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高中同步达标检测卷
第一章　直线与圆
(全卷满分150分　考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若经过A(m,2),B(1,2m-1)两点的直线的倾斜角为135°,则m=(　　)
A.-4 B.-2 C. D.2
2.已知a∈R,直线l1:ax+y-12=0的方向向量与直线l2:(a+3)x+4y+16=0的方向向量共线,则这两条直线之间的距离为(　　)
A.4 B.8 C.4 D.2
3.在同一平面直角坐标系中,直线y=k(x-1)+2和圆x2+y2-4x-2ay+4a-1=0的位置关系不可能是(　　)
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
4.从圆x2-2x+y2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆引两条切线,则两切线夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
5.已知直线l:xsin2α+y+cos2α=0(α∈R)与圆C:x2+y2=8相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　)
A.2 B. C.2 D.2
6.在等腰直角△ABC中,AC=BC=2,M是△ABC所在平面内的一点,满足||=3,则|CM|的最小值为(　　)
A. B.2-1 C.1 D.
7.下列说法中正确的个数为(　　)
①若A(-2,12),B(1,3),C(4,m)三点在一条直线上,则m=2;
②过点(1,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为x-y+1=0;
③圆C:x2+y2-6x+5=0,P(x0,y0)为圆C上任意一点,O为坐标原点,则的最大值为5;
④圆C1:x2+y2-2ax+2y+a2=0与圆C2:(x+2)2+(y-3)2=16外切,则实数a的值为1.
A.0 B.1 C.2 D.3
8.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|就是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:
①曲线C围成的图形的面积是2+π;
②曲线C上的任意两点间的距离不超过2;
③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n-12|的最小值是.
其中正确结论的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0垂直”的充要条件
B.三条直线y=-x+1,2x+3y-5=0,=1交于同一点
C.已知直线y=x,则该直线的倾斜角为60°
D.若直线l1:(3+a)x+4y=5-4a与l2:2x+(5+a)y=9平行,则a=-7
10.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1.现给出如下结论,其中正确的是(　　)
A.圆O与圆C有四条公切线
B.过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5或x-y+1=0
C.过C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0
D.P,Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为+3,最小值为-3
11.已知圆O:x2+y2=9,P为直线x-y+6=0上一动点,过P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则下列四个命题中正确的是(　　)
A.直线x-my+2m-1=0与圆O总有两个交点
B.不存在点P,使∠APB=
C.直线AB过定点
D.过Q(2,2)作互相垂直的两条直线分别交圆O于点E,F和点G,H,则四边形EGFH面积的最小值为6
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.经过圆x2+y2+2x-2y=0的圆心且与直线x-2y=0垂直的直线方程是　　　　　　　　.
13.写出与圆O:x2+y2=1和圆A:(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程:　　　　.
14.已知直线l:y=kx+3与圆C:x2+y2-2y=0无公共点,AB为圆C的直径,若在直线l上存在点P使得·=1,则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知△ABC的顶点B(-3,0),C(2,0),∠BAC的平分线AD交BC于点D,且AD所在直线方程为3x-y-1=0,记△ABD,△ACD的面积分别为S△ABD,S△ACD.
(1)求S△ABD∶S△ACD;
(2)求顶点A的坐标.
16.(15分)在①经过点C(3,4),②圆心E在直线x+y-2=0上,③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并求解.
已知圆E经过点A(-1,2),B(6,3)且　　　　.
(1)求圆E的标准方程;
(2)已知直线l经过点(-2,2),直线l与圆E相交所得的弦长为8,求直线l的方程.
17.(15分)已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点B(-2,1)的直线l与曲线C交于M,N两点,求线段MN长度的最小值;
(3)已知圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,若圆Q与曲线C有公共点,求实数t的取值范围.
18.(17分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.
(1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;
(2)设AB的中点为M,点N,若|MN|=|OM|,求△QAB的面积.
19.(17分)定义:M是圆C上一动点,N是圆C外一点,记|MN|的最大值为m,最小值为n,若m=2n,则称N为圆C的“黄金点”;若G同时是圆E和圆F的“黄金点”,则称G为圆“E-F”的“钻石点”.已知圆A:(x+1)2+(y+1)2=,P为圆A的“黄金点”.
(1)求点P所在曲线的方程;
(2)已知圆B:(x-2)2+(y-2)2=1,P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”.
(i)求直线PQ的方程;
(ii)若圆H是以线段PQ为直径的圆,直线l:y=kx+与圆H交于I,J两点,则对于任意的实数k,在y轴上是否存在一点W,使得y轴平分∠IWJ 若存在,求出点W的坐标;若不存在,请说明理由.
答案与解析
第一章　直线与圆
1.D　由题意得kAB==-1,解得m=2.
2.B　由题意可得l1∥l2,所以1×(a+3)=a×4,解得a=1,故两直线方程分别为x+y-12=0,x+y+4=0,故这两条直线之间的距离为.
3.D　由题意得直线过定点(1,2),圆的标准方程为(x-2)2+(y-a)2=(a-2)2+1,所以圆心为(2,a),半径r≥1.
将(1,2)代入圆的方程,可知点(1,2)在圆上,所以直线与圆至少有1个交点,所以题图③不符合;对于题图②,直线与圆相切,则切点为(1,2),但圆心为(2,a),圆心的横坐标大于切点的横坐标,所以题图②不符合.
4.B　由x2-2x+y2-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1,
所以圆的圆心为(1,1),记为A,半径为1,
设两切点分别为B,C,连接PA,则∠BPC为两切线的夹角,
因为|AP|=,
所以sin∠APB=,
由二倍角公式可得cos∠BPC=1-2sin2∠APB=1-2.
5.C　易知直线l恒过定点(1,-1),记为P,
因为12+(-1)2<8,所以点P在圆C内,
圆C的圆心C(0,0),半径r=2,
直线l的斜率k=-sin2α∈[-1,0].
设圆心C到直线l的距离为d,当直线l的斜率为0时,d取得最大值1,
此时|AB|取得最小值,为2.
6.A　以C为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(0,0),A(2),设M(x,y),
则=(-x,-y),
所以-3y),
故|=3,
即(2-3y)2=9,整理得=1,
所以点M的轨迹是以点(记为E)为圆心,1为半径的圆,
则|CM|≥|CE|-1=.
7.A　对于①,由题意得kAB=kBC,即,解得m=-6,故①错误.
对于②,若l过原点,则l的方程为y=2x;若l不过原点,则设l的方程为=1,由l过点(1,2),得=1,解得a=-1,所以l的方程为x-y+1=0.综上,l的方程为y=2x或x-y+1=0,故②错误.
对于③,由圆C的方程知其圆心C(3,0),半径r=2,所以的最大值为(|OC|+r)2=25,故③错误.
对于④,由题知圆C1的圆心C1(a,-1),半径r1=1,圆C2的圆心C2(-2,3),半径r2=4,且|C1C2|=r1+r2,即=5,解得a=1或a=-5,故④错误.
8.C　当x≥0且y≥0时,曲线C的方程可化为;
当x≤0且y≥0时,曲线C的方程可化为;
当x≥0且y≤0时,曲线C的方程可化为;
当x≤0且y≤0时,曲线C的方程可化为.
如图所示:
由图可知,曲线C所围成的图形的面积是四个半径均为的半圆的面积与边长为的正方形的面积之和,为4×)2=2+π,故①正确;
由图可知,曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和,即>2,故②错误;
因为点P(m,n)到直线3x+4y-12=0的距离d=,所以|3m+4n-12|=5d,
易知当d最小时点P(m,n)位于第一象限,
曲线C在第一象限内是圆心为,半径为的半圆,
则圆心到直线3x+4y-12=0的距离d'=,
从而dmin=d'-,即|3m+4n-12|min=5dmin=,故③正确.
9.BCD　对于A,由两直线垂直得a2+a=0,解得a=0或a=-1,故A错误;
对于B,由解得又=1,所以三条直线交于同一点(-2,3),故B正确;
对于C,设直线y=x的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),则tan θ=,故θ=60°,故C正确;
对于D,由l1∥l2得(3+a)(5+a)-8=0,解得a=-7或a=-1,
当a=-1时,两直线重合,故a=-1舍去,故D正确.
10.AD　由题意得圆O的圆心为O(0,0),半径r1=2,
圆C的圆心为C(2,3),半径r2=1.
因为两圆圆心距|OC|=>r1+r2=3,所以两圆外离,所以两圆有四条公切线,故A正确.
当截距为0时,直线过原点,此时直线方程为y=x,即3x-2y=0;
当截距不为0时,可设直线方程为=1,将点C(2,3)的坐标代入得=1,解得a=5,故直线方程为=1,即x+y=5.综上,满足条件的直线方程为3x-2y=0或x+y=5,故B错误.
过圆外一点作与圆相切的直线有两条,故C错误.
|PQ|的最大值为|OC|+r1+r2=+3,最小值为|OC|-r1-r2=-3,故D正确.
11.ACD　对于A,直线x-my+2m-1=0,即m(2-y)+(x-1)=0,由2-y=0,x-1=0,得x=1,y=2,则直线过定点(1,2),因为12+22<9,所以定点(1,2)在圆O内,所以直线x-my+2m-1=0与圆O相交,且总有两个交点,A正确;
对于B,连接OA,OB,OP,则△PAO≌△PBO,
假设存在点P,使∠APB=,则∠APO=,此时|PO|=2|AO|=6,
因为|PO|≥,所以假设成立,即存在点P,使∠APB=,B错误;
对于C,设P(m,n),则m-n+6=0,
以OP为直径的圆的方程为,即x2+y2-mx-ny=0,与圆O的方程作差可得公共弦AB所在直线的方程为mx+ny=9,则mx+(m+6)y=9,整理得m(x+y)+6y-9=0,
令得则直线AB过定点,C正确;
对于D,设O到直线EF,GH的距离分别为d1,d2,则=|OQ|2=8,
因为|EF|=2,
所以|EF||GH|=4,
又因为d1d2≥0,当且仅当直线EF或GH过原点时等号成立,
所以|EF||GH|≥12,所以四边形EGFH的面积S=|EF||GH|≥6,
即四边形EGFH面积的最小值为6,D正确.
12.答案　2x+y+1=0
解析　圆的方程化为标准形式为(x+1)2+(y-1)2=2,所以圆心为(-1,1),
因为直线x-2y=0的斜率为,所以所求直线的斜率为-2,故所求直线的方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.
13.答案　x=-1(答案不唯一)
解析　若两圆公切线的斜率不存在,则设其方程为x=m,由题意得|m|=1,且|m-3|=4,解得m=-1,所以此时两圆公切线的方程为x=-1.
若两圆公切线的斜率存在,则设其方程为y=kx+b,由题意得=4,所以|3k-4+b|=4|b|,所以3k-4+b=±4b,即b=k-或b=k.
将b=k-代入=1,得k=;将b=k代入=1,得k=-(二重根),b=,则两圆公切线的方程为y=或y=-,即7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
综上,所求直线的方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
14.答案　(-,-1]∪[1,)
解析　由直线l与圆C无公共点,得>1,解得-.
设P(m,n),由题意可得,两边同时平方,可得·,即2[m2+(n-1)2+1]+2=4[m2+(n-1)2],化简得m2+(n-1)2=2,故P在直线l上且在圆x2+(y-1)2=2上,从而≤,解得k≥1或k≤-1.
综上可得,k∈(-,-1]∪[1,).
15.解析　(1)由题意可知直线BC的方程为y=0,(1分)
对于3x-y-1=0,令y=0,得x=,即D,
故|BD|=,(3分)
所以S△ABD∶S△ACD=|BD|∶|CD|=2∶1.(5分)
(2)设C(2,0)关于直线3x-y-1=0的对称点为C'(a,b),
则解得即C'(-1,1),(8分)
可知直线BC'的方程为,即x-2y+3=0,(11分)
联立解得
所以顶点A的坐标为(1,2).(13分)
16.解析　(1)选条件①,设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(1分)
依题意有解得(6分)
故圆E的方程为x2+y2-6x+2y-15=0,
则圆E的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=25.(7分)
选条件②,设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(1分)
依题意有解得(6分)
所以圆E的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=25.(7分)
选条件③,设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(1分)
由圆E经过点A(-1,2),B(6,3),得(2分)
因为圆截y轴所得弦长为8,所以y2+Ey+F=0的两个实数根y1,y2的差的绝对值为8,
则|y1-y2|==8,即E2-4F=64,(4分)
解方程组得或
又圆心E的坐标为整数,所以D=-6,E=2,F=-15,
故圆E的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=25.(7分)
(2)由(1)知圆E的圆心E(3,-1),半径r=5.设圆心E到直线l的距离为d,则2=8,即=4,得d=3,(10分)
当直线l的斜率不存在时,d=5≠3,(11分)
所以直线l的斜率存在,设其方程为y-2=k(x+2),即kx-y+2k+2=0,
则d==3,解得k=0或k=-,(13分)
故直线l的方程为y=2或15x+8y+14=0.(15分)
17.解析　(1)设P(x,y),则|AP|=2|OP|,即|AP|2=4|OP|2,(2分)
所以(x-3)2+y2=4(x2+y2),整理得(x+1)2+y2=4.(4分)
所以动点P的轨迹C的方程为(x+1)2+y2=4.(5分)
(2)由(1)知轨迹C是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.
因为(-2+1)2+12<4,所以点B在圆内,
所以当线段MN的长度最小时,BC⊥MN,(6分)
又|BC|=,
所以|MN|=2,
所以线段MN长度的最小值为2.(10分)
(3)因为圆Q的圆心为Q(t,t)(t>0),且圆Q与x轴相切,所以圆Q的半径为t,所以圆Q的方程为(x-t)2+(y-t)2=t2.
因为圆Q与圆C有公共点,且|QC|=,
所以|2-t|≤|QC|≤2+t,(13分)
即(2-t)2≤2t2+2t+1≤(2+t)2,解得-3+2≤t≤3.
所以实数t的取值范围是[-3+2,3].(15分)
18.解析　(1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在并设为k,
则直线l的方程为y-4=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去y并整理,得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,
所以x1+x2=,(4分)
又k1=,
所以k1+k2=k+
=2k+=2k-2k-1=-1,
故k1+k2的值为-1.(8分)
(2)如图所示:
设M(x0,y0),由(1)可知x0=,
由|MN|=|OM|,可得),
整理,得+6x0-4=0,
即-4=0,解得k=3或k=,(10分)
由题知,圆心O(0,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离d=<2,
解得k>,所以k=3,即d=,
所以|AB|=2,(13分)
又Q(2,0)到直线l:y-4=k(x-2)的距离h=,
所以S△QAB=|AB|·h=,即△QAB的面积为.(17分)
19.解析　(1)由圆A的方程可知其圆心A(-1,-1),半径为.因为P为圆A的“黄金点”,所以|PA|+,则|PA|=,(3分)
故点P的轨迹是以A为圆心,为半径的圆,(4分)
故点P所在曲线的方程为(x+1)2+(y+1)2=3.(5分)
(2)(i)由圆B的方程知其圆心B(2,2),半径为1.由题意知P为圆B的“黄金点”,则|PB|+1=2(|PB|-1),所以|PB|=3,(6分)
即点P在圆(x-2)2+(y-2)2=9上,
则P是圆(x+1)2+(y+1)2=3和圆(x-2)2+(y-2)2=9的交点.(8分)
因为P,Q均为圆“A-B”的“钻石点”,
所以直线PQ即为圆(x+1)2+(y+1)2=3和圆(x-2)2+(y-2)2=9的公共弦所在直线,
两圆方程相减可得x+y=0,故直线PQ的方程为x+y=0.(10分)
(ii)圆(x+1)2+(y+1)2=3的圆心为(-1,-1),半径为,记S(-1,-1),
圆(x-2)2+(y-2)2=9的圆心为(2,2),半径为3,记T(2,2).
则直线ST的方程为y=x,
联立得则PQ的中点坐标为(0,0),(11分)
点S到直线PQ的距离为,
则=1,所以圆H的方程为x2+y2=1.(12分)
假设y轴上存在点W(0,t)满足题意,设I(x1,y1),J(x2,y2),x1x2≠0.
若y轴平分∠IWJ,则kIW+kJW=0,即=0,
整理得x2(y1-t)+x1(y2-t)=0.(13分)
将y1=kx1+代入上式,
得x2=0,
整理得2kx1x2+(x1+x2)=0(*),(14分)
联立得(k2+1)x2+(k2+1)>0,
所以x1+x2=-,(15分)
代入(*)式并整理,得-2k+kt=0,
若此式对任意的实数k都成立,则t=3.(16分)
故y轴上存在点W(0,3),使得y轴平分∠IWJ.(17分)

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