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2.2 有理数的加减运算培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2023七上·兰溪月考）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七上·宝安期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资。在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为400kg，记录装载卸载货物的数据如下：+20，-50，+30，-60，+25，-80（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：kg）。模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（　　）
A．265kg B．275kg C．280kg D．285kg
3．（2024七上·禅城月考）下表为国外几个城市与北京的时差：
城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼
时差/小时
小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（　　）
A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时
4．（2023七上·越秀期中）筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七上·长沙月考）睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年月日开始冬眠，直到今年月日才出洞，这只睡鼠冬眠了(　　)天．
A． B． C． D．
6．某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m）
时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列说法中正确的是（　　）
A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低
7．（2021七上·新津月考）已知两个有理数，如果，且，那么下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册2.6《有理数的加减混合运算》同步练习）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计一种新的加减计数法．
比如：9写成1 ，1=10﹣1；
198写成20，20=200﹣2；
7683写成13，13=10000﹣2320+3
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算53﹣31=（　　）
A．1990 B．2068 C．2134 D．3024
二、填空题
9．（2025七上·临平期末）点A，O，B是数轴上的三个点，其中O是原点，点A表示的数为，且． 则点B所表示的数为　 　．
10．（2024七上·衡山月考）在如图所示的圈内填上合适的数，使每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则的值为　 　．
11．　 　
12．（2024七上·长沙月考）定义运算““如下：对任意有理数，和都有，，这里“”号表示数的加法，则　 　．
13．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为　 　；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为　 　．
三、解答题
14．明明同学计算时，他是这样做的：
原式=第一步
=第二步
=第三步
=0+()第四步
=第五步．
（1）明明的解法从第几步开始出现错误，请你帮他改正并计算出正确的结果．
（2）仿照明明的解法，请你计算：
15．某特技飞行队在名胜风景旅游区做特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表：
高度 变化 上升 3.9 km 下降 2.3 km 上升 2.1 km 下降 1.7 km
记做 +3.9 km -2.3 km +2.1 km -1.7 km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米
（2）如果飞机每上升或下降1 km需消耗2 L燃油，那么这架飞机在表演这4个动作过程中，一共消耗了多少升燃油
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，前3个动作起飞后高度变化如下：上升4.3km，下降3.1km，再上升1.8km，若要使飞机最终比起飞点高出 2km，问第4个动作是上升还是下降 上升或下降多少千米
16．将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
17．（2023七上·西城期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，，…都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）.
例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组.定义以下两个新运算：
新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和，，例如：对于3元完美数组和，有.
（1）在，，，中是3元完美数组的有：　 　；
（2）设，，则　 　
（3）已知完美数组求出所有4元完美数组，使得.
18．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） 　 　， 　 　．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
19． 阅读材料：
我们在求1+2+3+…+99+100的值时，可设S=1+2+3+…+99+100①，则 S=100+99+98+…+2+1②.
①+②，得2S=（100+1）+（99+2）+（98+3）+…+（2+99）+（1+100）=101×100，
∴S=100×101÷2=5050，即1+2+3+…+99+100=5050.
根据以上方法，解决下列问题：
（1）5+10+15+…+195+200.
（2） .
20．（2024七上·江门月考）已知A、B在数轴上分别表示a，b．
（1）试在草稿纸上画出数轴（不用画在答题卡上），并对照数轴填空：
a 0 2
b 4 0 4
A、B两点的距离 4 6 10 m n 3
则　 　，　 　．
（2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？（直接写出关系式）
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到10和的距离之和为20，并求所有这些整数的和；
（4）找出（3）中满足到10和的距离之差大于1而小于5的整数的点P；（只要求写出点P所表示的具体数，不要求写出推理过程或演算过程）．
（5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】由题意得：合格范围为：到，
而，，
∴A，C，D都不合格，
∵
∴B选项是合格品，
故答案为：B．
【分析】首先根据 求出合格的范围，然后再分别进行判断即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：400 +20-50+30-60+25-80=285(kg)，
则 模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是 285kg
故答案为：D.
【分析】400和装载卸载货物的数据加起来就可得到模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量.
3．【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：，
∴到达纽约时北京时间是月日时，
∵纽约与北京的时间差是，
，
∴纽约时间是月日时，
故选：A．
【分析】先得出到达纽约时北京时间，再根据时差利用有理数的加法即可求出纽约时间．
4．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意可知，图中算式二表示的是，
所以算式二为
所以算式二被盖住的部分是选项A，
故选：A．
【分析】本题考查了有理数的加法，根据 用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，结合算式二中的图形，得到算式二表示的是，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：31 21＋1＋30＋31＋31＋29＋31＋3 1＝165（天）．
∴这只睡鼠冬眠了165天，
故答案为：C.
【分析】利用大小月的知识和从去年10月21日到今年4月3日经过的时间列出算式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，A不符合题意；
∵，
∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，B不符合题意；
∵，
∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，C不符合题意；
∵，
∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据有理数的加减运算结合题意即可求解。
7．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，即，故A选项不符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
∵
∴C选项不符合题意；
∵，
∴D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据a<0，b>0且|a|> |b|，得到-a>b，则有a+b<0，依此逐一分析判断，即可作答.
8．【答案】B
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】53﹣31=（5000-200+30-1）-（3000-240+1）
=4829-2761
=2068
故答案为：B．
【分析】根据新的加减计数法，数字上画一杠表示减去它，从而分别算出被减数与减数各是多少，再根据有理数的减法法则算出结果即可。
9．【答案】或
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵O是原点，点A表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴点B表示的数为或，
故答案为：或．
【分析】先得到长，即可得到的长，然后利用数轴上两点距离公式解题即可．
10．【答案】
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据有理数的减法运算法则求出每一个圆圈里的数，然后解答即可．
11．【答案】
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：原式
=
故答案为：
【分析】根据题意化简得到进而去括号，从而根据有理数的加减运算即可求解。
12．【答案】55
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：∵x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）＋z，
∴x*（x*x）＝x*x＋x，
∴x*0＝0＋x，
∴2005*（1950*1950）＝2005*1950＋1950，即2005＋0＝2005*1950＋1950，
∴2005*1950＝2005 1950＝55，
故答案为：55．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.
13．【答案】（1）鲁班锁
（2）1，2，3
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵小云参与了所有活动．
∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，
∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．
故答案为：1，2，3
【分析】（1）根据小云参与了所有活动得到小云第一个挑战必定成功，再根据只挑战成功一个，得到小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，进而即可求解；
（2）先根据题意得到小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，进而分类讨论即可求解。
14．【答案】（1）解：明明的解法从第三步开始出现错误，
改正：原式=
=
=
=0+()
=；
（2）解：
=
=
=
=0+
=.
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）根据明明的计算过程可以看出错误是从第三步开始的，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解；
（2）根据明明的计算方法即可求解.
15．【答案】（1）解：3.9-2.3+2.1-1.7=2( km).
答：这架飞机比起飞点高了2km.
（2）解：|+3.9|+|-2.3|+|+2.1|+|-1.7|=10( km)，10×2=20(L).
答：一共消耗了20L燃油.
（3）解：2-(4.3-3.1+1.8)=-1( km).
答：飞机第4个动作是下降，下降1km.
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【分析】解题时需明确飞机起飞后高度变化的计算方式：飞机的每个动作高度变化是相对上一个动作的，所以累计这些变化可以得到飞机当前的相对高度. 对于燃油消耗的计算，无论飞机是上升还是下降，消耗的燃油量都是按实际变化的绝对值计算. 最后，要确定飞机达到指定高度的第四个动作，先计算前三次动作后的累计高度变化，再根据目标高度确定第四个动作的性质和大小.
16．【答案】（1）-；+；+；-
（2）解：∵数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，
∴；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16种情况，
解得：或，或；
（3）解：由题意得可知这n个整数互不相同，在这个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组，
故答案为：-，+，+，-或+，-，-，+；
【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义结合有理数的加减运算即可求解；
（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的一元一次方程方程，进而解方程即可求解；
（3）根据“运算平衡”数组的定义得到n个数的规律即可求解.
17．【答案】（1），
（2）2
（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别计算如下：，，，；
∵，
∴的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1，另外2组是其他三种组合中的任意一种；
因此，满足条件的4元完美数组N，有以下6种情况：，，，，，．
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】（1）根据n元完美数组的定义，是3元完美数组的有：，；
故答案为：，；
（2）；
故答案为：2；
【分析】（1）根据定义即可求出答案.
（2）根据新运算2的定义，进行计算即可求出答案.
（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别为：，，，；根据题意，的计算式中有4组新运算1，其中有2组为，另外2组是其他三种组合中的任意一种；写出N的所以可能的情况即可．
（1）根据n元完美数组的定义，是3元完美数组的有：，；
故答案为：，；
（2）；
故答案为：2；
（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别计算如下：
，，，；
∵，
∴的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1，另外2组是其他三种组合中的任意一种；
因此，满足条件的4元完美数组N，有以下6种情况：，，，，，．
18．【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
19．【答案】（1）解：设S=5+10+15+…+195+200 ①，
则S=200+195+190+…+10+5 ②.
①+②，得2S=（5+200）+（10+195）+（15+190）+…+（195+10）+（200+5）=205×40，
∴S=205×40÷2=4100，
即5+10+15+…+195+200=4100.
（2）解：设
则
①+②，得2S=1+2+3+…+49.
同理，4S=（1+49）+（2+48）+（3+47）+…+（49+1）=50×49，
∴S=50×49÷4=612.5，
即
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）仿照材料的形式先计算2S的值然后求S的值即可．
（2）设 则两式相加，求得S即可.
20．【答案】（1）2；12
（2）或
（3）解：∵10- (-10) =10+10=20，
点P为数轴上-10至10之间的任意一个整数点，包括10， -10.
∴点P为-10、-9、 -8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共21个数，
∴这些数字的和为：(-10) + (-9) .....+10=0；
（4）
（5）解：∵-1到2的距离是3，
∴点C在-1到2之间时，|x+1|+|x- 2|取得的值最小，最小值是3.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】
解：(1) m=|-6- (-4) |=2， n=|2- (-10) |=12，
故答案为： 2，12；
(2) 由问题（1）的计算可知，A、B两点的距离 d = | a b |=| b a | ，
故答案为：或，
(4)设点P所代表的数为a，
点P到10和-10的距离之差为：|(a+10) - (10-a) |=|2a|.
∵点P满足到10和-10的距离之差大于1而小于5
∴1<|2a|<5.
∴a的整数解为： 土1，士2，
∴满足到10和-10的距离之差大于1而小于5的整数的点P表示的数是土1，士2；
故答案为：，
【分析】
(1)根据各数据分别计算即可解答；
(2)根据计算结果列出算式即可解答；
(3)求出10到-10的距离正好等于20，可知-10到10之间的所有整数点都可以，然后求解即可解答；
(4)设点P所代表的数为a，由题意得.1 <|2a|<5，据此求解即可解答；
(5)根据数轴，求出-1到2的距离即为所取得的最小值，解答即可.
1 / 12.2 有理数的加减运算培优课时卷-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2023七上·兰溪月考）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里表示直径是，和是指直径在加到加之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】由题意得：合格范围为：到，
而，，
∴A，C，D都不合格，
∵
∴B选项是合格品，
故答案为：B．
【分析】首先根据 求出合格的范围，然后再分别进行判断即可得出答案。
2．（2025七上·宝安期末）某公司推出无人驾驶载人飞行器，可搭载乘客或物资。在某次运输模拟测试中，出发时搭载货物重量为400kg，记录装载卸载货物的数据如下：+20，-50，+30，-60，+25，-80（正数表示新装载的货物重量，负数表示卸载的货物重量，单位：kg）。模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是（　　）
A．265kg B．275kg C．280kg D．285kg
【答案】D
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：400 +20-50+30-60+25-80=285(kg)，
则 模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量是 285kg
故答案为：D.
【分析】400和装载卸载货物的数据加起来就可得到模拟测试结束时，无人驾驶飞行器上装载的货物总重量.
3．（2024七上·禅城月考）下表为国外几个城市与北京的时差：
城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼
时差/小时
小明于10月1日20：00从北京乘飞机，经过16小时的飞行到达纽约，到达纽约时当地的时间是（　　）
A．10月1日23时 B．10月1日12时 C．10月1日7时 D．9月30日23时
【答案】A
【知识点】有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：，
∴到达纽约时北京时间是月日时，
∵纽约与北京的时间差是，
，
∴纽约时间是月日时，
故选：A．
【分析】先得出到达纽约时北京时间，再根据时差利用有理数的加法即可求出纽约时间．
4．（2023七上·越秀期中）筹算是中国古代计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意可知，图中算式二表示的是，
所以算式二为
所以算式二被盖住的部分是选项A，
故选：A．
【分析】本题考查了有理数的加法，根据 用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数，结合算式二中的图形，得到算式二表示的是，即可求解.
5．（2024七上·长沙月考）睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有个月的时间处于冬眠状态动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年月日开始冬眠，直到今年月日才出洞，这只睡鼠冬眠了(　　)天．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：31 21＋1＋30＋31＋31＋29＋31＋3 1＝165（天）．
∴这只睡鼠冬眠了165天，
故答案为：C.
【分析】利用大小月的知识和从去年10月21日到今年4月3日经过的时间列出算式求解即可.
6．某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m）
时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列说法中正确的是（　　）
A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低
【答案】D
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，A不符合题意；
∵，
∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，B不符合题意；
∵，
∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，C不符合题意；
∵，
∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据有理数的加减运算结合题意即可求解。
7．（2021七上·新津月考）已知两个有理数，如果，且，那么下列说法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，即，故A选项不符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
∵
∴C选项不符合题意；
∵，
∴D选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据a<0，b>0且|a|> |b|，得到-a>b，则有a+b<0，依此逐一分析判断，即可作答.
8．（2018-2019学年数学北师大版七年级上册2.6《有理数的加减混合运算》同步练习）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计一种新的加减计数法．
比如：9写成1 ，1=10﹣1；
198写成20，20=200﹣2；
7683写成13，13=10000﹣2320+3
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算53﹣31=（　　）
A．1990 B．2068 C．2134 D．3024
【答案】B
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】53﹣31=（5000-200+30-1）-（3000-240+1）
=4829-2761
=2068
故答案为：B．
【分析】根据新的加减计数法，数字上画一杠表示减去它，从而分别算出被减数与减数各是多少，再根据有理数的减法法则算出结果即可。
二、填空题
9．（2025七上·临平期末）点A，O，B是数轴上的三个点，其中O是原点，点A表示的数为，且． 则点B所表示的数为　 　．
【答案】或
【知识点】有理数的减法法则；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵O是原点，点A表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴点B表示的数为或，
故答案为：或．
【分析】先得到长，即可得到的长，然后利用数轴上两点距离公式解题即可．
10．（2024七上·衡山月考）在如图所示的圈内填上合适的数，使每个圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据有理数的减法运算法则求出每一个圆圈里的数，然后解答即可．
11．　 　
【答案】
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的加法运算律
【解析】【解答】解：原式
=
故答案为：
【分析】根据题意化简得到进而去括号，从而根据有理数的加减运算即可求解。
12．（2024七上·长沙月考）定义运算““如下：对任意有理数，和都有，，这里“”号表示数的加法，则　 　．
【答案】55
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：∵x*x＝0，x*（y*z）＝（x*y）＋z，
∴x*（x*x）＝x*x＋x，
∴x*0＝0＋x，
∴2005*（1950*1950）＝2005*1950＋1950，即2005＋0＝2005*1950＋1950，
∴2005*1950＝2005 1950＝55，
故答案为：55．
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.
13．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为　 　；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为　 　．
【答案】（1）鲁班锁
（2）1，2，3
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵小云参与了所有活动．
∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，
∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．
故答案为：1，2，3
【分析】（1）根据小云参与了所有活动得到小云第一个挑战必定成功，再根据只挑战成功一个，得到小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，进而即可求解；
（2）先根据题意得到小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，进而分类讨论即可求解。
三、解答题
14．明明同学计算时，他是这样做的：
原式=第一步
=第二步
=第三步
=0+()第四步
=第五步．
（1）明明的解法从第几步开始出现错误，请你帮他改正并计算出正确的结果．
（2）仿照明明的解法，请你计算：
【答案】（1）解：明明的解法从第三步开始出现错误，
改正：原式=
=
=
=0+()
=；
（2）解：
=
=
=
=0+
=.
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）根据明明的计算过程可以看出错误是从第三步开始的，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解；
（2）根据明明的计算方法即可求解.
15．某特技飞行队在名胜风景旅游区做特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表：
高度 变化 上升 3.9 km 下降 2.3 km 上升 2.1 km 下降 1.7 km
记做 +3.9 km -2.3 km +2.1 km -1.7 km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米
（2）如果飞机每上升或下降1 km需消耗2 L燃油，那么这架飞机在表演这4个动作过程中，一共消耗了多少升燃油
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，前3个动作起飞后高度变化如下：上升4.3km，下降3.1km，再上升1.8km，若要使飞机最终比起飞点高出 2km，问第4个动作是上升还是下降 上升或下降多少千米
【答案】（1）解：3.9-2.3+2.1-1.7=2( km).
答：这架飞机比起飞点高了2km.
（2）解：|+3.9|+|-2.3|+|+2.1|+|-1.7|=10( km)，10×2=20(L).
答：一共消耗了20L燃油.
（3）解：2-(4.3-3.1+1.8)=-1( km).
答：飞机第4个动作是下降，下降1km.
【知识点】有理数的加减混合运算的实际应用
【解析】【分析】解题时需明确飞机起飞后高度变化的计算方式：飞机的每个动作高度变化是相对上一个动作的，所以累计这些变化可以得到飞机当前的相对高度. 对于燃油消耗的计算，无论飞机是上升还是下降，消耗的燃油量都是按实际变化的绝对值计算. 最后，要确定飞机达到指定高度的第四个动作，先计算前三次动作后的累计高度变化，再根据目标高度确定第四个动作的性质和大小.
16．将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【答案】（1）-；+；+；-
（2）解：∵数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，
∴；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16种情况，
解得：或，或；
（3）解：由题意得可知这n个整数互不相同，在这个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组，
故答案为：-，+，+，-或+，-，-，+；
【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义结合有理数的加减运算即可求解；
（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的一元一次方程方程，进而解方程即可求解；
（3）根据“运算平衡”数组的定义得到n个数的规律即可求解.
17．（2023七上·西城期中）将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为，其中，，…都取0或1，称是一个元完美数组（且为整数）.
例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组，但不是任何完美数组.定义以下两个新运算：
新运算1：对于和，，
新运算2：对于任意两个元完美数组和，，例如：对于3元完美数组和，有.
（1）在，，，中是3元完美数组的有：　 　；
（2）设，，则　 　
（3）已知完美数组求出所有4元完美数组，使得.
【答案】（1），
（2）2
（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别计算如下：，，，；
∵，
∴的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1，另外2组是其他三种组合中的任意一种；
因此，满足条件的4元完美数组N，有以下6种情况：，，，，，．
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】（1）根据n元完美数组的定义，是3元完美数组的有：，；
故答案为：，；
（2）；
故答案为：2；
【分析】（1）根据定义即可求出答案.
（2）根据新运算2的定义，进行计算即可求出答案.
（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别为：，，，；根据题意，的计算式中有4组新运算1，其中有2组为，另外2组是其他三种组合中的任意一种；写出N的所以可能的情况即可．
（1）根据n元完美数组的定义，是3元完美数组的有：，；
故答案为：，；
（2）；
故答案为：2；
（3）对于新运算1，若x和y只能取0或1，则x和y的组合有4种，分别计算如下：
，，，；
∵，
∴的计算式中有4组新运算1，其中有2组为1*1，另外2组是其他三种组合中的任意一种；
因此，满足条件的4元完美数组N，有以下6种情况：，，，，，．
18．（2025七上·宁波期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时．如果用符号＂＂表示钟表上的加法，则 ．若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号＂＂表示钟表上的减法，则 ．（注：此处用 0 时代替 12 时）。
根据上述材料解决下列问题：
（1） 　 　， 　 　．
（2）在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数．如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？
（3）规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例加以说明．
【答案】（1）3；9
（2）解：5+7=12，
12-12=0，
∴5的相反数是7
（3）解：不一定成立，理由如下，
当a=3，b=5，c=7时，37=10，57=0，则
37>57，
∴当a < b时，ac【知识点】有理数的减法法则；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，，
47=4+12-7=9.
故答案为：3，9.
【分析】(1)根据钟表运算中的加减法，计算出结果；
(2)根据颖意，钟表运算中的相反数的概念，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的结果就是钟表上的时间；
(3)根据题意，钟表运算中的不等式的性质，需要将结果对12取模，即结果大于12时，需要减去12，得到的纪果就是钟表上的时间.
19． 阅读材料：
我们在求1+2+3+…+99+100的值时，可设S=1+2+3+…+99+100①，则 S=100+99+98+…+2+1②.
①+②，得2S=（100+1）+（99+2）+（98+3）+…+（2+99）+（1+100）=101×100，
∴S=100×101÷2=5050，即1+2+3+…+99+100=5050.
根据以上方法，解决下列问题：
（1）5+10+15+…+195+200.
（2） .
【答案】（1）解：设S=5+10+15+…+195+200 ①，
则S=200+195+190+…+10+5 ②.
①+②，得2S=（5+200）+（10+195）+（15+190）+…+（195+10）+（200+5）=205×40，
∴S=205×40÷2=4100，
即5+10+15+…+195+200=4100.
（2）解：设
则
①+②，得2S=1+2+3+…+49.
同理，4S=（1+49）+（2+48）+（3+47）+…+（49+1）=50×49，
∴S=50×49÷4=612.5，
即
【知识点】有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）仿照材料的形式先计算2S的值然后求S的值即可．
（2）设 则两式相加，求得S即可.
20．（2024七上·江门月考）已知A、B在数轴上分别表示a，b．
（1）试在草稿纸上画出数轴（不用画在答题卡上），并对照数轴填空：
a 0 2
b 4 0 4
A、B两点的距离 4 6 10 m n 3
则　 　，　 　．
（2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？（直接写出关系式）
（3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到10和的距离之和为20，并求所有这些整数的和；
（4）找出（3）中满足到10和的距离之差大于1而小于5的整数的点P；（只要求写出点P所表示的具体数，不要求写出推理过程或演算过程）．
（5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，取得的值最小？
【答案】（1）2；12
（2）或
（3）解：∵10- (-10) =10+10=20，
点P为数轴上-10至10之间的任意一个整数点，包括10， -10.
∴点P为-10、-9、 -8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共21个数，
∴这些数字的和为：(-10) + (-9) .....+10=0；
（4）
（5）解：∵-1到2的距离是3，
∴点C在-1到2之间时，|x+1|+|x- 2|取得的值最小，最小值是3.
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】
解：(1) m=|-6- (-4) |=2， n=|2- (-10) |=12，
故答案为： 2，12；
(2) 由问题（1）的计算可知，A、B两点的距离 d = | a b |=| b a | ，
故答案为：或，
(4)设点P所代表的数为a，
点P到10和-10的距离之差为：|(a+10) - (10-a) |=|2a|.
∵点P满足到10和-10的距离之差大于1而小于5
∴1<|2a|<5.
∴a的整数解为： 土1，士2，
∴满足到10和-10的距离之差大于1而小于5的整数的点P表示的数是土1，士2；
故答案为：，
【分析】
(1)根据各数据分别计算即可解答；
(2)根据计算结果列出算式即可解答；
(3)求出10到-10的距离正好等于20，可知-10到10之间的所有整数点都可以，然后求解即可解答；
(4)设点P所代表的数为a，由题意得.1 <|2a|<5，据此求解即可解答；
(5)根据数轴，求出-1到2的距离即为所取得的最小值，解答即可.
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