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高中同步达标检测卷
第四章　数列
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列{an}为等差数列,且a2+a3+a6+a9+a10=10,则a4+a8的值为(　　)
A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8
2.甲:{an}为等比数列;乙:an=(n≥2,n∈N*),则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　D.既不充分也不必要条件
3.若数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,则a2 025=(　　)
A.　　　B.2　　　C.3　　　D.-1
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“今有善走者,日增等里,首日行走一百里,九日共行一千二百六十里,问日增几何 ”其意思是:现有一位善于步行的人,第一天行走了100里,以后每一天比前一天多走相同的里数,九天他共行走了1 260里,问每天增加的里数是多少 关于该问题,有下述四个结论:
①从第二天起,每一天比前一天增加的里数为10;
②此人第五天行走了150里;
③此人前六天共行走了750里;
④此人前八天共行走的里数是第九天行走里数的8倍.
所有正确结论的序号为(　　)
A.①④　　　B.②③　　　C.②④　　　D.①③
5.已知{an}为正项等比数列,且a1 012=1,若函数f(x)=-2ln x+1,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)=(　　)
A.2 023　　　B.2 024　　　
C.　　　D.1 012
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,2S3=3a3+4,数列{bn}满足:bn=(n∈N*),且数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的实数a∈[-1,1],不等式TnA.(-∞,-1]∪[1,+∞)　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)　　　D.(-∞,-3]∪[3,+∞)
7.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=,若a6=,则(　　)
A.0C.18.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称“兔子数列”.这一数列定义如下:设{an}为斐波那契数列,则a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),其通项公式为an=.设n是log2[(1+)x-(1-)x]A.5　　　B.6　　　
C.7　　　D.8
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和,数列{bn}满足bn=lg an,其前n项和为Tn,则(　　)
A.数列{Sn+2-Sn}一定为等比数列
B.数列{a2n+an}一定为等比数列
C.数列{bn}一定为等差数列
D.若Tn有最大值,则必有a1>1
10.已知数列{an}满足a1=3,an=3an-1+λ·3n(n≥2,n∈N*),则下列说法正确的是(　　)
A.当λ=0时,数列{an}是递减数列
B.当λ=-1时,数列是等差数列
C.当λ=1时,an=n·3n
D.当λ=-2时,数列{an}存在最小项
11.定义[m]为不超过m的最大整数,例如:[3]=3,[]=2.已知集合S1={a1},且 n∈N*,an+1[an]=Sn+1=Sn∪{an+1},下列说法正确的是(　　)
A.若a1=,则S3=
B.若a1=,则Sn的真子集个数为2n-1
C.记Tn为Sn中所有元素之和,且Tn=nan-1(n≥2),则数列{an}单调递增
D.若a1=(m∈N*),正整数n0满足:对任意m∈N*,n≥n0,都有Sn+1=Sn,则n0的最小值为3
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,an+an+1=2(n∈N*),若数列的前k项和Tk=,则k=　　　　.
13.已知有穷数列{an}的各项均为整数且{an}是递增数列,若a1≥3,a1+a2+…+an=2 023,则当n取最大值时,an的值为　　　　.
14.已知数列{an}满足a1=1,且对任意n∈{2,3,4,…},都存在i∈{1,2,…,n-1},使得an=ai+2,则a5=　　　　(写出所有可能的取值).若数列{bn}中bk满足:存在j∈{1,2,…,k-1}使得bk=bj,则称bk具有性质P.若数列{an}的前30项中恰有3项具有性质P,且这3项的积为27,则{an}的前30项和为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设正项等差数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=+an-2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足log2bn=an-1.设在数列{an}中且不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Tn,求T40.
16.(15分)某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产,计划从2023年起,在今后的若干年内,每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产,2022年新产品带来的收入为0.5千万元,并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2022年为第1年, f(n)为第1年至第n(n∈N*)年(含第n年)的累计利润(注:累计利润=累计收入-累计投入,单位:千万元),且当f(n)为正值时,认为新产品赢利.(参考数据1.257≈4.8,1.258≈6.0,1.259≈7.5,1.2510≈9.3)
(1)试求f(n)的表达式;
(2)根据预测,该新产品将从哪一年开始并持续赢利 请说明理由.
17.(15分)若正项数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1,点P(,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(3)设数列{cn}满足cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ18.(17分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2=4,S4=16,数列{bn}的各项都是正数,且满足b1=a1,b3=a3-1,bnbn+2=(n∈N*).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记cn=求数列{cn}的前2n项和T2n;
(3)在ak和ak+1,k∈N*中插入k个相同的数(-1)k+1·k,构成一个新数列{dn}:a1,1,a2,-2,-2,a3,3,3,3,a4,…,求{dn}的前2 025项和.
19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若≤≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”.
(1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前5项依次为1,,,x,,求x的取值范围;
(2)若Sn=(n2+3n),判断{an}是不是“紧密数列”,并说明理由;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
答案与解析
1.B　因为数列{an}为等差数列,且a2+a3+a6+a9+a10=10,
所以5a6=10,则a6=2,所以a4+a8=2a6=4.
2.D　若{an}为等比数列,则当n∈N*且n≥2时,=an-1an+1,所以an=±,故充分性不成立;
当an=0时,满足an=,但{an}不是等比数列,故必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
3.D　∵数列{an}满足a1=2,an+1an=an-1,∴an+1=1-,
∴a2=1-=,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,……,
∴{an}是周期为3的周期数列,∵2 025=3×675,∴a2 025=a3=-1.
4.D　设此人第n(n∈N*)天走了an里,则数列{an}是等差数列,设{an}的公差为d,前n项和为Sn.
对于①,由题意可得解得d=10,故①正确;
对于②,a5=a1+4d=100+4×10=140,故②错误;
对于③,S6=6a1+d=600+×10=750,故③正确;
对于④,S8=8a1+d=800+×10=1 080,a9=a1+8d=100+8×10=180,而180×8=1 440≠1 080,故④错误.
5.A　因为{an}为正项等比数列,且a1 012=1,
所以a1a2 023=a2a2 022=a3a2 021=…==1,
由f(x)=-2ln x+1可得f=-2ln+1=+2ln x+1,
所以f(x)+f=2,
设S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023),
则S=f(a2 023)+f(a2 022)+…+f(a1),
两式相加可得2S=[f(a1)+f(a2 023)]+[f(a2)+f(a2 022)]+…+[f(a2 023)+f(a1)]=2×2 023,故S=2 023.
6.D　设等比数列{an}的公比为q,易知q≠0,且q≠1,由题意得2·=3a1q2+4,即2q2-4q=0,解得q=2,则Sn==2n+1-2,
所以bn===-,
则Tn=++…+=1-<1,
所以原不等式可转化为1≤m2-2am-2对任意的实数a∈[-1,1]恒成立,设f(a)=-2ma+m2-2,a∈[-1,1],易知f(a)为单调函数,所以解得m∈(-∞,-3]∪[3,+∞).
7.C　由题意可知an≠0,因为an+1=,
所以=,即-=an-1.
令n=1,得-=a1-1,令n=2,得-=a2-1,
令n=3,得-=a3-1,令n=4,得-=a4-1,
令n=5,得-=a5-1,
将以上各式相加,得++++=a1+a2+a3+a4+a5-5,即-=S5-5,所以S5=10-,
因为a1=a,所以<<9,所以1<10-<,即18.A　因为n是log2[(1+)x-(1-)x]所以log2[(1+)n-(1-)n]两边同除以2n得-<24,
则<×24,即an<×24,
易知an+1≥an,a5=5,a6=8,而a5<×24,a6>×24,所以满足要求的n的最大值为5.
9.AC　设{an}的公比为q(q>0).
对于A,Sn+2-Sn=an+2+an+1>0,则当n≥2时,===q,为定值,所以数列{Sn+2-Sn}一定为等比数列,A正确;
对于B,a2n+an=a1q2n-1+a1qn-1=a1qn-1(qn+1),所以==,不一定是定值,所以{a2n+an}不一定是等比数列,B错误;
对于C,bn+1-bn=lg an+1-lg an=lg =lg q,为定值,所以数列{bn}一定为等差数列,C正确;
对于D,由C知{bn}是首项为lg a1,公差为lg q的等差数列,当lg a1=lg q=0时,Tn有最大值0,此时a1=1,D错误.
10.BC　对于A,当λ=0时,an=3an-1,又a1=3≠0,所以{an}是首项为3,公比为3的等比数列,则an=3n,所以an-an-1=3n-3n-1=2×3n-1>0,所以数列{an}是递增数列,故A错误;
对于B,当λ=-1时,an=3an-1-3n,故=-1,即-=-1,
所以数列是等差数列,故B正确;
对于C,当λ=1时,an=3an-1+3n,故=+1,即-=1,又=1,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=1+n-1=n,所以an=n·3n,故C正确;
对于D,当λ=-2时,an=3an-1-2·3n,故=-2,即-=-2,
所以数列是首项为1,公差为-2的等差数列,
所以=1+(n-1)×(-2)=3-2n,所以an=(3-2n)·3n,
则an+1-an=(1-2n)·3n+1-(3-2n)·3n=-4n·3n<0,
所以数列{an}为递减数列,且当n→+∞时,an→-∞,
故数列{an}无最小项,故D错误.
11.AD　对于A,若a1=,则[a1]=1,所以a2==,则S2=,[a2]=1,所以a3==,所以S3=,A正确;
对于B,若a1=,则[a1]=2,所以a2==2+4,则S2={,2+4},[a2]=8,所以a3==4+8,则S3={,2+4,4+8},[a3]=16,所以a4==4+8,则S4={,2+4,4+8},
依此类推a3=a4=…=an=4+8(n≥3),Sn={,2+4,4+8}(n≥3),所以Sn的真子集个数最多为23-1=7,B错误;
对于C,由题设知T2=2a1,若S2={a1,a2},则T2=2a1=a1+a2,则a1=a2,不满足集合中元素的互异性,所以S2={a1},则a1=a2,T2=a1=2a1,所以a1=a2=0,则T3=3a2=0,故a3=0,……,依此类推,Tn=0,an=0,n≥3,所以数列{an}是各项均为0的常数列,C错误;
对于D,若a1=(m∈N*),则m所以a2==,S2=,
由m<,得m<,
因为则a3===+m,
又2m<+m<2m+1,所以[a3]=2m,
则a4==+m=a3,从而a3=a4=…=an(n≥3),
所以当n≥3时,Sn+1=Sn=,
所以n0的最小值为3,D正确.
12.答案　16
解析　因为an+an+1=2,所以S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=2n,则==,
故Tk===,解得k=16.
13.答案　73
解析　因为有穷数列{an}的各项均为整数且{an}是递增数列,所以n取最大值即{an}的项数最多,此时{ak}(k=1,2,…,n-1,n≥2,n∈N*)是公差为1的等差数列,且首项尽可能小,
∵a1≥3,∴a1=3,∴ak=k+2,
设{ak}的前k项和为Sk,则Sk=,
∴S60=1 950,S61=2 013,S62=2 077,
故当k=60时,ak=62,n=k+1=61,an=2 023-Sk=73,符合条件;
当k=61时,ak=63,n=k+1=62,an=2 023-Sk=10,不满足an>an-1,不符合条件.
故当n取最大值时,an=73.
14.答案　3或5或7或9;738
解析　因为a1=1,an=ai+2,i∈{1,2,…,n-1},
所以当n=2时,a2=a1+2=3;
当n=3时,a3=a1+2=3或a3=a2+2=5;
当n=4时,a4=a1+2=3或a4=a2+2=5或a4=a3+2=5或a4=a3+2=7;
当n=5时,a5=a1+2=3或a5=a2+2=5或a5=a3+2=5或a5=a3+2=7或a5=a4+2=5或a5=a4+2=7或a5=a4+2=9.
所以a5=3或5或7或9.
若{an}的前30项中恰有3项具有性质P,且这3项的积为27=3×3×3,
则由a1=1,a2=3可得具有性质P的3项为3,3,3,其余项从小到大排列构成以1为首项,2为公差的等差数列,所以{an}的前30项的和为3×3+27×1+×2=738.
15.解析　(1)当n=1时,2S1=2a1=+a1-2,又a1>0,所以a1=2,(2分)
由2Sn=+an-2,得2Sn+1=+an+1-2,
两式相减可得(an+1+an)(an+1-an-1)=0,(4分)
因为an>0,所以an+1+an>0,所以an+1-an=1,
所以{an}是首项为2,公差为1的等差数列,故an=n+1.(6分)
(2)由an=n+1,log2bn=an-1,得bn=2n,(7分)
则数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列,
易知a1=b1=2,a3=b2=4,a7=b3=8,a15=b4=16,a31=b5=32,b6=64,a45=46,(10分)
则T40=S45-(b1+b2+b3+b4+b5)=-=1 018.(13分)
16.解析　(1)由题意知,第1年至第n(n∈N*)年(含第n年)的累计投入(单位:千万元)为4+(n-1)=n+3,(1分)
设第n年的收入为an千万元,前n年的累计收入为Sn千万元,
由题意得a1=,an+1=an×(1+25%)=an,
所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,(3分)
故Sn=a1+a2+…+an==2,(6分)
所以f(n)=Sn-(n+3)=2-n-3=2·-n-5,n∈N*.(8分)
(2)由(1)得f(n+1)-f(n)=-1,(10分)
所以当n≤3时, f(n+1)-f(n)<0,即f(n)单调递减,
当n≥4时, f(n+1)-f(n)>0,即f(n)单调递增,(12分)
又f(1)=-<0, f(8)=2×-8-5<0, f(9)=2×-9-5>0,
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利,即该新产品将从2030年开始并持续赢利.(15分)
17.解析　(1)证明:由点P(,Sn+1)在曲线y=(x+1)2上,可得Sn+1=(+1)2,易知Sn>0,所以=+1,即-=1,(3分)
所以数列{}是首项为==1,公差为1的等差数列.(5分)
(2)由(1)得=1+n-1=n,即Sn=n2,(6分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
又a1=1满足上式,所以an=2n-1,n∈N*.(8分)
由anbn+bn=nbn+1,得(2n-1)bn+bn=nbn+1,所以bn+1=2bn,又b1=1≠0,
所以{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以bn=2n-1.(10分)
(3)由(2)得cn==n·,
所以Tn=1+2×+3×+…+n·,
则Tn=+2×+3×+…+n·,
两式相减可得Tn=1+++…+-n·
=-n·=2-(n+2)·,
则Tn=4-(n+2)·,(13分)
因为不等式(-1)nλ所以(-1)nλ<4-对一切n∈N*恒成立,
当n为奇数时,-λ<4-恒成立,
易知函数y=4-单调递增,所以=4-2=2,则-λ<2,所以λ>-2;(14分)
当n为偶数时,λ<4-恒成立,
由函数y=4-单调递增,得=4-1=3,则λ<3.
综上可得实数λ的取值范围是(-2,3).(15分)
18.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
依题意得解得所以an=1+2(n-1)=2n-1,(2分)
所以b1=a1=1,b3=a3-1=4,
又因为bnbn+2=(n∈N*),所以数列{bn}为等比数列,
设{bn}的公比为q,q>0,
则b3=b1q2=q2=4,解得q=2或q=-2(舍去),所以bn=2n-1.(5分)
(2)设{cn}的前2n项和中,奇数项的和为Pn,偶数项的和为Qn,
则Pn=c1+c3+c5+…+c2n-1,Qn=c2+c4+c6+…+c2n,(7分)
由题意得,当n为奇数时,cn==-,
所以Pn=c1+c3+c5+…+c2n-1
=+++…+
=-=-1;(9分)
当n为偶数时,cn=an,
所以Qn=a2+a4+…+a2n=3+7+…+4n-1==2n2+n.
所以T2n=-1+2n2+n.(11分)
(3)由题意得数列{dn}中从a1到ak+1共有k+1+(1+2+…+k)=项,(13分)
当k=62时,=2 016,又2 025-2 016=9,
所以di=a1+a2+…+a63+1+2×(-2)+3×3+4×(-4)+…+61×61-62×62+9×63=+1-22+32-42+…+612-622+9×63
=+(12-22)+(32-42)+…+(612-622)+9×63
=63×63-+9×63=63×(63-31+9)=2 583.(17分)
19.解析　(1)因为数列{an}为“紧密数列”,
所以x≠0,且(2分)
解得≤x≤,故x的取值范围为.(4分)
(2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下:(5分)
当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=n+,
又+=1=a1,所以a1=1满足上式,
所以an=n+(n∈N*),(7分)
所以对任意n∈N*,===1+∈(1,2),
所以数列{an}为“紧密数列”.(9分)
(3)因为数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,
所以当q=1时,an=a1,Sn=na1,
所以=1,==1+∈(1,2],
所以{an}和{Sn}都是“紧密数列”,满足题意.(11分)
当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=,
因为{an}为“紧密数列”,所以≤=q≤2,即≤q<1或1当≤q<1时,=>=1,
=≤==1+qn<2,
所以1<<2,所以{Sn}为“紧密数列”,满足题意;(15分)
当12,
所以{Sn}不是“紧密数列”,不符合题意.(16分)
综上,实数q的取值范围是.(17分)

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