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2025-2026学年酒泉第一中学
九年级上学期开学考试数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程经过配方变形为，则的值是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是直径，弦的长为，点在圆上，且，则的半径为( )
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为( )
A. B. C. D. 或
6.陀螺是一款常见的玩具．图为通过折纸制作的一种陀螺，图为这种陀螺的示意图．若将图中的图案绕点旋转可以与自身重合，则的值可以是( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接设，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，则可列方程为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.点关于原点对称的点的坐标是 ．
10.如图所示，在中，已知，则 ___．
11.参加足球联赛的每两个队都进行场比赛，共要比赛场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有个队，根据题意，可列方程为_______．
12.如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则 用含的式子表示
13.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14.若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．
15.如图所示的网格是正方形网格，线段绕点顺时针旋转后与相切，则的值为 ．
16.如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
四、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知是方程的根，求代数式的值．
19.本小题分
下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点在上．
求作：直线和相切．
作法：如图，
连接；
以为圆心，长为半径作弧，与的一个交点为；
连接；
以为圆心，长为半径作圆；
作的直径；
作直线．
所以直线就是所求作的的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：在中，连接．
，，
．
点在上．
是的直径，
______填推理的依据．
．
又点在上，
是的切线______填推理的依据．
20.本小题分
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心．，是上一点，，垂足为，，求这段弯路的半径．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：该方程总有两个实数根；
若该方程有一个根是正数，求的取值范围．
22.本小题分
如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点若，；求的度数．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为．
画出旋转后的图形；
直接写出点的坐标：
求点经过的路径的长结果保留
24.本小题分
列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙墙的最大可用长度为米，用长为米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为米．
_________米用含的代数式表示；
若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽．
25.本小题分
如图，在中，，以边为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
求函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
27.本小题分
如图，在等边中，为上一点，连接，为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
求证：；
点为延长线上一点，连接交于点若为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点和半径为的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点．
当点与重合时．
在点，中，的关联点是___________；
已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________；
的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________．
答案和解析
1.【答案】
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【详解】解：方程整理成一般式为，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是，
故选：．
3.【答案】
【解答】
解：，
移项得，，
配方得，，
即，
，
故选：．
4.【答案】
【详解】连接，
在中，是直径，
，
在中，
，，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，把代入方程得：
，
解得：或，
该方程是一元二次方程，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解答】
解：如图，旋转中心外有个边形，则相当于把一个圆平均分成份，
，
故选：．
7.【答案】
【解答】解：当时，过点作于．
四边形是正方形，
，
，
由旋转的性质可得．
当时，则．
，
，故 A不符合题意．
当时，则，
．
，
，故 B不符合题意．
当时，则，
，
，
，
，故 C不符合题意．
当时，则，即，故 D符合题意，
故选D．
8.【答案】
【详解】依题意，得：．
故选：．
9.【答案】
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
10.【答案】
【详解】连接，如图，

，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
11.【答案】
【详解】解：由题意得，
故答案为：．
12.【答案】
【详解】解：由旋转的性质得，，
，
，
，
故答案为：．
13.【答案】且
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，解得：，
且，即，
解得：，
的取值范围是：且，
故答案为：且．
14.【答案】
【详解】解：．
故答案为：．
15.【答案】或
【详解】线段绕点顺时针旋转后与相切，切点为和，连接、，
则，，
在中，，，
，
，
同理可得，
，
综上所述，的值为或．
故答案为或．
16.【答案】
【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，

，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
在和中，
，
，
连接，并延长交圆于点，即为最大值，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
17.【答案】解： ，
，
或 ，
解得，．
18.【答案】解：是方程的根，
，
，
．

19.【答案】解：补全的图形如图所示．
直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

20.【答案】解：设这段弯路的半径为，
因为于，，
所以．
因为，
得
因为中，根据勾股定理有
．
即
解得
因此这段弯路的半径为．

21.【答案】解：证明：由题意得：，
方程总有两个实数根；
，
，
解得或，
该方程有一个根是正数，
，
．
22.【答案】解：由旋转知．
，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．

23.【答案】解：如图，即为所求．
解：由图可知，点的坐标为．
解：由图可知，，
，
答：的长．

24.【答案】解：由题意知，，
故答案为：；
解：由题意得，
整理得，
解得或，
当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
故宽为米．

25.【答案】证明：如图，连接．
为的直径，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又为的半径，
是的切线；
解：，，
，
，
，
，
，
，
的半径为，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得，，
即，
解得：．

26.【答案】解：函数的图象是由函数的图象平移得到，
，
函数经过点，
，
解得，，
一次函数解析式为；
解：函数中，当时，，当时，，
函数的图象如下，
对于，当时，时，的值小于，
对于，
的值越大，越靠近轴，若的值大于，
，
，且，
综上所述，，且．

27.【答案】证明：为等边三角形，
；
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，
，
，
；
解：；
证明如下：如图，过点作，交的延长线于点；
，，
；
，
，
，
，
；
为的中点，
；
，，
，
，
，
，
，
．
28.【答案】解：点在内，连接，过点作的垂线，交于两点，，则是的中点垂径定理，故点是的关联点，点不是，
如图，
设直线与轴和轴分别相交于点，，则，点、到的最小距离是，圆的直径是，
当点在线段时，点是的关联点，
；
如图，
直线方程为，
当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
作于，
，
，
当时，点是的关联点，此时，
线段上存在的关联点，
，即
解得：
故答案为：．

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