资源简介

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高中同步达标检测卷
第2章　圆与方程
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相交”是“a2+b2≥1”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
2.若点P(2,2)在圆C:x2+y2+2ax+4y+3a+8=0的外部,则a的取值范围为(　　)
A.　　　　B.(-∞,-4)∪
C.(1,+∞)　　　　D.∪(4,+∞)
3.已知圆O1:(x-a)2+(y+1)2=4与圆O2:(x+2a)2+y2=9有两条公切线,则实数a的取值范围为(　　)
A.∪　　　　B.
C.∪　　　　D.
4.已知圆(x-m)2+(y-n)2=1不经过坐标原点,且与圆x2+y2=4相切,则mn的最大值为(　　)
A.1　　　　B. C.　　　　D.
5.已知动直线y=kx-1+k(k∈R)与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0交于点A,B,则弦AB最短时,△ABC的面积为(　　)
A.2　　　　B.4 C.　　　　D.2
6.某圆拱梁的示意图如图所示,已知圆拱的跨度AB为24 m,拱高OP=8 m,在建造时,每隔2 m需要一个支柱支撑,则支柱A1P1的长为(　　)
　　
A.(-5)m　　　　B.(-8)m C.(-5)m　　　　D.(-8)m
7.已知圆M:x2+y2+4x=0和圆N:x2+y2-4y-12=0相交于A,B两点,点P是圆M上任意一点,则|+|的取值范围是(　　)
A.[2,4+]　　　　B.[4-,4+] C.[4-,2]　　　　D.[4-2,4+2]
8.已知点P为圆O:x2+y2=1上的一个动点,过P点作圆O的切线,与圆O1:x2+y2-2x-8y=19相交于A,B两点,则的最大值为(　　)
A.3+2　　　　B.5　　　　C.3+　　　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是(　　)
A.的最大值为　　　　 B.的最小值为0
C.x2+y2的最大值为+1　　　　 D.x+y的最大值为3+
10.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,),点P满足PA=PB,则(　　)
A.当∠PCA最小时,PC=2 B.当∠PCA最大时,PC=2
C.当△PAB的面积最大时,PA=2 D.当|PC-PA|最大时,△PAB的面积为
11.已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法正确的是　(　　)
A.若两圆无公共点,则0B.当r=5时,两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,若P,Q分别是圆O与圆C上的点,则2≤PQ≤8
D.当0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若直线l:x=-my-1,圆M:x2+y2+6x+8y+9=0,则满足“对于直线l上任意一点A,在圆M上总存在点B使得∠ABM=”的m的一个值为　　　　.
13.已知圆C的圆心在直线y=-x+5上,且圆C过点(2,6),(5,3),若圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称,则圆C'的标准方程为　　　　　　.
14.已知P是圆C1:(x-m+1)2+y2=4(m∈R)上的动点,M(m+3,0),点A,B是圆C2:(x-5)2+(y-6)2=4上的两个动点,点C(6,6)满足·=0,+=,则PM+2PN的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知三点O(0,0),A(2,0),B(-1,-1)在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)过点P(4,2)作圆C的两条切线,切点分别为M,N,求四边形PMCN的面积.
16.(本小题满分15分)如图,某机器人比赛的主办方设计了一个矩形场地ABCD(含边界和内部,A为坐标原点),AD=10米,在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗,在距A点2米的E处放置一个机器人,机器人行走速度为v,电子狗行走速度为2v,若电子狗和机器人同时出发,在场地内沿直线行走,且同时到达场地内的某点M,则电子狗会被机器人捕获,点M叫成功点.
(1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程;
(2)若P为矩形场地AD边上的一点,电子狗在线段FP上总能逃脱,求AP的取值范围.
17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.
(1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;
(2)设AB的中点为M,点N,若MN=OM,求△QAB的面积.
18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(-1,0),且与圆C1相切,求直线l的方程;
(2)设P为直线x=-上的点,满足:过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等.试求满足条件的点P的坐标.
19.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-4)2=4.
(1)若过点A(-2,1)的直线与圆C相切,求切线的方程;
(2)点P在直线y=x上,过P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,经过P,M,N的圆是否过定点 如果过定点,求出所有定点的坐标;如果不过定点,请说明理由;
(3)过点Q(4,2)的动直线l与圆C交于E,F两点,线段EF的中点为G,若△OQG为等腰三角形,求点G的坐标.
答案全解全析
1.A　若直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相交,则圆心(0,0)到直线的距离d=<1,故a2+b2>1,由于a2+b2>1能推出a2+b2≥1,但a2+b2≥1不能推出a2+b2>1,所以“直线ax+by-1=0与圆x2+y2=1相交”是“a2+b2≥1”的充分不必要条件.
2.D　由题意可得解得-4.
故a的取值范围为∪(4,+∞).
3.A　因为圆O1与圆O2有两条公切线,所以两圆相交,
则=∈(1,5),解得a∈∪.
4.C　因为圆(x-m)2+(y-n)2=1与圆x2+y2=4相切,
所以=2+1或=2-1,即m2+n2=9或m2+n2=1,
因为圆(x-m)2+(y-n)2=1不经过原点,所以m2+n2≠1,所以m2+n2=9,
又m2+n2≥2mn,所以mn≤=,当且仅当m=n=±时取等号,
所以mn的最大值为.
5.D　x2+y2-2x+4y-4=0可化为(x-1)2+(y+2)2=9,
故圆C的圆心为C(1,-2),半径r=3,
动直线的方程y=kx-1+k可化为y+1=k(x+1),则该直线恒过点(-1,-1),记为P,
因为(-1-1)2+(-1+2)2<9,所以点P在圆C的内部,
则当CP⊥AB时,弦AB最短,易得CP=,则AB=2×=4,
则△ABC的面积S=CP·AB=××4=2.
6.C　以O为坐标原点,AB,OP所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
设该圆拱梁所在圆的圆心为C,易知C在y轴上,由题知圆拱跨度的一半OB=12 m,设该圆的半径为r,连接CB,
则在Rt△OCB中,r2=(r-8)2+122,解得r=13,故圆的方程为x2+(y+5)2=169,
又该圆拱梁每隔2 m需要一个支柱支撑,故A1(2,0),
将x=2代入圆的方程得22+(y+5)2=169,因为y>0,所以y=-5.
所以支柱A1P1的长为(-5)m.
7.B　圆M:x2+y2+4x=0即(x+2)2+y2=4,其圆心为M(-2,0),半径r1=2,
取线段AB的中点E,连接PE,则|+|=2||,
将圆M与圆N的方程作差可得直线AB的方程为x+y+3=0,则ME==,
所以(PE)max=+2,(PE)min=2-,所以|+|∈[4-,4+].
8.A　若两圆圆心在切线的两侧或切线恰好过点O1,如图所示,
连接AO1,OO1,过O1作O1M⊥AB,垂足为M,
连接OP并延长,与过O1且平行于AB的直线相交于点N.
设O1M=x,则0≤x≤-1,
当x=-1时,P与M重合,此时=1;
当0≤x<-1时,==
==1+=1+,
而MA2=A-O1M2=36-x2,PM2=N=O-NO2=17-(x+1)2,
∴==1+=1-,
又当0≤x<-1时,10≤x+10<9+,且函数y=x+在[10,9+)上单调递增,
∴x+10+的最小值为,∴的最小值为,∴的最大值为5.
若两圆圆心在切线的同侧,作O1M'⊥AB,交AB于M',连接OP,则OP⊥AB,设O1M'=x',0∴=,
令m=,n=,则==.
由题意知∈[0,1),∴==,
令t=x'-10,则x'=t+10,t∈(-10,-9],
∴=≤=,当且仅当t=,即t=-8时等号成立,∴==-1+≤-1+=3+2.
综上可知,=3+2.
9.ABD　对方程进行变形,得(x-2)2+(y-1)2=1,则该方程表示圆心为(2,1),半径为1的圆.
设=k,则y=kx,所以直线y=kx与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点,
即≤1,整理可得3k2-4k≤0,解得0≤k≤,故A,B正确;
x2+y2可表示圆上的点P(x,y)到原点O(0,0)的距离的平方,设C(2,1),则(OP)max=OC+1=+1=+1,故x2+y2的最大值为(+1)2=6+2,故C错误;
设x+y=t,则直线x+y-t=0与圆有公共点,所以≤1,解得3-≤t≤3+,所以x+y的最大值为3+,故D正确.
10.ABD　设P(x,y),因为A(-1,0),B(1,0),且PA=PB,
所以=,整理得(x-3)2+y2=8,
故点P的轨迹为圆(x-3)2+y2=8,设圆心为D,则D(3,0),半径为2.
当直线PC与圆D相切时,∠PCA取最值,
如图,当P位于P1时,∠PCA取得最小值,当P位于P2时,∠PCA取得最大值,
易得CP1=CP2===2,故A,B正确.
易得AB=2,当P到x轴的距离最大时,△PAB的面积最大,即P(3,2)或P(3,-2)时,△PAB的面积最大,此时PA==2,故C错误.
因为PA=PB,所以|PC-PA|=|PC-PB|=|PC-PB|≤BC=4,当且仅当P在CB的延长线与圆D的交点处时等号成立,
易得直线BC的方程为+=1,即x+y-=0,
联立消去y得2x2-5x+2=0,解得x=(舍去)或x=2,
所以P(2,-),所以S△PAB=××2=,故D正确.
11.BCD　圆O的圆心为O(0,0),半径r1=1;圆C的圆心为C(3,-4),半径为r,则OC==5.
由两圆无公共点,可得OC<|r-1|或OC>r+1,所以r>6或0若r=5,则圆C:(x-3)2+(y+4)2=25,将两圆方程作差,可得两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;
若r=2,则圆C:(x-3)2+(y+4)2=4,易知此时两圆外离,又P,Q分别是圆O与圆C上的点,所以OC-(1+2)≤PQ≤OC+1+2,即2≤PQ≤8,故C正确;
易知当012.答案　1(答案不唯一)
解析　x2+y2+6x+8y+9=0可化为(x+3)2+(y+4)2=16,所以圆M的圆心为M(-3,-4),半径为4.
由题意得直线l与圆M相离,
所以点M到直线l的距离d=>4,解得m>,故m的值可以为1.
13.答案　+=9
解析　设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆C的圆心在直线y=-x+5上,且圆C过点(2,6),(5,3),
所以解得
故圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0,即(x-2)2+(y-3)2=9,
则圆C的圆心为C(2,3),半径为3,
设圆C'的圆心为C'(x0,y0),因为圆C'与圆C关于直线x+2y-2=0对称,
所以解得即C'.
所以圆C'的标准方程为+=9.
14.答案　12-2
解析　易知圆C1的圆心为C1(m-1,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=2,
设AB的中点为D,连接C2D(图略),则C2D⊥AB,
因为+=,·=0,
所以四边形ACBN为矩形,则D为CN的中点,且AB=CN,
设N(x,y),则D,所以C2D2=+,
因为AB2=CN2,所以4AD2=CN2,所以4(4-C2D2)=CN2,
即4=(x-6)2+(y-6)2,整理得(x-5)2+(y-6)2=7,
所以点N在以C2(5,6)为圆心,为半径的圆上.
因为M(m+3,0),所以C1M=4,
设C1M与圆C1交于点G,取C1G的中点Q,连接PQ,则Q(m,0),C1Q=1,
在△PC1Q和△MC1P中,∠PC1Q=∠MC1P,且==2,
所以△PC1Q∽△MC1P,所以=2,即PM=2PQ,
所以PM+2PN=2(PQ+PN)≥2QN≥2×(6-)=12-2,当且仅当N,P,Q三点共线且C2Q垂直于x轴时取等号,所以PM+2PN的最小值为12-2.
15.解析　(1)易知圆心C为线段OA,OB垂直平分线的交点,
∵kOB=1,线段OB的中点为,
∴线段OB的垂直平分线的方程为y+=-,即y=-x-1,(3分)
易知线段OA的垂直平分线为直线x=1,
联立得x=1,y=-2,∴C(1,-2),∴圆C的半径r=OC=,
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(6分)
(2)∵CP==5,CM=,CM⊥MP,
∴MP==2,(9分)
∴S△CMP=MP·CM=×2×=5,(11分)
∴四边形PMCN的面积S=2S△CMP=2×5=10.(13分)
16.解析　(1)由题意可得E(0,2),F(0,4),设成功点M(x,y),
由题意可得=,即FM=2EM,(3分)
所以=2,化简得x2+=,(5分)
因为点M在矩形场地内部(含边界),所以0≤x≤,
所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是x2+=.(6分)
(2)由(1)知,点M的轨迹是以为圆心,为半径的右半圆,
由电子狗在线段FP上总能逃脱,得直线FP与点M的轨迹在y轴右侧相离,
设直线FP的斜率为k,则k<0,方程为y=kx+4,即kx-y+4=0,(9分)
所以>,得k2<3,又k<0,所以-所以AP=>=,
又AP≤10,所以AP的取值范围是.(15分)
17.解析　(1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在,设为k,
则直线l的方程为y-4=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理,得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,所以x1+x2=,x1x2=,(4分)
又k1===k+,k2==k+,
所以k1+k2=k++k+=2k+
=2k+=2k-=2k-2k-1=-1,
故k1+k2的值为-1.(6分)
(2)设M(x0,y0),由(1)可知x0==,y0=k(x0-2)+4=,
由MN=OM,可得+=(+),
整理,得++6x0-4=0,即++6×-4=0,解得k=3或k=,(9分)
由题知,圆心O(0,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离d=<2,
解得k>,所以k=3,即d==,
所以AB=2=,(12分)
又Q(2,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离h==,
所以S△QAB=AB·h=,即△QAB的面积为.(15分)
18.解析　(1)易知圆C1的圆心C1(-3,1),半径r1=2,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,此时直线l与圆C1相切,满足题意;(2分)
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,(3分)
则圆心C1到直线l的距离d==2,解得k=,
∴直线l的方程为y=(x+1),即3x-4y+3=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y+3=0.(6分)
(2)易知圆C2的圆心C2(4,5),半径r2=2,设点P,
由已知得有无穷多对直线l1和l2的斜率存在且均不为0,设l1:y-m=k1,即2k1x-2y+3k1+2m=0,则l2:y-m=-,即2x+2k1y-2k1m+3=0,(9分)
∴圆心C1到直线l1的距离d1=,圆心C2到直线l2的距离d2=,(12分)
∵直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,
∴2=2,即2=2,∴=,
又0≤d1<2,0≤d2<2,
∴d1=d2,∴|-3k1-2+2m|=|11+10k1-2k1m|,
当-3k1-2+2m=11+10k1-2k1m时,整理可得(13-2m)k1=2m-13,(15分)
∵满足题意的直线l1,l2有无数对,∴13-2m=0,解得m=,即P,
当-3k1-2+2m=-(11+10k1-2k1m)时,整理可得(7-2m)k1=-9-2m,
∵满足题意的直线l1,l2有无数对,∴方程组无解.
综上所述,满足条件的P点的坐标为.(17分)
19.解析　(1)由题意知圆C的圆心为C(0,4),半径为2,
当切线斜率不存在时,切线方程为x=-2,符合题意;(2分)
当切线斜率存在时,设其方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,
易知圆心C(0,4)到切线的距离为2,即=2,解得k=,
故切线方程为5x-12y+22=0.
综上,符合题意的切线方程为x=-2或5x-12y+22=0.(5分)
(2)因为直线PM,PN均为圆C的切线,所以PM⊥CM,PN⊥CN,
故过点P,M,N的圆是以PC为直径的圆,设P(2m,m),
则线段PC的中点坐标为,=,
所以过点P,M,N的圆的方程为(x-m)2+=,
整理得x2+y2-4y+m(4-2x-y)=0,(7分)
令消去y,得5x2-8x=0,解得x=0或x=,
当x=0时,y=4;当x=时,y=,
所以过点P,M,N的圆过定点(0,4),.(9分)
(3)由题意得CG⊥QG,
设G(x,y),则=(x,y-4),=(x-4,y-2),
由·=0,得x2+y2-4x-6y+8=0,即(x-2)2+(y-3)2=5,
所以点G在以(2,3)为圆心,为半径的圆上且在圆C内.(11分)
易得OG2=x2+y2,OQ2=20,QG2=(x-4)2+(y-2)2,
若OG=OQ,则x2+y2=20,又点G在圆x2+y2-4x-6y+8=0上,
所以所以(舍去)或(13分)
若QG=OQ,则(x-4)2+(y-2)2=20,又点G在圆x2+y2-4x-6y+8=0上,所以所以(15分)
若OG=QG,则x2+y2=(x-4)2+(y-2)2,又点G在圆x2+y2-4x-6y+8=0上,
所以解得(舍去)或
综上,满足题意的点G的坐标为或(0,4)或.(17分)

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