资源简介

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
高中同步达标检测卷
期末考试综合检测卷
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.过点P(,-2)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A.3x-y-5=0　　　　　B.x-y+=0　　　　
C.x+y-=0　　　　　D.x+y+=0
2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+(y+4)2=36,则两圆的位置关系为(　　)
A.相离　　　　　B.相交　　　　 C.内切　　　　　D.外切
3.椭圆C以双曲线-=1的两个焦点为长轴的端点,以双曲线的顶点为焦点,则椭圆C的方程为(　　)
A.+=1　　　　　B.+=1　　　　
C.+=1　　　　　D.+=1
4.已知数列{an},{bn}中,a1=2,b1=6,an+1=2an,bn+1=2bn-an,若am=bm,则m=(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
5.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),|AB|=|AC|,则△ABC的欧拉线方程为(　　)
A.2x-4y-3=0　　　　　B.2x+4y+3=0
C.4x-2y-3=0　　　　　D.2x+4y-3=0
6.在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别,同时又为了接待方便,将其中的五个参会国的人员安排入酒店住宿,这五个参会国人员要在a,b,c三家酒店中选择一家,各参会国人员不分住不同的酒店,且每家酒店至少有一个参会国的人员入住,则这样的安排方法共有(　　)
A.96种　　　　　B.124种　　　　
C.130种　　　　　D.150种
7.已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
8.设数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn.若bn=,则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”,且2b1+4b2+8b3+…+2nbn=n2+n,则下列结论正确的是(　　)
A.对任意n∈N+,都有|Tn|<1
B.Tn既有最大值,也有最小值
C.数列{Sn}中没有最大项
D.若对任意|Tn|<1,m2-m-Sn≥0恒成立,则m≥
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.对于任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9,则下列结论成立的是(　　)
A.a2=-144
B.a0=1
C.++…+=1
D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=-39
10.已知数列{an}满足a1=1,an+2=2an+1-an(n∈N+),其前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　)
A.{Sn}的通项公式可以是Sn=n2-n+1
B.若a3,a7为方程x2+6x+5=0的两根,则a6-a7=-
C.若=2,则=4
D.若S4=S8,则使得Sn>0的正整数n的最大值为11
11.已知P(x1,y1),Q(x2,y2)是曲线C:7x2-6y+6y2+|x2+6y-3|=21上不同的两点,O为坐标原点,则(　　)
A.+的最小值为3
B.2≤+≤4
C.若直线y=kx+3与曲线C有公共点,则k∈∪
D.对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,都存在点Q,使得曲线C在P,Q两点处的切线垂直
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2=3,a7a8=27,则a4a5=　　　　.
13.第21届中国—东盟博览会于2024年9月24日至9月28日在南宁召开,某记者与参会的4名国际友人代表一起合影留念(5人站成一排).若记者不站中间,国际友人甲不站两边,则有　　　　种排法.
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知(n∈N+).
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若n为满足816.(15分)已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),D(2,2),动点P满足·=k||2.
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当k=2时,求直线DP斜率的取值范围.
17.(15分)已知数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=2n+1-2.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)若an=2n-5,设cn=|an|·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
18.(17分)若椭圆:+=1(a>b>0)上的两个点M(xM,yM),N(xN,yN)满足+=0,则称M,N为该椭圆的一个“共轭点对”,点M,N互为共轭点.显然,对于椭圆上任意一点M,总有两个共轭点N1,N2.已知椭圆C:+=1,点A(x0,y0)是椭圆C上一动点,点A的两个共轭点分别为B1(x1,y1),B2(x2,y2).
(1)当点A的坐标为(,)时,求|B1B2|;
(2)当直线AB1,AB2的斜率均存在时,记其斜率分别为k1,k2,k1k2≠0,求|k1|+|k2|的最小值;
(3)证明:△AB1B2的面积为定值.
19.(17分)已知点P1(1,-2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点P1作斜率为1的直线交C于另一个点Q1,设P2与Q1关于x轴对称,再过P2作斜率为1的直线交C于另一个点Q2,设P3与Q2关于x轴对称,以此类推,设Pn(xn,yn)(n∈N+).
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:数列{yn}是等差数列,并求xn,yn;
(3)求△PnPn+1Pn+2的面积.
答案全解全析
1.D　 因为直线的倾斜角为135°,所以直线的斜率k=tan 135°=-1,所以直线方程为y+2=-(x-),即x+y+=0.
2.C　易知圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径r2=6,所以|C1C2|==5=r2-r1,所以两圆内切.
3.C　由-=1,可得其焦点坐标为(±5,0),顶点坐标为(±4,0)
所以椭圆的长轴的端点坐标为(±5,0),焦点坐标为(±4,0),所以椭圆方程为+=1.
4.B　在数列{an}中,由a1=2,an+1=2an,得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
所以an=2n,则bn+1=2bn-2n,即-=-,
又=3,所以数列是以3为首项,-为公差的等差数列,则=3+(n-1)·,即bn=(7-n)2n-1.
由am=bm,得2m=(7-m)2m-1,所以m=5.
5.D　因为B(-1,0),C(0,2),
所以线段BC的中点的坐标为,
线段BC所在直线的斜率kBC=2,
则线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-,即2x+4y-3=0,
因为|AB|=|AC|,
所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,
所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.
6.D　分2步进行分析:①把5个参会国人员按照1,1,3或1,2,2分成三组.当按照1,1,3分时,共有=10种方法;当按照1,2,2分时,共有=15种方法.故一共有10+15=25种方法.②将分好的三组分到三家酒店,有=6种安排方法.故安排方法共有25×6=150(种).
7.D　不妨令△ABC的位置如图所示,过点A,B分别作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1++y2+=y1+y2+p(*),
因为点F为△ABC的重心,所以=,即y1+y2=-y3,
代入(*),可得|FA|+|FB|=-y3+p=-y3,
因为点C(x3,y3)在抛物线E:x2=2py(p>0)上,所以y3≥0,故|FA|+|FB|≤,所以=10,解得p=4.
8.B　由2b1+4b2+8b3+…+2nbn=n2+n①,
得2b1+4b2+8b3+…+2n-1bn-1=(n-1)2+n-1,n≥2②,
①-②并整理可得bn==,n≥2,
当n=1时,b1=1,符合上式,故bn=,
又bn=,所以Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,
当n=1时,a1=1,符合上式,故an=.
易知当n=1,2,3时,an>0,当n≥4时,an<0.
对于A,当n=1时,|T1|=a1=1,故A错误;
对于B,易知a2=1,a3=,a4=-,a5=-,
当n≥4时,an+1-an=-=,
所以a4=->a5=-=a6,且-1所以当n=1或n=2时,Tn取得最大值,为1,
当n=4时,Tn取得最小值,为-,
所以Tn既有最大值,也有最小值,故B正确;
对于C,由Sn=可知Sn+1-Sn=-==,
所以S1S4>S5>…>Sn,
所以数列{Sn}中的最大项为S3,故C错误;
对于D,若对任意|Tn|<1,则n≥3,
由m2-m-Sn≥0恒成立,结合C中分析可得m2-m≥S3=,
解得m≥或m≤-1,故D错误.
9.ACD　(2x-3)9=[-1+2(x-1)]9,其展开式的通项为Tr+1=(-1)9-r·[2(x-1)]r=(-1)9-r2r(x-1)r,r=0,1,2,…,9,当r=2时,T3=(-1)7×22(x-1)2=-144(x-1)2,故a2=-144,A正确;
当r=0时,T1=(-1)9×20(x-1)0=-1,故a0=-1,B错误;
=(-1)9-r,则[(x-1)-1]9=+(x-1)+(x-1)2+…+(x-1)9,故当x=2时,+++…+=0,又a0=-1,所以++…+=1,C正确;
当x=0时,a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=(-3)9=-39,D正确.
10.BD　因为an+2=2an+1-an(n∈N+),
所以an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列,设公差为d,则Sn=.
对于A,若Sn=n2-n+1,则a2=S2-S1=3-1=2,a3=S3-S2=7-3=4,所以a3-a2≠a2-a1,数列{an}不是等差数列,与题意矛盾,故A错误;
对于B,易求得a3+a7=-6,即2a1+8d=-6,解得d=-1,则an=2-n,所以a6=-4,a7=-5,则a6-a7=-4+=-,故B正确;
对于C,==2,解得d=0,
所以==2,故C错误;
对于D,由S4=S8,得=,解得d=-,
所以Sn=-n2+n,由Sn>0,即-n2+n>0,解得0所以正整数n的最大值为11,故D正确.
11.BCD　当x2+6y-3≥0时,原方程可化为7x2-6y+6y2+x2+6y-3=21,
整理得+=1,
将x2=3-代入x2+6y-3≥0,解得0≤y≤8,由椭圆:+=1得-2≤y≤2,所以0≤y≤2,
故此部分为椭圆的上半部分(含x轴上的点);
当x2+6y-3<0时,原方程可化为7x2-6y+6y2-(x2+6y-3)=21,
整理得x2+(y-1)2=4,
将x2=4-(y-1)2代入x2+6y-3<0,解得y>8或y<0,由圆:x2+(y-1)2=4得-1≤y≤3,所以-1≤y<0,
故此部分为圆的一部分.
作出曲线C如下,
对于A,若y≥0,则+=3-+=3+≥3,当y1=0时取最小值,为3,若y<0,则+=4-(y1-1)2+=2y1+3,当y1=-1时取最小值,为1,
故+的最小值为1,故A错误.
对于B,+表示点(x1,y1)与点(0,1)和点(0,-1)的距离之和,当y≥0时,点(0,1)和点(0,-1)为椭圆+=1的两个焦点,由椭圆的定义可知+=4;
当y<0时,点(0,1)为圆x2+(y-1)2=4的圆心,点(0,-1)在圆x2+(y-1)2=4上,
所以+=2+,
又点P的坐标为(-,0)或(,0)时,取最大值,为2,
所以2≤+<4.
综上,2≤+≤4,故B正确.
对于C,直线y=kx+3过定点(0,3),当直线经过(-,0)或(,0)时,
直线的斜率k=±,
联立得(4+3k2)x2+18kx+15=0,
因为直线y=kx+3与曲线C有公共点,所以Δ=(18k)2-4(4+3k2)×15≥0,解得k≥或k≤-,
所以直线y=kx+3与曲线C有公共点时,k∈∪,故C正确.
对于D,当点P在椭圆上时,对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,
曲线C在点P处的切线斜率可以取任何正实数,
曲线C在y轴右侧的部分椭圆的切线斜率可以取到任何负实数,使得两切线斜率的积为-1,
同理,当点P在圆上时,对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,曲线C在点P处的切线斜率可以取任何负实数,
曲线C在y轴右侧的部分圆的切线斜率可以取到任何正实数,使得两切线斜率的积为-1.
所以对任意位于y轴左侧且不在x轴上的点P,都存在点Q,使得曲线C在P,Q两点处的切线垂直,故D正确.
12.答案　9
解析　由a1a7=,a2a8=,得=a1a7·a2a8=3×27=81,又因为各项均为正数,所以a4a5=9.
13.答案　60
解析　5个人进行全排列,有=120种排法.
当记者站中间时,其余4人全排列,排法数为=24.
当国际友人甲站两边(有两种站法)时,其余4人全排列,排法数为2×=2×24=48.
当记者站中间且国际友人甲站两边时,其余3人全排列,排法数为2×=2×3×2×1=12.
满足条件的排法数等于全排列数减去记者站中间的排法数减去国际友人甲站两边的排法数再加上记者站中间且国际友人甲站两边的排法数,即有120-24-48+12=60种排法.
14.答案　2
解析　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
∵·=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,不妨设点B位于第一象限,如图所示.
由得点B(a,b).
∵=,
∴点A为线段F1B的中点,∴A,
将其代入y=-x,得=×,即c=2a,
故C的离心率e==2.
15.解析　(1)由已知得++=++=+n+1=67,
整理得n2+n-132=0,即(n+12)(n-11)=0,解得n=11或n=-12(舍去),(2分)
则原式为,其展开式中二项式系数最大的项为第6项和第7项,
即T6=×x-6×25=231,(4分)
T7=×x-5×26x3=924x-2.(6分)
(2)的展开式的通项为Tr+1=x-(n-r)2r=22r-n·(r=0,1,…,n).(8分)
设第(r+1)项为常数项,则=0,即n=r.
因为8所以8又r∈N,所以r=6或r=7.(11分)
当r=6时,n=9;当r=7时,n=(不合题意,舍去),
所以n=9,
即当n=9时,展开式中有常数项,常数项为T7=×23=672.(13分)
16.解析　(1)设点P(x,y),
则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).
因为·=k||2,
所以x2+y2-1=k(1-x)2+ky2,
即(k-1)x2+(k-1)y2-2kx+k+1=0.(2分)
当k=1时,方程可化为x-1=0,此时动点P的轨迹为直线x=1;(4分)
当k≠1时,方程可化为x2+y2-x+=0,即+y2=,
此时动点P的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.(6分)
(2)当k=2时,点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=1,此时点P的轨迹是以点(2,0)为圆心,1为半径的圆.(9分)
设直线DP的斜率为t,则直线DP的方程为y-2=t(x-2),即tx-y+2-2t=0,则直线tx-y+2-2t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点,(12分)
所以≤1,解得t≤-或t≥.
故直线DP的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).(15分)
17.解析　(1)当n=1时,b1=S1=22-2=2;(2分)
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n.(4分)
经检验,b1=2满足bn=2n ,
所以bn=2n(n∈N+).(6分)
(2)cn=|an|·bn=|2n-5|·2n.
当n=1或n=2时,an<0;当n≥3时,an>0.
当n=1时,T1=6;当n=2时,T2=10;(8分)
当n≥3时,Tn=10+1×23+3×24+…+(2n-7)·2n-1+(2n-5)·2n,①
2Tn=20+1×24+3×25+…+(2n-7)·2n+(2n-5)·2n+1,②
①-②,得-Tn=-10+8+2(24+25+…+2n)-(2n-5)·2n+1=-2+2·-(2n-5)·2n+1,化简可得Tn=34+(2n-7)·2n+1.(12分)
经检验,T1=6不满足Tn=34+(2n-7)·2n+1,T2=10满足Tn=34+(2n-7)·2n+1,
所以Tn=(15分)
18.解析　(1)∵A(,)的共轭点分别为B1(x1,y1),B2(x2,y2),
∴+=0,+=0,
∴直线B1B2的方程为+=0.(2分)
联立得x2=1,∴x=±,
不妨令x1>x2,则B1(,-1),B2(-,1),
∴|B1B2|==2.(4分)
(2)∵点A(x0,y0)在椭圆C上,
∴+=1,即+2=8,(5分)
由(1)知,直线B1B2的方程为+=0,即+y0y=0.
当y0≠0时,直线B1B2的方程可化为y=-x,
与+=1联立,得x2==2,即x1x2=-2,x1+x2=0,
则y1y2=x1x2=-,y1+y2=-(x1+x2)=0,
∴k1·k2=·===-;(8分)
当y0=0时,易知A(±2,0),不妨令y1>y2,则A的对应共轭点为B1(0,2),B2(0,-2),
此时k1=-,k2=或k1=,k2=-,故k1k2=-也成立.(10分)
|k1|+|k2|≥2=,当且仅当|k1|=|k2|=时等号成立.(11分)
(3)证明:由(2)知,对任意点A(x0,y0),都有|x1-x2|=2|x1|,|y1-y2|=2|y1|,
∴|B1B2|===,(13分)
∴点A(x0,y0)到直线B1B2:+y0y=0的距离d===,(15分)
∴△AB1B2的面积S=|B1B2|·d=··=4,
故△AB1B2的面积为定值,且该定值为4.(17分)
19.解析　(1)将点P1的坐标代入抛物线的方程,得2p=(-2)2=4,所以p=2,因此抛物线的方程为y2=4x.(3分)
(2)解法一:易知Pn(xn,yn)在抛物线上,则xn=,Qn-1(xn,-yn),
过Pn-1,且斜率为1的直线Pn-1Qn-1的方程为y-yn-1=x-,(5分)
联立可得y2-4y+(4yn-1-)=0,
解得y=yn-1或y=-yn-1+4,
所以-yn=-yn-1+4,
所以yn-yn-1=-4,(7分)
所以数列{yn}是首项为-2,公差为-4的等差数列,
所以yn=-2-4(n-1)=-4n+2,xn===(2n-1)2.(9分)
解法二:易知点Pn-1(xn-1,yn-1),Pn(xn,yn),Qn-1(xn,-yn)在抛物线C:y2=4x上,
联立得(yn-1-yn)(yn-1+yn)=4(xn-1-xn).(5分)
所以===1,所以yn-yn-1=-4,(7分)
所以数列{yn}是首项为-2,公差为-4的等差数列,
所以yn=-2-4(n-1)=-4n+2,xn===(2n-1)2.(9分)
(3)解法一:===,
则直线PnPn+2的方程为y-yn=(x-xn),
故|PnPn+2|=|yn+2-yn|=4,(12分)
点Pn+1到直线PnPn+2的距离d==
==,(15分)
故=×|PnPn+2|×d=×4×=16.(17分)
解法二:===,
则直线PnPn+2的方程为y-yn=(x-xn),(11分)
设直线PnPn+2与直线QnPn+1交于点Mn+1,
令x=xn+1,可得=yn+=yn+,
则|Pn+1Mn+1|=|-yn+1|=2-=,(15分)
故=×|Pn+1Mn+1|×|xn+2-xn|=××=××=16.(17分)
解法三:由(2)知Pn((2n-1)2,2-4n),Pn+1((2n+1)2,-2-4n),
Pn+2((2n+3)2,-6-4n),
设Tn((2n-1)2,0),则Tn+1((2n+1)2,0),Tn+2((2n+3)2,0),(10分)
故梯形TnPnPn+1Tn+1的面积=|TnTn+1|(|TnPn|+|Pn+1Tn+1|)
=[(2n+1)2-(2n-1)2](4n-2+4n+2)=32n2,(12分)
同理可得=32(n+1)2,(13分)
梯形TnPnPn+2Tn+2的面积=|TnTn+2|(|TnPn|+|Pn+2Tn+2|)
=[(2n+3)2-(2n-1)2](4n-2+4n+6)=16(2n+1)2, (15分)
则△PnPn+1Pn+2(n∈N+)的面积=+-=32n2+32(n+1)2-16(2n+1)2=16.(17分)

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