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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第二章　等式与不等式
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合M={x|0A.{x|0C.{x|02.已知a,b,c是△ABC的三条边的长,且满足a2+bc=b2+ac,则△ABC一定是　　(　　)
A.等腰三角形　　　　B.等边三角形
C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形
3.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N　　　　B.M≥N　　　　C.M4.已知a,b为非零实数,且a>b,则下列结论正确的是(　　)
A.>　　　　B.ab2>a2b　　　　
C.a2>b2　　　　D.>
5.一元二次不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为{x|-1A.-4　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.4
6.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙同学的阅读量之和与乙、丁同学的阅读量之和相同,丙、丁同学的阅读量之和大于甲、乙同学的阅读量之和,乙同学的阅读量大于甲、丁同学的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　
C.丙　　　　D.丁
7.已知关于x的不等式组仅有一个整数解,则k的取值范围为(　　)
A.(-5,3)∪(4,5)　　　　B.[-5,3)∪(4,5]
C.(-5,3]∪[4,5)　　　　D.[-5,3]∪[4,5]
8.已知x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为(　　)
A.　　　　B.-1　　　　C.+1　　　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知x,y,z为实数,则下列结论中正确的是(　　)
A.若xz2>yz2,则x>y　　　　B.若x>y,则xz2>yz2
C.若x>y>0,z<0,则>　　　　D.若z>y>x,则>
10.已知x1,x2是方程m(x-1)(x+2)-1=0的两个实数根,其中x10的解集是(x1,x2),则下列结论中正确的是(　　)
A.x1+x2+1=0　　　　B.-2C.x1x2+2>0　　　　D.|x1-x2|>3
11.记max{a,b}=已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,则(　　)
A.xy的最大值为18　　　　B.x+2y的最大值为12
C.x+y的最小值为8-3　　　　D.max{x+2,2y+2}的最小值为8
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若关于x的不等式(x+1)(x-3)13.某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L,其中k为常数.当汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则x的取值范围为　　　　.
14.已知正实数a,b,c满足b+c=1,则+的最小值为　　　　,+的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知y=4x+(x>0).
(1)求1-y的最大值,并求当1-y取得最大值时x的值;
(2)若方程y=a(a>0)的两根为x1,x2(x1≠x2),求+的取值范围.
16.(15分)已知a,b,c∈R,关于x的一元二次不等式x2-4x+c<0的解集为{x|b(1)求不等式-x2+4x-c<0的解集;
(2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
17.(15分)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q,反过来,如果x1+x2=-p,x1x2=q,那么以x1,x2为两根的一元二次方程是x2+px+q=0.请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0),求一个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求+的值;
(3)已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.
18.(17分)问题:正实数a,b满足a+b=1,求+的最小值.其中一种解法是+=(a+b)=1+++2≥3+2,当且仅当=且a+b=1,即a=-1,b=2-时取等号.学习上述解法并解决下列问题:
(1)若正实数x,y满足x+y=1,求+的最小值;
(2)若实数a,b,正实数x,y满足-=1,求证:a2-b2≤(x-y)2;
(3)求代数式M=-的最小值,并求出使M取得最小值的m的值.
19.(17分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨,日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:
①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元.
如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案 为什么
答案与解析
1.D　由≤2,得-2≤0,即≤0,解得-2≤x<1,所以N={x|-2≤x<1},所以M∩N={x|02.A　a2+bc=b2+ac,即(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,即(a-b)(a+b-c)=0.
∵a+b-c>0,∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC一定是等腰三角形,无法判断其是不是等边三角形或等腰直角三角形.
3.A　M-N=2a2-4a+7-(a2-5a+6)=a2+a+1=+>0,∴M>N.
4.D　对于A,若a=1,b=-1,则=,因此A错误;对于B,若a=2,b=1,则ab2=2b,所以-=>0,所以>,因此D正确.
5.D　由题意得,a>0且-1和2为方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个根,由根与系数的关系得得
则b-c+=a+≥2=4,当且仅当a=,即a=2时取等号,故b-c+的最小值为4.
6.C　设甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量分别为a,b,c,d,a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
根据题意得
②-①,得b-ca-d,∴ba,b>d,因此a7.B　解不等式x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0,得x1=-,x2=-k.
①当-k<-,即k>时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,此时不等式组的解集为,要使不等式组的解集中仅有一个整数,则-5≤-k<-4,解得4②当-k>-,即k<时,不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集为,要使不等式组的解集中仅有一个整数,则-3<-k≤5,解得-5≤k<3;
③当-k=-,即k=时,不等式组的解集为 ,不满足题意.
综上所述,k的取值范围为[-5,3)∪(4,5].
8.D　∵x>0,y>0,∴不等式x+≤a(x+y)可化为a≥,即a≥,
令t=1+(t>1),则a≥,
∵t>1,∴==≤==,
当且仅当t=,即t=时取“=”,
故的最大值为,∴a≥,
∴实数a的最小值为.
9.AC　易知z2≥0,若xz2>yz2,则z2>0,故x>y,故A正确;
当z2=0时,xz2=yz2=0,故B错误;
若x>y>0,则由不等式的性质得<,又z<0,所以>,故C正确;
当z=5,y=3,x=2时,=,=,满足z>y>x,但不满足>,故D错误.
10.ABC　因为不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集是(x1,x2),其中x1-2,所以x1+x2+1=0,x1x2+2>0,故A,C正确;
|x1-x2|==<3,故D错误;
因为方程m(x-1)(x+2)=0的两个根是1和-2,且不等式m(x-1)(x+2)-1>0的解集为(x1,x2),所以-211.ACD　由题意得xy=30-(x+2y)≤30-2,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立,令t=,则解得0max{x+2,2y+2}=所以当y=3时,其有最小值,且最小值为8,故D正确.
12.答案　2
解析　∵关于x的不等式(x+1)(x-3)∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解,
∴m=-3,∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0∴n=2.
13.答案　[60,100]
解析　因为汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,所以=11.5,解得k=100,故汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶时,每小时的油耗为L.
令x+-20≤9,
解得45≤x≤100,
因为60≤x≤120,所以60≤x≤100,
所以欲使每小时的油耗不超过9 L,则x的取值范围为[60,100].
14.答案　+;16-8
解析　因为b+c=1,b,c>0,所以2b+2c+2=4,
所以+=+=(2b+2+2c)=
≥+×2=+,当且仅当=,即b=2-2,c=3-2时取等号,故+的最小值为+.
+=+=+=a+2a+≥2·a+2a+=8a+8+-8≥2-8=16-8,
当且仅当=,即b=,c=时,第一个等号成立,
当且仅当8a+8=,即a=-1时,第二个等号成立,
故+的最小值为16-8.
15.解析　(1)因为x>0,所以y=4x+≥2=4,(2分)
当且仅当4x=,即x=时,等号成立,(3分)
所以y的最小值为4,(4分)
所以1-y的最大值为1-4=-3,此时x=.(6分)
(2)由y=4x+=a,得4x2-ax+1=0,
则Δ=a2-16>0,又a>0,所以a>4.(9分)
由一元二次方程根与系数的关系,得x1x2=,x1+x2=,(11分)
所以+==a>4,
故+的取值范围为(4,+∞).(13分)
16.解析　(1)因为关于x的一元二次不等式x2-4x+c<0的解集为{x|b所以解得(4分)
所以不等式-x2+4x-c<0即-x2+4x-3<0,其解集为{x|x<1或x>3}.(6分)
(2)由(1)得不等式ax2-(ac+b)x+bc<0即ax2-(3a+1)x+3<0,即(ax-1)(x-3)<0.(8分)
①当a=0时,原不等式为-x+3<0,解得x>3,所以原不等式的解集为(3,+∞);(9分)
②当a<0时,原不等式为(x-3)>0,解得x>3或x<,所以原不等式的解集为∪(3,+∞);(10分)
③当a=时,原不等式为(x-3)2<0,无解;(11分)
④当0⑤当a>时,原不等式为(x-3)<0,解得综上,当a=0时,不等式的解集为(3,+∞);
当a<0时,不等式的解集为∪(3,+∞);
当a=时,不等式无解;
当0当a>时,不等式的解集为.(15分)
17.解析　(1)设方程x2+mx+n=0(n≠0)的两个根分别是x1,x2,
则x1+x2=-m,x1x2=n,(1分)
所以+==-,·==,(3分)
所以所求一元二次方程是x2+x+=0,即nx2+mx+1=0.(5分)
(2)分两种情况讨论:
①当a≠b时,∵a,b满足a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,
∴a,b是x2-15x-5=0的两个根,
∴a+b=15,ab=-5,
∴+====-47.(7分)
②当a=b时,+=2.(9分)
综上,+的值为-47或2.(10分)
(3)∵a+b+c=0,abc=16,
∴a+b=-c,ab=,
∴a,b是方程x2+cx+=0的两个根,(12分)
∴Δ=c2-4·≥0,即c2-≥0.
∵c是正数,
∴c3-43=(c-4)(c2+4c+16)≥0,
又c2+4c+16=(c+2)2+12>0,
∴c≥4,∴正数c的最小值是4.(15分)
18.解析　(1)因为正实数x,y满足x+y=1,
所以+=(x+y)=3++≥3+2=3+2,(3分)
当且仅当=,即x=2-,y=-1时,等号成立,
所以+的最小值是3+2.(5分)
(2)证明:由题意得,a2-b2=(a2-b2)=x2+y2-,
因为+≥2=2xy,当且仅当=时,等号成立,(8分)
所以x2+y2-≤x2+y2-2xy=(x-y)2,故a2-b2≤(x-y)2.(10分)
(3)设x=,y=,由解得m≥2,
则x2-y2=m-1>0,又x≥0,y≥0,所以x>y,(12分)
构造-=1,由x2-2y2=1,得-=1,则a2=1,b2=,(14分)
由(2)得M=-=x-y≥=,
当且仅当即x=,y=时,等号成立,(16分)
所以当m的值为时,M取得最小值,为.(17分)
19.解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本(单位:元)为=++40,x∈[70,100].(2分)
因为++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(4分)
所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(5分)
因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(7分)
(2)若该企业采用补贴方案①,设该企业每日获利为y1元,由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(9分)
因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(11分)
若该企业采用补贴方案②,设该企业每日获利为y2元,由题可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(13分)
因为x∈[70,100],所以当x=90时,企业获利最大,最大利润为850元.(15分)
答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(17分)
答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案①只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择补贴方案①.(17分)
答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但补贴方案②能够为社会做出更大贡献,所以选择补贴方案②.(17分)

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