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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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高中同步达标检测卷
第4章　计数原理
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算++=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.北斗七星自古是人们辨别方向、判断季节的重要依据,北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光,其中玉衡最亮,天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测,则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等,则含x10项的系数是(　　)
A.-8　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.-4
4.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条件的六位数的个数为(　　)
A.60　　　　B.108　　　　C.132　　　　D.144
5.的展开式中xy的系数为(　　)
A.30　　　　　B.-30
C.60　　　　　D.-60
6.2021年4月24日是第六个“中国航天日”,主题是“扬帆起航,逐梦九天”.为了制作一期展示我国近年来航天成就的展板,某校科普小组的6名同学计划分“神舟飞天”“嫦娥奔月”“火星探测”3个展区制作展板,每人只负责一个展区,每个展区至少有一人负责,则不同的任务分配方案有　　(　　)
A.990种　　　　　B.630种　　　　
C.540种　　　　　D.480种
7.第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16日至7月22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中,有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名新教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目,则不同的安排方案的种数为(　　)
A.108　　　　　B.114　　　　
C.150　　　　　D.240
8.以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个,则这2个三角形不共面的情况种数为(　　)
A.1 480　　　　　B.1 468　　　　
C.1 516　　　　　D.1 492
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是(　　)
A.若任意选择三门课程,则选法种数为35
B.若物理和化学至少选一门,则选法种数为30
C.若物理和历史不能同时选,则选法种数为30
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,则选法种数为20
10.关于(-1)2 021及其二项展开式,下列说法正确的是(　　)
A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22 021
B.该二项展开式中第8项为-x1 007
C.当x=100时,(-1)2 021除以100的余数是9
D.该二项展开式中不含有理项
11.定义“圆排列”:从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以=.现有2个女生、4个男生共6名同学围坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则(　　)
A.共有种排法
B.若两名女生相邻,则有2种排法
C.若两名女生不相邻,共有4种排法
D.若男生甲位置固定,则有5种排法
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.百色起义纪念馆、红军长征突破湘江烈士纪念碑园、湘江战役纪念馆、东兰红色旅游区是广西著名的红色旅游景点,某旅游博主准备分4次分别去这4个景点旅游,则百色起义纪念馆不在最后一次去的方法总数为　　　　.
13.(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)11的展开式中x2的系数为　　　　.
14.如图,一个3×3的九宫格中的小方格内的坐标表示向量,现不改变这些向量的坐标,重新调整位置,使得每行、每列的三个向量的和为零向量,则不同的填法种数为　　　　　　.
(-1,1) (0,1) (1,1)
(-1,0) (0,0) (1,0)
(-1,-1) (0,-1) (1,-1)
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B,C三个智力竞赛项目,每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数.
(1)甲、乙报同一项目,丙不报A项目;
(2)甲不报A项目,且B,C项目报名的人数相同.
16.(15分)设(x+1)=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.
(1)求a6的值;
(2)求a0+22a2+24a4+…+210a10的值.
17.(15分)已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中各二项式系数的和以及各项系数的和;
(3)求展开式中系数绝对值最大的项.
18.(17分)在高三一班的元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目连在一起时,有多少种不同的安排顺序
(2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的安排顺序
19.(17分)从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,用这四个数字组成无重复数字的四位数,用这些四位数构成集合M.
(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数;
(2)求集合M中含有数字0的元素的个数;
(3)从集合M中随机选择一个元素,求这个元素能被5整除的概率.
答案全解全析
1.A　因为+=,所以++=++=+==.
2.B　玉衡和天权都没有被选中的概率为=,所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1-=.
3.D　由条件可知=,所以n=12,的展开式的通项为Tr+1=x12-r·=x12-2r,令12-2r=10,解得r=1,所以含x10项的系数是·=-4.
4.B　先排3个奇数,有=6种排法,
排完奇数后形成4个空,插入余下3个偶数,有=24种排法,
但此时0放在首位的情况有=6(种),故满足条件的六位数的个数为6×(24-6)=108.
5.D　易知的展开式的通项为Ti+1=yi,i=0,1,2,…,6,
令i=1,得y,
的展开式的通项为Tr+1=x2(5-r),r=0,1,2,3,4,5,
令r=3,得x的系数为(-1)3,所以xy的系数为××(-1)3=-60.
6.C　分成三类:①一组1人,一组2人,一组3人,不同的分配方案有=360(种);②一组4人,其他两组各1人,不同的分配方案有··=90(种);③每组都是2人,不同的分配方案有·=90(种).故不同的分配方案共有360+90+90=540(种).
7.B　5名新教师按3∶1∶1分组有种分法,按2∶2∶1分组有种分法,因此5名新教师的安排方案有种,
当甲、乙在同一组时,甲、乙可视为1个人,相当于求4名新教师的安排方案,有种.
所以不同的安排方案有-=25×6-6×6=114(种).
8.B　长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任意三个均不共线,故任取三个均可构成1个三角形,共有=56(个),从中任选两个,共有=1 540种情况.长方体有六个面,六个对角面,每个面(对角面)的四个顶点共确定4个不同的三角形,故随机取出2个,这2个三角形不共面的情况共有1 540-12×=1 468(种).
9.ACD　对于A,选法种数为=35,故A正确.对于B,若物理和化学选一门,其余两门从剩余的五门中选,有=20种选法;若物理和化学都选,剩下一门从剩余的五门中选,有=5种选法.故共有20+5=25种选法,故B错误.对于C,物理和历史同时选,有=5种选法,故不同时选的选法种数为35-5=30,故C正确.对于D,只选物理,不选化学,则历史也不选,有=6种选法;只选化学,不选物理,有=10种选法;若物理、化学都选,则历史不选,有=4种选法.故共有6+10+4=20种选法,故D正确.
10.BC　偶数项的二项式系数之和为22 020,故A错误;(-1)2 021的展开式的通项为Tr+1=·()2 021-r(-1)r=(-1)r,展开式中第8项为T7+1=()2 014·(-1)7=-x1 007,故B正确;当x=100时,(-1)2 021=(10-1)2 021=·102 021-·102 020+…-·102+·101-=100(·102 019-·102 018+…-·100)+·101-1,∵·101-1=20 209=20 200+9,除以100的余数是9,∴当x=100时,(-1)2 021除以100的余数是9,故C正确;当为整数,即r=1,3,5,…,2 021时,Tr+1为有理项,故D错误.
11.ABD　对于A,因为现有2个女生、4个男生共6名同学围坐成一圈,所以共有=种排法,A正确;
对于B,若两名女生相邻,则有=2种排法,B正确;
对于C,若两名女生不相邻,共有=12种排法,C错误;
对于D,若男生甲位置固定,不妨考虑以甲为起点的顺时针排列,则有=5种排法,D正确.
12.答案　18
解析　百色起义纪念馆在最后一次去的方法共有种,
故百色起义纪念馆不在最后一次去的方法总数为-=18.
13.答案　220
解析　根据二项展开式知,(1+x)n的展开式中x2的系数为(n≥2,n∈N+),
故x2的系数是+++…+=+++…+
=++…+=++…+=…=+==220.
14.答案　72
解析　对3×3的九宫格的每个位置标注数字,如图,
1 2 3
4 5 6
7 8 9
第一步先排(0,0),一共9个位置,因此有种排法,
根据对称性知,(0,0)所在的行和列只能排(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1),
不妨令(0,0)在位置1,
第二步排位置2,从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)中选一个,有种排法,则位置3的坐标也随之确定,
第三步排位置4,从(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)剩余的两个中选一个,有种排法,接着排位置7,位置7是(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)中剩余的最后一个.
使得每行、每列的三个向量的和为零向量,则其他四个位置的向量排法是唯一的.
故按分步乘法计数原理知,不同的填法有××=72(种).
15.解析　(1)把甲、乙看成一个整体.甲、乙在三个项目中任选一个,有=3种选法;(2分)
丁在三个项目中任选一个,有=3种选法;(3分)
丙在除A项目外的项目中任选一个,有=2种选法.(5分)
故共有3×3×2=18种报名方法.(6分)
(2)若B,C项目各有一人,有=6种报名方法;(9分)
若B,C项目各有两人,有=6种报名方法.(12分)
所以报名方法共有6+6=12(种).(13分)
16.解析　(1)由题意知a6是(x+1)(2x2-1)5的展开式中x6的系数.
的展开式的通项为Tr+1=(2x2)5-r(-1)r=(-1)r25-rx10-2r(r=0,1,…,5),(2分)
令10-2r=5,得r=,舍去;令10-2r=6,得r=2.(4分)
故a6=(-1)2×23×=80.(6分)
(2)令x=2,得3×75=a0+2a1+22a2+…+211a11,①(9分)
令x=-2,得-75=a0-2a1+22a2-…-211a11,②(12分)
由得a0+22a2+24a4+…+210a10==75.(15分)
17.解析　(1)由题意得∶=1∶3,n∈N+,解得n=7.(2分)
(2)由(1)得原式为,
所以展开式中各二项式系数的和为27=128.(4分)
令x=1,得展开式中各项系数的和为=1.(6分)
(3)的展开式的通项为Tr+1=(3x)7-r=·37-r·(-2)r·,r=0,1,2,…,7.(9分)
设第r+1项的系数的绝对值最大,
设f(r)=×37-r×2r,则
即(12分)
解得≤r≤,又r∈N+,所以r=3.
故展开式中系数绝对值最大的项为T4=×37-3×(-2)3=-22 680.(15分)
18.解析　(1)分两步:第一步,将4个舞蹈节目捆绑,与6个演唱节目全排列,有=5 040种方法;
第二步,将4个舞蹈节目全排列,有=24种方法.(3分)
根据分步乘法计数原理,得共有5 040×24=120 960种不同的安排顺序.(4分)
(2)分两步:第一步,将6个演唱节目排成一排(如图中的“□”),一共有=720种方法.
×□×□×□×□×□×□×(7分)
第二步,将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),相当于7个“×”选4个来排,一共有=840种方法.(10分)
根据分步乘法计数原理,得共有720×840=604 800种不同的安排顺序.(11分)
(3)若所有节目没有顺序要求,则有种排法,(14分)
但原来的节目已定好顺序,
所以共有=132种不同的安排顺序.(17分)
19.解析　(1)①从1,3,5,7中任取2个数字有=6种取法,
②从2,4,6,8中任取2个数字有=6种取法,
③四个数字全排列,有=24种情况,(3分)
∴集合M中不含有数字0的元素有6×6×24=864(个).(5分)
(2)①从1,3,5,7中任取2个数字有=6种取法,
②从2,4,6,8中任取1个数字有=4种取法,
③四个数字全排列,排除0在第一位的情况,有-=18种情况,(8分)
∴集合M中含有数字0的元素有6×4×18=432(个).(9分)
(3)由(1)(2)知M中共有864+432=1 296个元素,(11分)
能被5整除的元素的个位数字为0或5,
①个位数字为0的元素有=144(个),
②个位数字为5的元素有+=156(个),
∴能被5整除的元素有144+156=300(个),(15分)
∴从集合M中随机选择一个元素能被5整除的概率为=.(17分)

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