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广西百色市县级市2024-2025学年八年级下学期期末检测数学试题
一、单选题
1．下列各数中，能使有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．要了解某同学的数学考试成绩是否稳定，需要了解该同学近几次考试成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
4．只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有一个角为的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪开后，不能拼成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
6．游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（ ）
A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走 D．每段直路要长
7．如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）
A．6.5 B．6 C． D．5.8
8．学校准备选拔一名学生会主席，选拔规定：按笔试成绩占，面试成绩占，民主测评占确定最终成绩，下表是王洋所查询的成绩，则他的最终成绩是（ ）
姓名 笔试成绩 面试成绩 民主测评
王洋 88分 83分 85分
A．85.3分 B．85.4分 C．85.6分 D．86.0分
9．若方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
13．老师对八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，发现分至分这一组的频数是15，那么该分数段的频率是 ．
14．从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为 ．
15．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．
16．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律：
①；②；③；……
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．已知：如图，在中，，点D是的中点，过点A作，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．【问题情景】某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次/分钟），分为如下五组，A组：，组：，组：，组：，组：．其中组数据为：78，96，84，82，98，96．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图回答下列问题：
(1)组数据的众数是_____，中位数是_____，平均数是_____；
(2)补全学生心率频数分布直方图；
(3)求组在扇形统计图中所占的圆心角的度数；
(4)一般运动后的适宜心率为（次/分钟），学校共有2500名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
21．端午节将近，某超市以25元/件的价格购进一批三角粽，计划以40元/件的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这批三角粽的销售量（件）与每件降低的价格（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若超市要想获利800元，且让顾客获得更大实惠，这批三角粽每件应降价多少元？
22．【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
【知识运用】
(1)已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
23．【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，．
【证明与探究】
(1)求证：；
(2)请判断与的位置关系，并说明理由；
(3)作的中点，连接，若，求的长．
参考答案
1．D
解：使有意义，即，
解得：，
故选：D．
2．B
解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
3．B
解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．
所以需要了解该同学近几次考试成绩的方差．
故选：B．
4．A
解：∵这种正多边形的内角是，
∴与之对应的外角为：，
∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形．
故选：A．
5．C
解：选项A：将剪开的小三角形与梯形的直角边拼接，可得到矩形，
因为中位线平行于底边，拼接后有三个直角，符合矩形特征；
选项B：将小三角形的斜边与梯形的斜腰拼接（非直角边拼接），
由于中位线长度是底边的一半，且三角形有一个角为，可拼成菱形（四条边相等）；
选项C：因为原三角形是有一个角为的直角三角形，
无论怎样拼接，都无法得到四个角都是且四条边都相等的正方形；
选项D：将小三角形的一条边与梯形的非平行边拼接，
利用中位线性质和平行关系，可拼成等腰梯形（两腰相等）．
故选：C．
6．A
解：根据题意可知，从起点走九段相等直路之后回到起点的封闭图形是正九边形，
∵正九边形的每个外角的度数为：
∴每走完一段直路后沿向右偏方向行走，
故选：A．
7．B
解：由图可得，，
∵，，
，
，
∴点D所表示的数为，
故选：B．
8．C
解：（分）
故选：C．
9．D
解：∵方程没有实数根，
∴，
解得；
∴的值可以是：，
故选：D．
10．A
解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选A．
11．C
解：过点作轴于点
四边形是菱形
故选：C．
12．B
解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
连接
又直线经过点B，
，
又点E是的中点，
，
在矩形中，，
在中，，
．
故选：B．
13．0.25
解：成绩在分之间的频率为．
故答案为：．
14．
解：根据题意：，
化为一般形式为：，
故答案为：．
15．
解：连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
16．
解：，
，
，
用含的式子表示为：，
故答案为：．
17．(1)
(2)
（1）
．
（2）
．
18．(1)，
(2)，
（1）解：
，
或，
，．
（2）解：
方程化为一般形式为．
，，，
，
，
，．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点D是的中点，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
,
点D是的中点，
，
．
20．(1)96；90；89
(2)见解析
(3)
(4)估计大约有2000名学生达到适宜心率
（1）B组数据为78，96，84，82，98，96，其中96出现了2次，出现的次数最多，所以众数是96．
将B组数据从小到大排列为78，82，84，96，96，98，数据个数为6，是偶数，中间两个数是84和96，则中位数是．
B组数据的平均数为．
故答案为：96；90；89；
（2）已知B组有6人，占比，
则总人数为人．
A组有人，B组6人，D组有25人，E组有1人，
所以C组人数为人．
补全频数分布直方图，．
（3）解：因为C组有15人，总人数为50人，
所以C组在扇形统计图中所占的圆心角的度数为．
（4）解：适宜心率为，即C组和D组，C组有15人，D组有25人，共人．
因为，学校共有2500名学生，
所以达到适宜心率的学生大约有名．
21．(1)
(2)这批三角粽每件应降价7元
（1）解：设与之间的函数关系式为，则由题图象得
，解得
与之间的函数关系式为．
（2）依题意得，
整理得，
解得，．
让顾客获得更大实惠，
取．
答：这批三角粽每件应降价7元．
22．(1)点，是线段的勾股分割点．理由见解析
(2)的长为12或13
（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，
点，是线段的勾股分割点．
（2）设，则．
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，
①当为斜边时，则，即
，
解得；
②当为斜边时，则，即
，
解得．
综上所述，的长为12或13．
23．(1)证明见解析
(2)．理由见解析
(3)
（1）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
（2）解：．理由如下：
如图1．四边形是正方形，
，，
．
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
，即，
．
（3）解：如图2，连接．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
，
．
在中
．

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