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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末综合检测
全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合A=x2x<,B={x|log3x<1},则( RA)∩B=(　　)
A.(-2,3)　　　　B.[-2,3)　　　　C.(0,3)　　　　D.(2,3)
2.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且为偶函数,则实数m=(　　)
A.2或-1　　　　B.-1　　　　C.4　　　　D.2
3.函数f(x)=的大致图象为(　　)
　　　　　　　　
　　　　
4.甲、乙两名运动员进行射击比赛,每名运动员射击10次,得分情况如图表所示,则根据本次比赛结果,以下说法正确的是(　　)
乙射击成绩/环 6 7 8 9 10
频数 1 2 2 2 3
A.通过判断甲、乙射击成绩的平均数知甲比乙的射击水平更高
B.甲的射击水平更稳定
C.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
5.已知函数f(x)=log2·log2,若f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),则+的最小值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.4
6.教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%,经测定,刚下课时,某教室内空气中含有0.25%的二氧化碳,若开窗通风后教室内空气中二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位:分钟)的最小整数值为(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099)(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.10　　　　D.11
7.已知函数f(x)=若f(x)恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是(　　)
A.　　　　B.(-∞,0]　　　　C.(-∞,0)　　　　D.
8.已知函数f(x)(x∈R,且x≠0),若对任意非零实数x1,x2,恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且对任意x>1,有f(x)<0,则不等式f(2x+5)≤0的解集为(　　)
A.{x|-3≤x≤3}　　　　B.{x|x≤-3或x≥-2}
C.{x|-3≤x≤-2}　　　　D.{x|x≤3}
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知10a=2,10b=3,则下列运算正确的是(　　)
A.=　　　　B.=
C.=log32　　　　D.ab=lg 6
10.算盘是我国古代一项伟大的发明,是一种重要的计算工具.一把算盘的初始状态如图所示,自右向左,各档分别表示个位、十位、百位、千位……,梁上面每一粒珠子(简称上珠)代表5,梁下面每一粒珠子(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠使其靠梁,且十位拨动一粒下珠使其靠梁,表示的数为15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子使其靠梁,设事件A=“表示的四位数能被3整除”,B=“表示的四位数能被5整除”,则(　　)
A.P(A)=　　　　B.P(B)=
C.P(A∪B)=　　　　D.P(AB)=
11.已知函数f(x)=则(　　)
A.函数f(x)有3个零点
B.若函数y=f(x)-t有2个零点,则0C.关于x的方程f(f(x))=-有5个不相等的实根
D.若关于x的方程f(x)=t有3个不相等的实根时,各实根之和为m,有4个不相等的实根时,各实根之和为n,则m三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.要检验某公司生产的500袋袋装牛奶的质量是否达标,现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验,将它们依次编号为000,001,002,…,499,并利用随机数表抽取样本,从第8行第5列的数开始,按3位数依次向右读取,到行末后接着从下一行第一个数继续读,则抽取的第5袋牛奶的编号是　　　　.(下面摘取了某随机数表的第7行至第9行)
84421　75531　57245　50688　77047　44767　21763
35025　83921　20676　63016　47859　16955　56719
98301　07185　12867　35807　44395　23879　33211
13.已知函数f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(x)=2x+1.若函数h(x)=4x+2-x-g(x),x∈[-2,1],则h(x)的值域为　　　　.
14.椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象.已知椭圆曲线C:y2=x3-3x+1,则C与x轴的交点个数n=　　　　;若f(x)=x2-2,C与x轴交点的横坐标从小到大排列为x1,x2,…,xn,则(f(xi)-xi+1)=　　　　.这里xn+1=x1,若n≥1,则ai=a1a2·…·an;若n=0,则ai=0
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}.
(1)若m=-2,求集合A∪ RB;
(2)请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②若x∈A,则x B;③A RB这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
若　　　,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知函数f(x)=(log2x-2)log4(2x).
(1)当x∈[1,64]时,求该函数的值域;
(2)求不等式f(x)>5的解集;
(3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立,求m的最小值.
17.(15分)手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走的步数(单位:百),并绘制出如下频率分布直方图(图中各区间均为左开右闭区间).
(1)求直方图中m的值,并估计该单位职工一天行走步数的中位数;
(2)若该单位有职工200人,试估计职工一天行走步数不大于13 000的人数;
(3)在(2)的条件下,该单位从行走步数大于或等于15 000的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加远足拉练活动,再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间(150,170]的概率.
18.(17分)某校举行围棋比赛,甲、乙、丙三个人通过初赛,进入决赛.已知甲与乙比赛时,甲获胜的概率为p1,甲与丙比赛时,甲获胜的概率为p2,乙与丙比赛时,乙获胜的概率为p3.
决赛规则如下:首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛,丙轮空;第一局比赛结束后,胜利者和丙进行比赛,失败者轮空,以此类推,每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛,每场比赛胜者积1分,负者积0分,首先累积到2分者获得比赛胜利,比赛结束,且每局比赛相互独立.
(1)假设p1=p2=p3=0.6.
(i)求乙连胜两局获得最终胜利的概率;
(ii)求比赛结束时乙获胜的概率;
(2)若p1+p3<1,假设乙第一局出场,且乙获得了指定首次比赛对手的权利,为获得比赛的胜利,试分析乙的最优指定策略.
19.(17分)若存在实数对(a,b),使得等式f(a+x)·f(a-x)=b对定义域中每一个实数x都成立,则称函数f(x)为“(a,b)型函数”.
(1)若函数f(x)=3x是“(a,b)型函数”,且a+log3b=6,求满足条件的实数对(a,b);
(2)若函数F(x)=是“(a,b)型函数”,求a和b的值;
(3)已知函数h(x)=|x-2|,g(x)是“(a,b)型函数”,对应的实数对(a,b)为(0,8),当x∈(0,2]时,g(x)=x2-m(x-2).若对任意x1∈[-2,2],都存在x2∈[-2,0],使得g(x1)=h(x2),求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.C　由已知得A={x|x<-2},B={x|02.D　由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
因为f(x)为偶函数,所以m2-2m-2为偶数,故m=2.
3.A　由题意可知f(x)的定义域为{x|x≠±1},关于原点对称,且f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故C错误;f(2)=e-2-e2<0,故D错误;当x趋于+∞时,f(x)趋于-∞,故B错误;可知A正确.
4.B　甲射击成绩的平均数=×(5+7+3×8+4×9+10)=8.2(环),
乙射击成绩的平均数=×(6+2×7+2×8+2×9+3×10)=8.4(环),
∵<,∴乙的射击水平更高,故A错误;
甲射击成绩的方差=×[(5-8.2)2+(7-8.2)2+3×(8-8.2)2+4×(9-8.2)2+(10-8.2)2]=1.76,
乙射击成绩的方差=×[(6-8.4)2+2×(7-8.4)2+2×(8-8.4)2+2×(9-8.4)2+3×(10-8.4)2]=1.84,
∵<,∴甲的射击水平更稳定,故B正确;
甲的射击成绩(单位:环)由小到大排列为5,7,8,8,8,9,9,9,9,10,位于第5、6位的数分别是8,9,所以甲射击成绩的中位数是=8.5(环),
乙的射击成绩(单位:环)由小到大排列为6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,位于第5、6位的数分别是8,9,所以乙射击成绩的中位数是=8.5(环),故C错误;
甲射击成绩的众数为9环,乙射击成绩的众数为10环,故D错误.
5.B　f(x)=log2·log2=(log2x-1)(log2x-3)=(log2x)2-4log2x+3.
因为f(x1)=f(x2)(其中x1≠x2),所以log2x1+log2x2=4,即x1x2=16,
易知x1,x2>0,所以+≥2=2×=,当且仅当=,x1x2=16,x1,x2>0,即x1=,x2=12时取“=”.
6.B　当t=0时,y=0.05+λe0=0.05+λ=0.25,解得λ=0.2,
所以y=0.05+0.2,由y=0.05+0.2≤0.15得≤,
所以ln≤ln ,则-≤-ln 2,故t≥10×ln 2≈10×0.693=6.93,
所以t的最小整数值为7.
7.A　设g(x)=则f(x)=g(x)+m,f(x)恰有3个零点,即g(x)的图象与直线y=-m恰有3个不同的交点,
在同一坐标系内作出g(x)=的图象和直线y=-m,如图所示.
不妨设x1所以-lg x2=lg x3,即lg x2+lg x3=0,所以x2x3=1,
所以x1x2x3=x1∈.
8.B　对于f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1,则f(1)=f(1)+f(1),可得f(1)=0,
令x1=x2=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),可得f(-1)=0,
令x1=-1,x2=x,则f(-x)=f(-1)+f(x),得f(-x)=f(x),
又函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以函数f(x)是偶函数,
任取x1,x2∈(0,+∞),且x11,
由对任意x>1,有f(x)<0,知f<0,
∴f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f+f(x1)-f(x1)=f<0,
∴f(x2)由f(2x+5)≤0,得f(2x+5)≤f(1),可得|2x+5|≥1,得2x+5≥1或2x+5≤-1,解得x≤-3或x≥-2.
9.ABC　对于A,=1×1===,故A正确;对于B,====,故B正确;对于C,由题意得a=lg 2,b=lg 3,则==log32,故C正确;对于D,ab=lg 2×lg 3≠lg 6,故D错误.
10.ACD　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子使其靠梁,所得四位数共16个,分别为1 111,1 115,1 151,1 155,1 511,1 515,1 551,1 555,5 111,5 115,5 151,5 155,5 511,5 515,5 551,5 555.
事件A包含的样本点有1 155,1 515,1 551,5 115,5 151,5 511,共6个,因此P(A)==,A正确;事件B包含的样本点有1 115,1 155,1 515,1 555,5 115,5 155,5 515,5 555,共8个,因此P(B)==,B错误;事件A∪B包含的样本点有1 115,1 155,1 515,1 551,1 555,5 115,5 151,5 155,5 511,5 515,5 555,共11个,因此P(A∪B)=,C正确;事件AB包含的样本点有1 155,1 515,5 115,共3个,因此P(AB)=,D正确.
11.AC　画出f(x)的图象,如图.
对于A,显然函数图象与x轴有三个交点,A正确;
对于B,若y=f(x)-t有2个零点,则f(x)的图象与直线y=t有两个交点,由图可得0对于C,令f(x)=k,由f(f(x))=-可得f(k)=-,
因为-1<-<-=-0.875,所以结合图象可知方程f(k)=-有三个不等的实根,分别设为k1,k2,k3,且k1则k1∈(-2,-1),k3∈(3,+∞),由f=-2×-4×-1>0知k2∈,
由图知直线y=k1(k1∈(-2,-1))与函数f(x)的图象有1个交点,直线y=k2与函数f(x)的图象有4个交点,直线y=k3(k3∈(3,+∞))与函数f(x)的图象有0个交点,
因此关于x的方程f(f(x))=-有5个不相等的实根,C正确;
对于D,若关于x的方程f(x)=t有3个不相等的实根,则-1当-1-1×2+6=4,
当t=0时,各实根之和m=-1×2+3=1,
当有4个不相等的实根时,可得-故m>n或m12.答案　286
解析　抽取的前5袋牛奶的编号依次为206,301,169,071,286,所以抽取的第5袋牛奶的编号是286.
13.答案　
解析　由f(x)+g(x)=2x+1得f(-x)+g(-x)=2-x+1,
因为函数f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数,
所以-f(x)+g(x)=2-x+1,所以g(x)=2x+2-x,所以h(x)=-2x,x∈[-2,1],
令t=2x,x∈[-2,1],则t∈,
所以(2x)2-2x=t2-t=-∈,
所以h(x)的值域为.
14.答案　3;-9
解析　设g(x)=x3-3x+1,
则g(-2)=-1<0,g(-1)=3>0,g(0)=1>0,g(1)=-1<0,g(2)=3>0,
又因为三次方程至多有3个根,所以x3-3x+1=0有三个实根x1,x2,x3,且-2不妨设t是x3-3x+1=0的一个根,即t3-3t+1=0,易知t≠0,则t2-2=1-,3t-1=t3,
则(t2-2)3-3(t2-2)+1=-3+1=-3+1=-3+1=0,所以t2-2也是x3-3x+1=0的一个根.
因为-2所以-2=1->1,-2=1-<0,-2=1-∈(0,1),
因此-2=x3,-2=x1,-2=x2,即f(x1)=x3, f(x2)=x1, f(x3)=x2.
因为x3-3x+1=0恰有三个实根x1,x2,x3,且x1所以g(x)=x3-3x+1=(x-x1)(x-x2)(x-x3),
因此(f(x1)-x2)(f(x2)-x3)(f(x3)-x1)=(x3-+2)(x1-+2)(x2-+2)=-(-1-x3)(2-x3)(-1-x1)(2-x1)(-1-x2)(2-x2)=-g(-1)g(2)=-9,即(f(xi)-xi+1)=-9.
15.解析　(1)A={x|x2<4}=(-2,2),(1分)
当m=-2时,B={x|(x+1)(x-5)>0}=(-∞,-1)∪(5,+∞),(2分)
∴ RB=[-1,5],(4分)
∴A∪ RB=(-2,5].(6分)
(2)易得A=(-2,2),B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}=(-∞,m+1)∪(m+7,+∞).(8分)
若选①,则A B,(10分)
所以m+1≥2或m+7≤-2,解得m≥1或m≤-9,(12分)
所以实数m的取值范围为(-∞,-9]∪[1,+∞).(13分)
若选②,则A∩B= ,(10分)
所以m+1≤-2且m+7≥2,解得-5≤m≤-3,(12分)
所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分)
若选③,易得 RB=[m+1,m+7],(10分)
若A RB,则m+1≤-2且m+7≥2,解得-5≤m≤-3,(12分)
所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分)
16.解析　(1)f(x)=(log2x-2)log4(2x)=(2log4x-2),
令t=log4x,由x∈[1,64],可知t∈[0,3],
函数f(x)转化为y=(2t-2),t∈[0,3].(2分)
因为y=(2t-2)=2t2-t-1=2-,
其在上单调递减,在上单调递增,
所以当t=时,y取到最小值,为-.(4分)
由>,可知当t=3时,y取到最大值,为2×32-3-1=14,
故当x∈[1,64]时,函数f(x)的值域为.(6分)
(2)由题得(2log4x-2)-5>0,令t1=log4x,
则不等式即为(2t1-2)-5>0,即2-t1-6>0,解得t1>2或t1<-,　　(8分)
当t1>2,即log4x>2时,解得x>16;
当t1<-,即log4x<-时,解得0故不等式f(x)>5的解集为x016.(11分)
(3)由题得(2log4x-2)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立,
令t2=log4x,x∈[4,16],则t2∈[1,2],(2t2-2)≤mt2在t2∈[1,2]上恒成立,
所以m≥2t2--1在t2∈[1,2]上恒成立,(13分)
因为函数y=-在x∈[1,2]上单调递增,y=2x在x∈[1,2]上单调递增,
所以函数y=2t2--1在t2∈[1,2]上单调递增,所以当t2=2时,此函数取得最大值,为,
故当m≥时,f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立.
所以m的最小值为.(15分)
17.解析　(1)由题图得20×(0.002+0.006+0.008+m+0.010+0.008+0.002+0.002)=1,解得m=0.012.(2分)
(0.002+0.006+0.008)×20=0.32<0.5,0.32+0.012×20=0.56>0.5,故中位数在区间(110,130]内,设中位数为(110+x)百,则0.32+0.012x=0.5,解得x=15,所以估计该单位职工一天行走步数的中位数是125百.(5分)
(2)200×[(0.002+0.006+0.008+0.012)×20]=112(人).
所以估计职工一天行走步数不大于13 000的有112人.(7分)
(3)在区间(150,170]中的有200×0.008×20=32(人),在区间(170,190]中的有200×0.002×20=8(人),在区间(190,210]中的有200×0.002×20=8(人),(9分)
按分层随机抽样抽取6人,则从(150,170]中抽取4人,分别设为a,b,c,d,从(170,190]中抽取1人,设为E,从(190,210]中抽取1人,设为F,(11分)
则从6人中抽取2人的情况有ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF,共15种,(13分)
其中满足两人均来自区间(150,170]的情况有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6种,
所以这两人均来自区间(150,170]的概率为=.(15分)
18.解析　(1)(i)乙连胜两局获得最终胜利的概率为(1-p1)×p3=(1-0.6)×0.6=0.24.(3分)
(ii)比赛结束时乙获胜的概率P=(1-p1)p3+(1-p1)(1-p3)p2(1-p1)+p1(1-p2)p3(1-p1)=0.4×0.6+0.4×0.4×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6×0.4=0.336.(6分)
(2)设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”,B为“第一局乙对甲最终乙获胜”,
则事件A包含3种情况:①第一局乙获胜,第二局乙获胜;②第一局乙获胜,第二局甲获胜,第三局丙获胜,第四局乙获胜;③第一局丙获胜,第二局甲获胜,第三局乙获胜,第四局乙获胜,(8分)
故P(A)=p3(1-p1)+p3p1(1-p2)p3+(1-p3)p2(1-p1)p3,(10分)
同理可得P(B)=(1-p1)p3+(1-p1)(1-p3)p2(1-p1)+p1(1-p2)p3(1-p1),(12分)
故P(A)-P(B)
=[p3p1(1-p2)p3-p1(1-p2)p3(1-p1)]+[(1-p3)p2(1-p1)p3-(1-p1)(1-p3)p2(1-p1)]
=(p1+p3-1)p1(1-p2)p3+(p1+p3-1)(1-p3)p2(1-p1)
=(p1+p3-1)[p1(1-p2)p3+(1-p3)p2(1-p1)],(14分)
由于p1+p3<1,故P(A)-P(B)<0,所以P(B)>P(A),(16分)
故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲.(17分)
19.解析　(1)因为f(x)=3x是“(a,b)型函数”,
所以存在实数对(a,b)使得等式3a+x·3a-x=b成立,即32a=b,(1分)
将其代入a+log3b=6,可得a+log332a=6,即3a=6,则a=2,b=34=81.
所以满足条件的实数对为(2,81).(3分)
(2)由F(x)=是“(a,b)型函数”,得F(a+x)·F(a-x)=·==b,
则=logπb,(5分)
因此4a=logπb·a2-logπb·x2对定义域{x|x≠0}内任意x恒成立,
于是解得a=0,b=1.(7分)
(3)因为对任意x1∈[-2,2],都存在x2∈[-2,0],使得g(x1)=h(x2),
所以g(x)在[-2,2]上的值域是h(x)在[-2,0]上的值域的子集,
因为h(x)=|x-2|,所以当x∈[-2,0]时,h(x)=2-x∈[2,4],
则对任意x∈[-2,2],都有2≤g(x)≤4,
因为g(x)是“(a,b)型函数”,且对应的实数对为(0,8),
所以g(x)·g(-x)=8.(9分)
当x∈[0,2]时,-x∈[-2,0],
则只需满足对任意x∈[0,2],都有2≤g(x)≤4且2≤g(-x)=≤4,
即对任意x∈[0,2],都有2≤g(x)≤4,
即不等式2≤x2-m(x-2)≤4对任意x∈(0,2]恒成立,且2≤g(0)≤4.(11分)
①当x=0时,g(0)·g(0)=8,所以g(0)=2,满足条件;
②当x=2时,g(2)=4,满足条件;(13分)
③当x∈(0,2)时,不等式等价于≤m≤2+x,
若m≤x+2对x∈(0,2)恒成立,则m≤2,
若m≥对x∈(0,2)恒成立,则m≥,x∈(0,2),
又==2+x-=4-≤4-2=4-2,(15分)
当且仅当2-x=,即x=2-时取等号,
故m≥4-2.(16分)
综上可得,4-2≤m≤2.(17分)

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