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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第二章　一元二次函数、方程和不等式
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知x,y满足m=x2+y2+19,n=4(2y-x)-1,则m,n的大小关系是(　　)
A.m>n　　B.m2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　)
A.a2+b2>2ab　　B.a+b≥2 C.+>　　D.+≥2
3.若关于x的不等式|x2+mx+n|>0的解集为{x|x≠1且x≠2},则(　　)
A.m=3,n=2　　B.m=-3,n=2　　C.m=3,n=-2　　D.m=-3,n=-2
4.已知a>0,b>0,a+b=9,则+的最小值为(　　)
A.8　　B.9　　C.12　　D.16
5.“0A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1A.x1 C.x-2
7.已知长为a,宽为b的长方形,如果它的面积与边长为k1的正方形的面积相等,它的周长与边长为k2的正方形的周长相等,它的对角线与边长为k3的正方形的对角线相等,它的面积和周长的比与边长为k4的正方形的面积和周长的比相等,那么k1,k2,k3,k4的大小关系为(　　)
A.k1≤k4≤k2≤k3　　B.k3≤k1≤k2≤k4
C.k4≤k1≤k3≤k2　　D.k4≤k1≤k2≤k3
8.若不等式t(+)≤对所有的正实数x,y恒成立,则t的最大值为　(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.1
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列命题正确的是(　　)
A.若c<0
C. a>b>0,当m>0时,>　　D. a>b>0,当m>0时,<
10.下列说法正确的是(　　)
A.不等式>1的解集是x-B.若+=1,则a+b的最小值为
C.若0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,则-≤2x+y≤
D.已知正数a,b满足+=1,则+的最小值为2
11.已知不等式+≥3m2-1对任意的x>1,y>1恒成立,则m的值可以是(　　)
A.-　　B.-1　　C.　　D.2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若x<-1,则的最大值为　　　　.
13.已知关于x的不等式组有且仅有一个整数解,则a的取值范围为　　　　.
14.已知实数a>0,b>-2,且满足2a+b=1,则+的最小值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)已知0(2)已知a,b都是正实数,比较+与a+b的大小.
16.(15分)已知集合A={x|a≤x≤3a-1},B=x>0.
(1)若a=1,求( RB)∩A;
(2)若“x∈A”是“x∈( RB)”的充分不必要条件,求a的取值范围.
17.(15分)已知关于x的不等式(mx-2)[x-(3m-1)]≥0.
(1)当m=2时,求关于x的不等式的解集;
(2)当m∈R时,求关于x的不等式的解集.
18.(17分)如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为40 cm,把△ABC沿AC向△ADC翻折成△AEC,AE交DC于点P,设AB=x cm.
(1)若DP>AB,求x的取值范围;
(2)设△ADP的面积为S cm2,求S的最大值及相应的x的值.
19.(17分)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根x1,x2,则称d=|x1-x2|为两根之间的距离,简称“根距”.当d∈[n,n+1),n∈N时,称该一元二次方程有n级“根距”.例如d=2.68∈[2,3),则称该一元二次方程有2级“根距”.
(1)试用a,b,c表示“根距”d;
(2)设关于x的方程(k-1)2x2+(2k2-3k+1)x+k2-2k+3=0有两个不等实根,求该方程的“根距”d的级数;
(3)若a≠b,a,b∈{m|2m3-3m2+1=0},当x10,求a,b的值,并确定当方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为多少时,c至少可以取到两个整数值.
答案全解全析
1.D　m-n=x2+y2+19-4(2y-x)+1=(x+2)2+(y-4)2≥0,
当且仅当x=-2,y=4时取得等号,所以m≥n.
2.D　a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”,故A错误;ab>0只能说明a和b同号,即a和b同为正数或同为负数,所以当a<0,b<0时,B,C错误;由a,b同号知和都是正数,根据基本不等式可得+≥2=2,当且仅当a=b时取“=”,故D正确.
3.B　由已知可得1,2为方程x2+mx+n=0的根,
所以解得
4.A　+=+=4++≥4+2=8,
当且仅当=,a+b=9,即a=2b=6时等号成立,则+的最小值为8.
5.A　当a=0时,原不等式为1≥0,显然恒成立.
当a≠0时,若ax2-2ax+1≥0对任意x∈R恒成立,则得0所以“06.C　由题意可得1,2是对应方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
所以则b=-3a,c=2a,
所以bx2+ax+c<0即为-3ax2+ax+2a<0,即3x2-x-2<0,
解得-7.D　由题意得ab=①,a+b=2k2②,=k3③,==④,且a,b>0,
易知a+b≥2,a2+b2≥,≤=,当且仅当a=b时等号全部成立,
则由①②得2k2≥2k1,所以k2≥k1⑤,
由②③得2≥,所以k3≥k2⑥,
由①④得≤,所以k4≤k1⑦,
综合⑤⑥⑦可得k4≤k1≤k2≤k3.
8.D　因为x,y为正数,所以+>0,
所以t≤对所有的正实数x,y恒成立,则t≤,
令m=,则=,m>0,
所以==+≤+=1,当且仅当x=y时,等号成立,所以≤1,则m2≥1,
又m>0,所以m≥1,即≥1,所以的最小值为1,
所以t≤1,即t的最大值为1.
9.ABD　对于A,由c<0对于B,由c<0>0,又c<0,所以>,故B正确;
对于C,-=,由a>b>0,m>0,得b-a<0,所以<0,即<,故C错误;
对于D,若a=3,b=2,m=1,则==,=,则<,
即 a>b>0,当m>0时,<,故D正确.
10.ABD　对于A,由>1,得<0,解得-即不等式>1的解集是,故A正确;
对于B,因为+=1,所以a+b=+≥=,
当且仅当=,即a=b=时取等号,所以a+b的最小值为,故B正确;
对于C,令2x+y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,
所以解得所以2x+y=(x+y)+(x-y),
因为0≤x+y≤2,-1≤x-y≤1,
所以0≤(x+y)≤3,-≤(x-y)≤,
所以-≤(x+y)+(x-y)≤,即-≤2x+y≤,故C错误;
对于D,因为正数a,b满足+=1,
所以a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1,
所以+≥2=2,当且仅当=,即a=b=2时取等号,所以+的最小值为2,故D正确.
11.ABC　因为x>1,y>1,所以x-1>0,y-1>0,
则+=+
=+++++
≥2+2+2
=2+4≥2×2+4=8,
当且仅当x=y=2时等号全部取到,所以=8.
又不等式+≥3m2-1对任意的x>1,y>1恒成立,
所以3m2-1≤8,解得-≤m≤,对比选项可知A,B,C满足要求.
12.答案　-5
解析　∵x<-1,∴x+1<0,∴=x+1+-1≤-2-1=-5,当且仅当x=-3时等号成立,∴的最大值为-5.
13.答案　{a|-5≤a<3或4解析　因为关于x的不等式组有且仅有一个整数解,所以不等式<0的解集与不等式2x2+(2a+7)x+7a<0(a∈R)的解集的交集中只有一个整数.
易得不等式<0的解集为{x|x>4或x<-2},
不等式2x2+(2a+7)x+7a<0可化为(x+a)<0.①
当-a<-,即a>时,不等式①的解集为,
要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,此整数只能为-4,因此有-5≤-a<-4,解得4当-a>-,即a<时,不等式①的解集为,
要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,此整数只能为-3,所以-3<-a≤5,即-5≤a<3.
当-a=-,即a=时,不等式①的解集为 ,不满足题意,舍去.
综上所述,a的取值范围为{a|-5≤a<3或414.答案　
解析　+=2a++=2a++(b-2)+
=2a+b-2++=1-2++=-1++,
∵2a+b=1,∴2a+(b+2)=3.
又a>0,b+2>0,∴[2a+(b+2)]=2+2++≥4+2=8,当且仅当b+2=2a,即a=,b=-时取等号,
∴+≥,-1++≥,故+的最小值为.
15.解析　(1)令3a+b=m(a+b)+n(b-a),m,n∈R,即(m-n)a+(m+n)b=3a+b,则解得则3a+b=2(a+b)-(b-a).(3分)
又0所以-1<2(a+b)-(b-a)<6,即-1<3a+b<6.(6分)
(2)+-(a+b)==.(9分)
因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0.
当a=b时,+-(a+b)=0,即+=a+b;(11分)
当a≠b时,+-(a+b)>0,即+>a+b.
综上所述,当a=b时,+=a+b;当a≠b时,+>a+b.(13分)
16.解析　(1)当a=1时,A={x|a≤x≤3a-1}={x|1≤x≤2},(2分)
B=x>0={x|x<-2或x>5},则 RB={x|-2≤x≤5},(5分)
故( RB)∩A={x|1≤x≤2}.(7分)
(2)由(1)得 RB={x|-2≤x≤5}.因为“x∈A”是“x∈( RB)”的充分不必要条件,所以A ( RB),(9分)
若A= ,则a>3a-1,解得a<,满足A ( RB);(11分)
若A≠ ,则a≤3a-1,可得a≥,
因为A ( RB),所以且等号不同时取到,解得-2≤a≤2,故≤a≤2.(14分)
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤2}.(15分)
17.解析　(1)当m=2时,不等式可化为(x-1)(x-5)≥0,解得x≤1或x≥5,所以当m=2时,不等式的解集是{x|x≤1或x≥5}.(3分)
(2)当m=0时,原不等式可化为-2(x+1)≥0,解得x≤-1.(4分)
当m<0时,原不等式可化为[x-(3m-1)]≤0,
令=3m-1,解得m=-或m=1(舍去).(6分)
当m<-时,3m-1<,故原不等式的解集为x3m-1≤x≤;(7分)
当m=-时,原不等式为(x+3)2≤0,解得x=-3;(8分)
当-当m>0时,原不等式可化为[x-(3m-1)]≥0,
令=3m-1,解得m=-(舍去)或m=1.(11分)
当03m-1,原不等式的解集为xx≥或x≤3m-1;(12分)
当m=1时,原不等式为(x-2)2≥0,解得x∈R;(13分)
当m>1时,<3m-1,原不等式的解集为xx≥3m-1或x≤.(14分)
综上所述,当m<-时,原不等式的解集为x3m-1≤x≤;
当m=-时,原不等式的解集为{x|x=-3};
当-当m=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};
当0当m=1时,原不等式的解集为R;
当m>1时,原不等式的解集为xx≥3m-1或x≤.(15分)
18.解析　(1)由矩形周长为40 cm,可知AD=(20-x)cm,由AB>AD>0得10在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即(20-x)2+a2=(x-a)2,
得a=20-,(5分)
由题意得20->x,即x2-60x+600<0,(6分)
解得30-10∴x的取值范围是{x|30-10(2)由(1)得AD=(20-x)cm,DP=cm,10故S=AD·DP=(20-x)=300-10,10∵x>0,∴x+≥2=20,(14分)
当且仅当x=,即x=10时取等号,∴=20,
∴Smax=300-200,此时x=10.(17分)
19.解析　(1)当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的根为,(2分)
不妨设x1=,x2=,则d=|x1-x2|=.(4分)
(2)由题意得k-1≠0,Δ=(2k2-3k+1)2-4(k-1)2(k2-2k+3)=(k-1)2·(4k-11)>0,可得k>,(6分)
所以d=|x1-x2|==,
设=t,则k=,t>0,所以d==≤=,
当且仅当t=,即k=时等号成立,
因为k=>,所以d∈,(9分)
因为∈[0,1),所以此方程的“根距”d是0级.(10分)
(3)由2m3-3m2+1=0,得(m-1)2(2m+1)=0,所以m=1或m=-,则a,b∈,
因为当x10,所以a<0,因为a≠b,所以a=-,b=1,(12分)
所以关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d=|x1-x2|==2,
由2∈[n,n+1),得c∈,(14分)
当-≤1,即n≤,n∈N时,c至多有1个整数值;
若n=4,则c∈,c仅有1个整数值2;
若n=5,则c∈,c仅有1个整数值3;
若n=6,则c∈,c有2个整数值4和5.
综上,当关于x的方程ax2+bx+c=0的“根距”d的级数n的最小值为6时,c至少可以取到两个整数值.(17分)

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