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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第一章　集合与常用逻辑用语
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|-12},则A∪B=(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(2,3)
C.(-1,+∞)　　　　D.(2,+∞)
2.下列四个命题中为真命题的是(　　)
A. x∈Z,1<4x<3　　　　
B. x∈Z,5x+1=0
C. x∈R,x2-1≠0　　　　
D. x∈R,x2+x+2>0
3.已知实数x,y,则“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的(　　)
A.必要不充分条件　　　　
B.充分不必要条件
C.充要条件　　　　
D.既不充分也不必要条件
4.已知集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且N M,则实数a的值为(　　)
A.-1　　　　B.4　　　　
C.-1或-4　　　　D.-4或1
5.如图,U为全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)
A.(M∩P)∩S　　　　B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( US)　　　　D.(M∩P)∪( US)
6.已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|m2+3≤x≤m2+4},若命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a<3}　　　　B.{a|a<4}
C.{a|07.为了丰富学生的课余生活,某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团,高一某班共有30名学生参加了学校社团,其中有15人参加篮球社团,有8人参加AI社团,有14人参加围棋社团,同时参加篮球社团和AI社团的有3人,同时参加篮球社团和围棋社团的有3人,没有人同时参加三个社团,则只参加围棋社团的人数为(　　)
A.10　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.4
8.对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M且x N},M N=(M-N)∪(N-M).设A=,B={x|x<0,x∈R},则A B=(　　)
A.　　　　B.
C.∪[0,+∞)　　　　D.∪(0,+∞)
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的有(　　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“ x<1,x2<1”的否定是“存在x<1,使x2≥1”
C.若x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx-1=0},全集U=R,若A∪( UB)=R,则实数m的取值集合为
10.已知集合M={-1,1},N={x|-2≤x<1},则下列说法正确的是(　　)
A.M∩N有2个子集
B.M∪N中任意两个元素之差的最小值为-3
C.M∩( RN)=
D.( RM)∩( RN)={x|x<-2或x>1}
11.已知全集U={0,1,2,3,4,5},A是U的非空子集,当x∈A时,若x-1 A且x+1 A,则称x为A的一个“孤立元素”,则下列说法正确的是(　　)
A.若A中元素均为孤立元素,则A中最多有3个元素
B.若A中不含孤立元素,则A中最少有2个元素
C.若A中元素均为孤立元素,且仅有2个元素,则这样的集合A共有9个
D.若A中不含孤立元素,且仅有4个元素,则这样的集合A共有6个
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知集合A={(x,y)|x,y∈N},B={(x,y)|x+y=4},则A∩B中元素的个数为　　　　.
13.设p:-m≤x≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.
14.若 x∈{x|1≤x≤2}, t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}.
(1)若m=-2,求集合A∪( RB);
(2)请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②若x∈A,则x B;③A RB这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
若　　　,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知集合A={x|-5≤x≤-3},B={x|3m-2(1)若命题p:“ x∈B,都有x∈A”为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
17.(15分)已知全集U={x|0(1)求 UB;
(2)若a2+1∈ UB且a∈U,求实数a的值;
(3)设集合C=A∩( UB),若C的真子集有3个,求实数m的值.
18.(17分)已知全集U=R,集合A={x∈R|x2-3x+b=0},B={x∈R|(x-2)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4时,存在集合M使得A M B,求出所有满足条件的集合M;
(2)集合A,B能否满足( UB)∩A= 若能,求实数b的取值范围;若不能,请说明理由.
19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}.
(1)判断8,9,10是否属于A,并证明;
(2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:x∈A的一个充分不必要条件是x∈B;
(3)写出集合A中的所有偶数.
答案与解析
1.C　在数轴上表示出集合A和B,如图所示:
由图可知,A∪B=(-1,+∞).
2.D　对于A,由1<4x<3得对于B,由5x+1=0得x=-,则x不是整数,B错误;
对于C,当x=1或x=-1时,x2-1=0,C错误;
对于D,x2+x+2=+>0恒成立,D正确.
3.A　由(x-y)(x+y)2>0可得x-y>0且x+y≠0,即x>y且x≠-y,故“x>y”是“(x-y)(x+y)2>0”的必要不充分条件.
4.B　因为3∈M,所以a=3或a2-3a-1=3.
若a=3,则a2-3a-1=-1,则M={1,2,3,-1},不满足N M.
若a2-3a-1=3,则a=4或a=-1,
当a=4时,M={1,2,4,3},满足N M,
当a=-1时,M={1,2,-1,3},不满足N M.
综上,a的值为4.
5.C　在阴影部分所表示的集合中任取一个元素x,则x∈M,x∈P,x S,所以阴影部分所表示的集合为(M∩P)∩( US).
6.A　因为命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,
所以命题“ m∈R,A∩B= ”为真命题.
当A= 时,a<0,此时A∩B= 成立;
当A≠ 时,a≥0,因为 m∈R,A∩B= ,所以a综上,实数a的取值范围为{a|a<3}.
7.A　设同时参加AI社团和围棋社团的有x人,由题意得,只参加篮球社团的有15-3-3=9人,只参加AI社团的有8-3-x=(5-x)人,只参加围棋社团的有14-3-x=(11-x)人.
因为该班共有30名学生参加了学校社团,所以9+3+3+(5-x)+x+(11-x)=30,解得x=1,故只参加围棋社团的人数为10.
8.C　由题意得A-B={x|x≥0},B-A=,
所以A B={x|x≥0}∪=∪[0,+∞).
9.AB　因为a>1 0<<1,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件,故A正确;
命题“ x<1,x2<1”的否定为“存在x<1,使x2≥1”,故B正确;
当x≥2,y≥2时,x2+y2≥8>4,当x=1,y=3时,x2+y2=1+9=10>4,但不满足x≥2且y≥2,所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故C错误;
A={x|x2+x-6=0}={-3,2},要使A∪( UB)=R,则( UA) ( UB),进一步可得B A,因此B= 或B={-3}或B={2},当B= 时,显然满足,此时m=0;当B={-3}时,-3m-1=0,则m=-,符合题意;当B={2}时,2m-1=0,则m=,符合题意.综上,实数m的取值集合为,故D错误.
10.ABD　对于A,M∩N={-1},所以M∩N有2个子集,故A正确;
对于B,M∪N={x|-2≤x≤1},则M∪N中任意两个元素之差的最小值为-2-1=-3,故B正确;
对于C, RN={x|x<-2或x≥1},所以M∩( RN)={1},故C错误;
对于D, RM={x|x≠-1且x≠1},所以( RM)∩( RN)={x|x<-2或x>1},故D正确.
11.ABD　对于A,集合{0,1},{2,3},{4,5}的并集为U,且集合{0,1},{2,3},{4,5}中任意两个集合的交集都为空集,若A中的元素个数大于3,则必有两个元素来自集合{0,1},{2,3},{4,5}中的一个,此时,集合A中存在不是孤立元素的元素,故若A中元素均为孤立元素,则A中的元素个数小于或等于3,又A={0,2,4}时,A中元素均为孤立元素,所以若A中元素均为孤立元素,则A中最多有3个元素,故A正确;
对于B,若A中只有1个元素,则必为孤立元素,又集合A={0,1}时,A中不含孤立元素,故B正确;
对于C,满足题意的集合A有{0,2},{0,3},{0,4},{0,5},{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,5},共10个,故C错误;
对于D,满足题意的集合A有{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个,故D正确.
12.答案　5
解析　由题意得A∩B={(x,y)|x,y∈N,且x+y=4}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)},所以A∩B中元素的个数为5.
13.答案　1;4
解析　设A=[-m,m](m>0),B=[-1,4].
若p是q的充分条件,则A B,
所以解得0若p是q的必要条件,则B A,
所以解得m≥4,所以m的最小值为4.
14.答案　{m|m<2}
解析　由 x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m,则 t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,故t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.
15.解析　(1)A={x|x2<4}=(-2,2),(2分)
当m=-2时,B={x|(x+1)(x-5)>0}=(-∞,-1)∪(5,+∞),(4分)
∴ RB=[-1,5],
∴A∪( RB)=(-2,5].(6分)
(2)A=(-2,2),B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}=(-∞,m+1)∪(m+7,+∞).(8分)
若选①,则A B,所以m+1≥2或m+7≤-2,(11分)
解得m≥1或m≤-9,所以实数m的取值范围为(-∞,-9]∪[1,+∞).(13分)
若选②,则A∩B= ,
所以m+1≤-2且m+7≥2,(11分)
解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分)
若选③,易得 RB=[m+1,m+7],
则m+1≤-2且m+7≥2,(11分)
解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(13分)
16.解析　(1)由题意得B A,(3分)
①当B= 时,3m-2≥2m+2,解得m≥4,满足B A;(6分)
②当B≠ 时,需满足无解,
所以实数m的取值范围为{m|m≥4}.(9分)
(2)因为A∩B≠ ,
所以或或(12分)
解得-所以实数m的取值范围为.(15分)
17.解析　(1)U={x|0因此 UB={2,3}.(4分)
(2)若a2+1∈ UB,则a2+1=2或a2+1=3,(6分)
解得a=±1或a=±,(8分)
又a∈U,∴a=1.(10分)
(3)∵A={1,2,m2}, UB={2,3},
∴当m2≠3时,C=A∩( UB)={2},此时集合C只有1个真子集,不符合题意,(12分)
当m2=3,即m=±时,C=A∩( UB)={2,3},此时集合C有3个真子集,符合题意.(14分)
综上,m=±.(15分)
18.解析　(1)当b=4时,A={x∈R|x2-3x+4=0}= ,(2分)
易得B={-4,1,2},(4分)
若A M B,则M是B的一个非空真子集,(5分)
∴满足条件的集合M为{-4},{1},{2},{-4,1},{-4,2},{1,2}.(7分)
(2)由( UB)∩A= 得A B.(9分)
当A= 时,Δ=9-4b<0,解得b>,满足A B.(11分)
当A≠ 时,由(1)知B={-4,1,2},
若-4∈A,则b=-28,此时A={-4,7},不满足A B;
若1∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A B;
若2∈A,则b=2,此时A={1,2},满足A B.(15分)
综上,集合A,B能满足( UB)∩A= ,满足条件的实数b的取值范围是.(17分)
19.解析　(1)8∈A,9∈A,10 A.(1分)
证明:∵8=32-1,9=52-42,∴8∈A,9∈A.(3分)
假设10=m2-n2,m,n∈Z,
则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,
∵10=1×10=2×5,∴或显然均无整数解,∴10 A.(5分)
(2)证明:∵2k+1=(k+1)2-k2,k∈Z,
∴2k+1∈A,k∈Z,∴B A,(8分)
又∵8∈A但8 B,∴B A,
∴x∈A的一个充分不必要条件是x∈B.(10分)
(3)集合A={x|x=m2-n2=(m+n)(m-n),m,n∈Z},(11分)
①当m、n同奇或同偶时,m+n、m-n均为偶数,则(m+n)(m-n)为4的倍数;(13分)
②当m、n一奇一偶时,m+n、m-n均为奇数,则(m+n)(m-n)为奇数.(15分)
综上,集合A中的偶数为4k(k∈Z).(17分)

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