资源简介

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
第3章　圆锥曲线与方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　1.抛物线y=-x2的焦点坐标是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.已知离心率为3的双曲线x2-=1与椭圆+=1有相同的焦点,则m2+n2=(　　)
A.13　　　　B.21　　　　C.29　　　　D.31
3.对于方程x2+y2tan α=1,α∈表示的曲线C,下列说法正确的是 (　　)
A.曲线C只能为圆、椭圆或双曲线
B.若α<0,则曲线C为双曲线
C.若α>0,则曲线C为椭圆
D.若C为椭圆,则曲线C的焦点在x轴上
4.若F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的共同焦点,点P是两曲线的一个交点,且△PF1F2为等腰三角形,则该双曲线的渐近线方程是(　　)
A.y=±2x　　　　B.y=±x　　　　C.y=±x　　　　D.y=±x
5.已知直线x-2y-3=0过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,且交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点为P,直线OP的斜率为-1,则椭圆的方程为(　　)
A.+=1　　　　B.+=1　　　　C.+=1　　　　D.+=1
6.如图,在底面半径和高均为2的圆锥中,AB,CD是底面圆的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,B是椭圆C的上顶点,直线x=c与直线BF2交于点A,若∠AF1F2=,则椭圆C的离心率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
8.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,圆F1与双曲线的渐近线相切,过F2且与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直,则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.如图,记椭圆C1:+=1,C2:+=1内部重叠区域(阴影部分)的边界为曲线C,P是曲线C上的任意一点,
则下列四个结论中正确的是(　　)
A.P到(-4,0),(4,0),(0,-4),(0,4)四点的距离之和必为定值
B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度必大于6π
10.已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点P为抛物线C上位于第一象限的点,直线l为抛物线C的准线,点Q在直线l上,若|PF|=2+,|QF|=,∠PFQ=90°,且直线PF与抛物线C交于另一点M,则下列结论正确的是(　　)
A.直线PF的倾斜角为60°
B.抛物线C的方程为y2=2x
C.=3-2
D.点Q在以线段PM为直径的圆上
11.已知直线l1,l2是双曲线T:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线,直线l经过T的右焦点F,且l∥l1,l交T于点M,交l2于点Q,交y轴于点N,则下列说法正确的是(　　)
A.△FOQ与△OQN的面积相等
B.若T的焦距为4,则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为
C.若=,则T的渐近线方程为y=±x
D.若∈,则T的离心率e∈[2,3]
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知点F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点A为C的左顶点,C上的点与点F2之间的距离最小为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF1交AP于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　.
13.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C和C的一条渐近线分别相交于P,Q两点(P,Q在同一象限内),若P为线段QF的中点,且|PF|=,则双曲线C的标准方程为　　　　　　.
14.已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为2,且点M在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线y=kx+与椭圆E相交于不同的两点P和Q,当|PQ|=时,求实数k的值.
16.(15分)某团队在O点西侧、东侧20千米处分别设有A,B两站点,测量距离时发现一点P满足|PA|-|PB|=20千米,且以O点为原点,正东为x轴正方向,正北为y轴正方向建立平面直角坐标系,点P在点O的北偏东60°方向上.
(1)求点P的坐标;
(2)该团队又在O点南侧、北侧15千米处分别设有C,D两站点,测量距离时发现一点Q满足|QA|-|QB|=30千米,|QC|-|QD|=10千米,求|OQ|(精确到1米).
17.(15分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且|AF|=|FC|,|BC|=2,O为坐标原点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线l交抛物线C于D,E两点,且D,E两点位于x轴两侧,直线l与x轴交于点M,若·=4,求S△DFO+S△DOE的最小值.
18.(17分)已知圆C:(x-2)2+y2=4和定点A(-2,0),P为圆C上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线PC交于点M,设点M的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若N是曲线H上的一点,过N的直线l与直线y=±x分别交于S,T两点,且N为线段ST的中点.
(i)求证:直线l与曲线H有且只有一个公共点;
(ii)求+的最小值(O为坐标原点).
19.(17分)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,则称这两个椭圆“相似”,并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.
(1)求经过点(2,),且与椭圆+y2=1相似的椭圆方程;
(2)已知椭圆C1:+=1,椭圆C2与椭圆C1的相似比为∶1.
(i)若直线m与椭圆C1相切,且与椭圆C2交于A,B两点,求|AB|的取值范围;
(ii)过点(-1,0)作斜率不为0的直线l与椭圆C1交于R,Q两点(R在Q的上方),与椭圆C2交于S,P两点(S在P的上方),是否存在直线l,使得5+2=7 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.D　由y=-x2得x2=-2y,则2p=2,即p=1,所以=.因为抛物线x2=-2y的焦点在y轴的负半轴上,所以其焦点坐标为.
2.C　由题意得解得所以m2+n2=29.
3.B　对于A,当α=0,即tan α=0时,曲线C的方程为x2=1,即x=±1,
此时曲线C为两条平行的直线,故A错误;
对于B,若α<0,即-<α<0,则tan α<0,
此时曲线C为双曲线,故B正确;
对于C,若α>0,即0<α<,则当α=时,tan α=1,
曲线C的方程为x2+y2=1,表示圆,故C错误;
对于D,当tan α≠0时,x2+y2tan α=1可变形为x2+=1,当01时,C为焦点在y轴上的椭圆,故D错误.
4.B　椭圆的焦点坐标为(0,±3),所以在双曲线-=1(a>0,b>0)中,有a2+b2=9.不妨设点P在第一象限内,F1为上焦点,则|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10-|PF2|=4,所以在双曲线中,2a=|PF2|-|PF1|=6-4=2,所以a=1,代入a2+b2=9,得b=2(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x.
5.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则①-②得+=0,整理可得·=-,即×(-1)=-,即a2=2b2③.对于x-2y-3=0,令y=0,得x=3,因为直线x-2y-3=0过椭圆的右焦点F,所以F(3,0),即c=3,所以a2-b2=c2=9④,由③④可得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为+=1.
6.A　如图1所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H,设F为抛物线的焦点,连接PF.因为E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为2,所以|OH|=|EH|=,所以|OE|=2.
在平面CED内建立平面直角坐标系,如图2所示.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),易得点C的坐标为(2,2),代入抛物线方程可得8=2p·2,所以p=2,所以F(1,0),即|EF|=1.易得|PB|=4,所以|PE|=2,所以∠PEO=90°,所以抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为=.
　　
7.A　如图,由题意知B(0,b),F2(c,0),
所以直线BF2的方程为+=1.
联立解得即A.
设直线x=c与x轴交于点M,
则|F1M|=c,|MA|=b.
因为∠AF1F2=,
所以|F1M|=|MA|,即c=b,
所以b=2c,所以a2-c2=b2=4c2,即a=c,所以离心率e==.
8.C　如图所示,不妨令直线BF2与渐近线l垂直,直线BF2切圆F1于点B,连接BF1,过F1作直线l的垂线,垂足为点A,易得渐近线l的方程为y=-x,即bx+ay=0,
点F1(-c,0)到直线l的距离为|AF1|==b,
所以|OA|===a,
所以cos∠AOF1==.
设直线BF2与直线l的交点为C,
因为直线BF2与圆F1相切,且直线BF2⊥l,
所以C为线段BF2的中点,
易得|OC|=,则cos∠COF2==,又cos∠AOF1=cos∠COF2,所以=,
所以=2,所以tan α==.
9.BCD　设F1,F2分别是椭圆C1的左、右焦点,F3,F4分别是椭圆C2的上、下焦点,则F1(-4,0),F2(4,0),F3(0,4),F4(0,-4),当|PF1|+|PF2|=10时,|PF3|+|PF4|不是定值,A错误;用(y,x)替换椭圆方程+=1中的(x,y),得+=1,反之亦然,因此两个椭圆关于直线y=x对称,同理,它们也关于直线y=-x对称,因此曲线C关于直线y=x,y=-x对称,B正确;由椭圆方程知,曲线C在直线x=±3,y=±3围成的正方形内部,而正方形的面积为(2b)2=36,故曲线C所围区域的面积必小于36,C正确;由椭圆的性质可知,曲线C上的点到原点的距离的最小值为3,曲线C在以原点O为圆心,3为半径的圆的外部,而圆的周长为2π×3=6π,因此曲线C的周长必大于6π,D正确.
10.BCD　如图,过点P作PP'⊥l,垂足为P',连接QP,QM,
由抛物线的定义知|PP'|=|PF|,
∴Rt△PFQ与Rt△PP'Q全等,则∠FPQ=∠P'PQ,
∵|PF|=2+,|QF|=,∠PFQ=90°,
∴tan∠FPQ==-1,
∴tan∠P'PF=tan 2∠FPQ===1,
则∠P'PF=45°,由内错角相等知直线PF的倾斜角为45°,故A错误;
设直线l与x轴交于点K,则|KF|=p,
易得∠QFK=45°,则△QFK为等腰直角三角形,
∵|QF|=,∴p2+p2=2,∴p=1,
∴抛物线的方程为y2=2x,故B正确;
由上述分析可知,F,直线PF的斜率为1,
故直线PF的方程为y=x-,
设P(x1,y1),M(x2,y2),
∵|PF|=x1+=2+,∴x1=+,
联立整理得x2-3x+=0,
则x1+x2=3,∴x2=-,
∴|MF|=x2+=2-,
∴==3-2,故C正确;
由上述分析知Q,设线段PM的中点为E(x0,y0),连接QE,
则x0==,y0=x0-=1,∴E,
则|QE|=2,
又|PM|=|PF|+|FM|=2++2-=4=2|QE|,
∴点Q在以线段PM为直径的圆上,故D正确.
11.AC　由题可知,F(c,0),不妨记l1:y=x,l2:y=-x.由l∥l1可得l的方程为y=(x-c),与l2的方程联立可解得xQ=,yQ=-,即点Q.对于y=(x-c),令x=0,可得y=-,即点N,所以S△FOQ=×c×=,S△OQN=××=,所以S△FOQ=S△OQN,A正确;设M(x0,y0),则-=1,即b2-a2=a2b2,所以点M到两条渐近线的距离之积为·==,因为T的焦距为4,所以c=2,所以=,因为4=a2+b2≥2ab,所以ab≤2,所以a2b2≤4,所以=≤1,当且仅当a=b=时取等号,所以点M到两条渐近线的距离之积的最大值为1,B错误;由=得M为线段QF的中点,则x0==,y0=-=-,即点M,代入双曲线T的方程,得-=1,即=2,又c2=a2+b2,所以a2=b2,所以a=b,所以双曲线T的渐近线方程为y=±x,C正确;由y=·(x-c)与-=1(a>0,b>0),得xM=,所以===1-∈,得e2∈[2,3],所以e∈[,],D错误.
12.答案　+=1
解析　不妨令点P位于第一象限,如图,连接OB,AQ,因为O,B分别为线段PQ,PA的中点,所以线段OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以△OF1B∽△AF1Q,所以==,即=,所以a=3c.因为C上的点与点F2之间的距离最小为2,所以a-c=2,所以a=3,c=1,所以b==2.故椭圆C的标准方程为+=1.
13.答案　-y2=1
解析　由双曲线方程可得F(c,0),不妨取该条渐近线的方程为y=x.由|PF|=,可得P.由P为线段QF的中点可得Q.将Q的坐标代入渐近线的方程,得=,整理得=,即4a2=3c4-3a2c2①.因为点P在双曲线上,所以-=1,所以3c2(c2-a2)-a2=3a2(c2-a2),整理得3c4-6a2c2-a2+3a4=0②.
由①②可得3c4-7a2c2+4a4=0,因为c>a,所以c2=a2③.
由②③解得c2=4,a2=3,故b2=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
14.答案　3x+6y+4=0
解析　由A(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,得22=2p×2,解得p=1,故抛物线的方程为y2=2x.易知过点A(2,2)且与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的斜率存在,设其方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d==1,解得k=±.不妨设直线AB:y-2=(x-2),直线AC:y-2=-(x-2).
联立得3x2+(4-14)x+16-8=0,故xAxB=,又xA=2,∴xB=,∴yB=.
联立得3x2-(4+14)x+16+8=0,故xAxC=,又xA=2,∴xC=,
∴yC=,∴yB+yC=+=-4.
由B,C在抛物线上可知,kBC=====-,故直线BC的方程为y-=-,即3x+6y+4=0.
15.解析　(1)由题意得2a=2,所以a2=3,
因为点M在椭圆上,所以+=1,解得b2=1,
所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分)
(2)联立消去y得(1+3k2)x2+6kx+3=0,(6分)
由题意知Δ=(6k)2-4×3×(1+3k2)=36k2-12>0,
解得k<-或k>,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,(8分)
所以|PQ|=|x1-x2|==,(10分)
所以(1+k2)·=3,化简得3k4+2k2-5=0,
所以k2=1,所以k=±1.(13分)
16.解析　(1)易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).(1分)
由题意可得a=10,c=20,所以b2=300,
所以双曲线的标准方程为-=1.(3分)
易得直线OP:y=x,且P在第一象限内.联立所以x=,y=,即点P的坐标为.(6分)
(2)由|QA|-|QB|=30可知,点Q在以A,B为焦点的双曲线上,设为C1,其标准方程为-=1(a1>0,b1>0),易知a1=15,c1=20,所以=175,则双曲线C1的方程为-=1.(9分)
由|QC|-|QD|=10可知,点Q在以C,D为焦点的双曲线上,设为C2,其标准方程为-=1(a2>0,b2>0),易知a2=5,c2=15,所以=200,所以双曲线C2的方程为-=1.(12分)
两双曲线方程联立,结合题意可得Q,
所以|OQ|≈19米.(15分)
17.解析　(1)如图所示,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为A1,过点B作准线的垂线,垂足为B1.设准线与x轴交于点G.
易知∠AFx=∠CBB1=,|BC|=2,
∴|BB1|=1,∴|BF|=1,(2分)
∴|AF|=|CF|=|BC|+|BF|=3,
∴|GF|=|AA1|=|AF|=,∴p=,
∴抛物线C的方程为y2=3x.(5分)
(2)不妨设D(x1,y1),E(x2,y2)(y1>0,y2<0),lDE:x=my+t.
联立得y2-3my-3t=0,
∴y1+y2=3m,y1y2=-3t,(9分)
∴·=x1x2+y1y2=·+y1y2=4,
∴y1y2=3(舍去)或y1y2=-12,
∴-3t=-12,∴t=4,∴M(4,0).(12分)
∴S△DFO+S△DOE=|OF|·y1+|OM|·(y1-y2)=+2(y1-y2)=-2y2≥2=2×=2,当且仅当y1=-2y2,即y1=,y2=-时,等号成立,
∴S△DFO+S△DOE的最小值为2.(15分)
18.解析　(1)M为线段PA的垂直平分线上一点,则|MP|=|MA|,
易得圆C的半径为2,即|PC|=2,则||MA|-|MC||=||MP|-|MC||=|PC|=2<|AC|=4,(2分)
∴点M的轨迹为以A,C为焦点的双曲线,且a=1,c=2,
故曲线H的方程为x2-=1.(4分)
(2)(i)证明:直线y=±x是双曲线H的渐近线,不妨令点N在双曲线H的左支上,点T位于点S上方,设N(x0,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),
易得y1=x1①,y2=-x2②,
①+②得,y1+y2=(x1-x2),①-②得,y1-y2=(x1+x2),
则=,即=,(6分)
由题可知|NS|=|NT|,则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,
∴=,∴kST=,
∴直线ST的方程为y-y0=(x-x0),即3x0x-y0y=3-,(8分)
又∵点N在双曲线H上,
∴3-=3,∴3x0x-y0y=3,
联立得(-3)x2+6x0x-3-=0,
即-3x2+6x0x-3=0,(10分)
由Δ=-4×(-3)×(-3)=0,可知方程有两个相等的实数解,
故直线l与双曲线H有且仅有一个交点.(11分)
(ii)结合(i),联立可得x1=,
同理可得,x2=,
|OS|==2|x1|,同理|OT|=2|x2|,
∴|OS|·|OT|=4|x1x2|=4×=4,(14分)
故+=+≥2=,
当且仅当=,即|OS|=2时取等号,
故+的最小值为.(17分)
19.解析　(1)由题意可知,“特征三角形”是等腰三角形,且腰长为a,底边长为2c,
故椭圆的特征三角形的相似比就是两个椭圆的长半轴长之比或者是焦距之比,所以特征三角形相似的两椭圆的离心率是相等的.
易得椭圆+y2=1的离心率e=,
所以与椭圆+y2=1相似的椭圆的离心率也为,(2分)
设所求椭圆的方程为+=1,
因为该椭圆过点(2,),
所以+=1①,
易知==1-=,
所以a2=2b2②,
由①②得a2=8,b2=4,
故所求椭圆的方程为+=1.(3分)
(2)(i)由椭圆C2与椭圆C1的相似比为∶1,可知椭圆C2的长半轴长与椭圆C1的长半轴长之比也为∶1,椭圆C2的焦距与椭圆C1的焦距之比也为∶1,
又椭圆C1:+=1,所以椭圆C2:+=1.
当直线m的斜率不存在时,由直线m与椭圆C1:+=1相切,得直线m的方程为x=±2,
不妨取直线m:x=2,易得直线m与椭圆C2:+=1的交点坐标分别为(2,),(2,-),故|AB|=2.(5分)
当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y=kx+n,
与椭圆C1:+=1联立并消去y得(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0,
由直线m与椭圆C1相切,可得Δ=(8kn)2-4(3+4k2)(4n2-12)=0,整理得n2=3+4k2,
将直线m:y=kx+n与椭圆C2:+=1联立,消去y得(3+4k2)x2+8knx+4n2-36=0,
Δ=(8kn)2-4(3+4k2)(4n2-36)=48(-n2+9+12k2)=48(-3-4k2+9+12k2)=96(3+4k2)>0,
设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=,xAxB=,
所以|AB|=|xA-xB|=
==4
=4=4=4
=4=2,
由于k2≥0,所以∈,
所以|AB|∈(2,4].(8分)
综上可得,|AB|的取值范围为[2,4].(9分)
(ii)直线l存在.
当直线l的斜率不存在时,l:x=-1,
把x=-1代入+=1,得y=±,
把x=-1代入+=1,得y=±,
所以P,S,Q,R,
所以=(0,),=,=,
所以5+2=5(0,)+2=(0,6-3),7=,
显然5+2≠7.(12分)
当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k'(x+1)(k'≠0),不妨设Q(x1,y1),R(x2,y2),P(x3,y3),S(x4,y4),x2>0,x4>0,
联立可得(3+4k'2)x2+8k'2x+4k'2-12=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,
联立可得(3+4k'2)x2+8k'2x+4k'2-36=0,
所以x3+x4=-,x3x4=,
所以==-,即线段QR,PS的中点的横坐标相同,(14分)
又因为P,Q,R,S四点共线,
所以线段QR的中点即为线段PS的中点,
因为5+2=7,
所以5|PS|+2×=7×,
所以5|PS|=9|QR|,
又因为|QR|=·|x1-x2|=·
=·
=·=,
|PS|=·|x3-x4|=·
=·
=·=,
所以5×=9×,
整理得5×=27,即5=9,解得k'=±,符合条件,此时直线l:3x±4y+3=0.(16分)
综上,存在直线l满足条件,且直线l的方程为3x±4y+3=0.(17分)

展开更多......

收起↑