可能无意义,故B中说法不正确;
由+=1,x>0,y>0,得x+y=(x+y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=y时取等号,依题意得m2+3m<4,解得-4因为f(x)是增函数,所以解得-3≤a≤-2,故D中说法不正确.
11.ABC　作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知, f(x)有x=-2和x=1两个零点,无最值,且在(0,+∞)上不单调,故A,C正确,D错误.令t=f(x),由方程[f(x)]2-mf(x)-1=0有4个不同的实数根,得方程t2-mt-1=0有2个实数根,设这两根分别为t1,t2,t1结合图象可知t1<0,0所以f(x)≤-或0由[f(x)]2-mf(x)-1=0,得m=f(x)-,
易知函数y=x-在和(0,2]上单调递增,
当f(x)=-时,m=,当f(x)=2时,m=,
所以m≤,故B正确.
12.答案　
解析　由题图得A=2,=-=,故T=π,故ω==2,
由f=2sin=2,得+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-,故f(x)=2sin,
所以f=2sin=2sin=2×=.
13.答案　65
解析　由题图得,成绩在[20,60)内的频率是(0.005+0.010)×20=0.3,成绩在[20,80)内的频率为0.3+0.020×20=0.7,故第40百分位数一定位于[60,80)内,
则这次数学测试成绩的第40百分位数为60+×20=65.
14.答案　25
解析　因为ab-a-2b-2=0,所以b=,
因为b>0,所以>0,又a>0,所以a>2,
又b==1+,
所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=a+2b+2+2a+b+2=3a+3b+4
=3a++7=3(a-2)++13≥2+13=25,
当且仅当3(a-2)=,即a=4时,等号成立,
故(a+1)(b+2)的最小值为25.
15.解析　(1)由题意得,-x2+6x-5>0,解得1则A∩B={x|1所以 U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}.(6分)
(2)由(1)知,A={x|1由“x∈A”是“x∈B”的充分条件,得A B,(9分)
所以解得a≥2.
综上,实数a的取值范围是{a|a≥2}.(13分)
16.解析　(1)因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1,
所以10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,
解得a=0.030.(4分)
(2)根据题中频率分布直方图,计算样本数据的平均数为(105×0.005+115×0.035+125×0.030+135×0.020+145×0.010)×10=124.5(cm).
所以估计该小学学生的平均身高为124.5 cm.(8分)
(3)由题图知,此三个范围内的学生总人数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,(10分)
其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10×0.010=10,(13分)
所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为×24=4.(15分)
17.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T,∵f(x1)=2,f(x2)=0,|x1-x2|的最小值为,∴=,即T==π,解得ω=2.(2分)
由f(0)=1,可得2sin φ=1,则sin φ=,
∴φ=+2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),(4分)
又|φ|≤,∴φ=,∴f(x)=2sin.(6分)
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
(2)完善表格:
ωx+φ 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
(10分)
描点,连线如图:
(13分)
由图可知,当x=时,f(x)取最大值,最大值为2;当x=时,f(x)取最小值,最小值为f=2sin=-.(15分)
18.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(x)的图象经过原点,∴f(0)=c=0.
∵f(x)图象的对称轴为直线x=1,
∴-=1①.(2分)
∵f(x)+1=ax2+bx+1=0有两个相等实根,
∴Δ=b2-4a=0②.
由①②且a≠0可得a=1,b=-2,
∴f(x)=x2-2x.(4分)
(2)由题可得2[(log2x)2-2log2x]+m≥0对任意x∈恒成立.
令t=log2x,则t∈[-1,3],m≥-2t2+4t对任意t∈[-1,3]恒成立.(6分)
易知当t=1时,y=-2t2+4t取得最大值2,∴m≥2,即实数m的取值范围为[2,+∞).(8分)
(3)∵g(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,
∴=k·3x-k-2只有一个实数根,即(k-1)·(3x)2-k·3x-1=0只有一个实数根.(10分)
令n=3x,则n>0,(k-1)n2-kn-1=0只有一个正实数根.(12分)
若k=1,则n=-,不符合题意,舍去;
若k≠1,则方程的两个根异号或方程有两个相等的正实数根,(14分)
∴<0或
解得k>1或k=-3.
综上,实数k的取值范围是{k|k=-3或k>1}.(17分)
19.解析　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0,(1分)
当x>0时,-x<0,
∴f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)2-4(-x)-3]=2x2-4x+3.(3分)
综上, f(x)=(4分)
(2)①g(x)+=+=,
令t=ex+e-x,则t∈[2,+∞),g(x)+=,
易知y=在[2,+∞)上单调递增,
∴当t=2时,ymin=,∴=,
∵不等式f(m)≤g(x)+恒成立,∴f(m)≤,(7分)
当m<0时, f(m)=-2m2-4m-3=-2(m+1)2-1<0≤恒成立;
当m=0时, f(m)=0≤恒成立;
当m>0时, f(m)=2m2-4m+3,令2m2-4m+3≤,则≤m≤.
综上,m的取值范围是(-∞,0]∪.(10分)
②不妨设f(g(x1))≤f(g(x2))≤f(g(x3)).
由已知得f(g(x1))+f(g(x2))>f(g(x3)),
则 x∈D,都有2f(g(x))min>f(g(x))max.(13分)
由①可得g(x)≥1,令k=g(x),则k≥1, f(g(x))=f(k)=2k2-4k+3=2(k-1)2+1≥1,
∴f(g(x))min=1,(15分)
∵2f(g(x))min>f(g(x))max,
∴2>2k2-4k+3,即2k2-4k+1<0,解得1-又k≥1,所以1≤k<1+,即1≤g(x)<1+,
∴M=,则‖M‖=.(17分)

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