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16.3乘法公式人教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟；  命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，两个正方形的边长分别为和，其中，，三点在同一直线上，若，，那么阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
2.小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为( )
A. B. C. D.
3.若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，从边长为的大正方形的四个角中挖去四个边长为的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图，通过计算阴影部分的面积可以得到 ( )
A. B.
C. D.
5.将多项式中的同类项结合在一起，正确的是 ( )
A. B.
C. D.
6.已知，则的值为 ( )
A. B. C. D. 不能确定
7.若，则，分别为 ( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.计算的结果为 ( )
A. B.
C. D.
9.三个连续自然数的平方和减去一定( )
A. 能被整除 B. 能被整除 C. 能被整除 D. 能被整除
10.王大爷家有一块边长为米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为南北向增加米，东西向减少米，则改造后的菜地与原来的菜地相比( )
A. 面积相等 B. 面积增加了平方米
C. 面积减少了平方米 D. 无法确定
11.若，，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
12.“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，，则的值等于 ．
14.已知，，，则的值是 ．
15.若正方形的边长为，正方形的边长为，，，则与的面积之和为 ．
16.设实数，，满足，则代数式的最大值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积．
18.本小题分
若，，，猜想与的大小关系，并证明你的猜想．
19.本小题分
先化简，再求值：
，
其中，
20.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
21.本小题分
如图，长方形的周长为，四个正方形的面积和为，求长方形的面积．
22.本小题分
已知，求的值．
23.本小题分
计算：
；
．
24.本小题分
数学活动课上，老师把一个边长为的正方形分割成块，如图所示．
请用两种不同的方法表示出图中大正方形的面积：方法：______；方法：______．
观察图形，请你写出代数式和、之间的等量关系：______．
根据题中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
若，求的值．
25.本小题分
【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系．
【方法应用】如图，正方形是由长为、宽为的个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系．
请你写出这个等量关系．
根据上述关系，已知，，求的值．
【方法迁移】如图，长方形是由个长为、宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题：
求，之间的数量关系；
若长方形的宽，求小长方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】 解：，，，故选C．
2.【答案】
【解析】解：设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为，可得，，即，，由得，，得，所以，即长方形的面积为，故选A．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键，已知等式右边利用平方差公式分解后，即可确定出与．
【解答】
解：，
，，
故选C ．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查列代数式，整式的减法，平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．分别用含有的代数式表示改造前、改造后的面积，再求差即可．
【解答】
解：由于改造前，这块地的面积为平方米，
改造后是长为米，宽为米，面积为平方米，
所以改造后的菜地与原来的菜地相比减少了平方米，
故选：．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于个长、宽的长方形面积和．
选项A：是推导的图形，不涉及，排除．
选项B：体现的是，不是，排除．
选项C：是勾股定理相关图形，与等式无关，排除．
选项D：大正方形边长、小正方形边长，面积差为个长宽长方形面积，符合，当选．
故选D．
解答这道题需理解、的几何意义正方形面积，以及面积差与长方形面积和的关系．
本题运用的是完全平方公式与数形结合思想，让抽象公式完全平方差与直观图形正方形、长方形关联，帮助理解代数关系的几何本质．
13.【答案】
【解析】，，两式相加，得．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，
，
，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：连接，由于是正方形的对角线，是正方形的对角线，，
，，与的面积之和为，
，，与的面积之和为．
16.【答案】
【解析】解：由条件可知，
原式，
，
，
，即的最大值为，故答案为．
17.【答案】解：剩下的钢板的面积

【解析】剩下的钢板的面积直径为的大圆的面积直径为的圆的面积直径为的圆的面积．
18.【答案】证明如下： ，．
【解析】略
19.【答案】原式，，原式．
【解析】略
20.【答案】解：当，时，原式．
【解析】略
21.【答案】解：设，，由题意，得，即，
又四个正方形的面积和为，，即，
的两边平方得，即，将代入，得，，即长方形的面积为．

【解析】略
22.【答案】解：原式，，，，原式．
【解析】略
23.【答案】；
．
【解析】
；
．
根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查整式的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
24.【答案】，两者可以交换位置；
；
，
【解析】解：由题意得，该正方形的面积可表示为或，
故答案为：， 两者可以交换位置；
解：由题结果可得，
即，
故答案为：；
解：由题结果，可得，
当，时，
，
即的值是；
，
，
，
，
即的值是．
根据图形面积整体求解和部分求和的方法列式表示；
结合题结果可得；
由题结果变形得，再将，代入进行求解；先将变形为，再平方整理即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景和转化，熟练运用转化公式是解题的关键．
25.【答案】；
；
方法迁移，．
【解析】大正方形的边长为：，面积为；小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积之和为，
可知：，
，，
，
，
方法迁移：
长方形的面积为，小长方形的面积为，
，即，
即，
，
，
．
，
，
，
解得：，
，
小长方形的面积为
根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可；
利用得出的关系式进行求解即可；
用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出，之间的数量关系；
根据长方形的宽得出，结合，求出、的值，然后得出小长方形的面积即可．
本题主要考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，代数式求值，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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