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17.2用公式法分解因式人教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
2.多项式与的公因式是( )
A. B. C. D.
3.已知，，是的三边长，且，则的形状为( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.若，则的值为 ( )
A. B. C. D.
5.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
6.已知，，是三角形的三边长，那么式子的值 ( )
A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不能确定
7.小李是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条明码信息：，，，，，，分别依次对应七个字：之，桥，天，中，眼，空，国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ( )
A. 天空之桥 B. 中国天眼 C. 中国天空 D. 天眼之桥
8.把分解因式，正确的是 ( )
A. B. C. D.
9.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
10.下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的有( )；；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是( )；；；．
A. B. C. D.
12.已知实数，满足，则的值为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，则的值为 ．
14.分解因式： ．
15.若，，则式子的值为 ．
16.因式分解：，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
若为正整数，求证：能被整除．
18.本小题分
如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．
用含，的式子表示中能使用的面积： ；
若，，求比多出的使用面积．
19.本小题分
试说明对于任意一个正整数，代数式的值一定是的倍数．
20.本小题分
已知，，是的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
21.本小题分
如果一个正整数能表示为两个偶数的平方差，那么称这个数为“神秘数”．
如：；；由可知，，是“神秘数”．
根据上述式子的规律，解答下列问题；
第个等式为______，所得的“神秘数”是______；
第个等式为______，请说明其正确性：
请借助你发现的规律，判断是否是“神秘数”？若是，说明理由．
22.本小题分
教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题．
例如，分解因式：．
解：原式
再如，求代数式的最小值．
解：原式
可知，当时，有最小值，最小值是．
根据以上材料，运用配方法解决下列问题．
请用配方法把因式分解．
多项式有最大值吗？若有，请计算为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由．
23.本小题分
【发现】两个连续奇数的平方差是的整数倍．
【验证】求的结果是的几倍？
【证明】证明两个连续奇数与为整数的平方差是的整数倍；
【延伸】两个连续偶数与为整数的平方差还是的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数，使得最后的结果是的整数倍，直接写出的最小值．
24.本小题分
对于关于的代数式若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”例如：对于关于的代数式当时，代数式的值等；当时，代数式的值等于，我们就称和都是这个代数式的“不动值”．
关于的代数式的不动值是______．
判断关于的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由．
已知关于的代数式．
若此代数式仅有一个不动值，求的值；
若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为，直接写出正整数的值．
25.本小题分
“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题阅读下列问题并完成相应任务．
问题一：．
问题二：．
任务：
问题一中，若，则______；问题二中，______．
如图，在边长为的大正方形中，阴影部分的面积为，边长为的小正方形的周长为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：，
，
多项式与的公因式是．
故选：．
先对多项式与进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题．
本题主要考查运用公式法进行因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】A.，不能因式分解； ，不符合题意； ，不能因式分解； ，符合题意．故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用平方差公式分解因式以及三角形三边的关系．首先用平方差公式进行因式分解，得到，然后根据三角形的三边关系可以判断，，从而判断出结果．
【解答】
解：，，是三角形的三边，
，．
，．
．
故选．
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】因为， 所以， 所以 因为，， 所以，解得，， 所以．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】证明 原式．
为正整数，，是两个连续的正整数，其中必有一个是偶数．
是的倍数，是的倍数，即一定能被整除．

【解析】略
18.【答案】【小题】
【小题】
解：中能使用的面积为，比多出的使用面积为，，答：比多出的使用面积为．

【解析】 略
略
19.【答案】解： ，对于任意一个正整数，代数式的值一定是的倍数．
【解析】略
20.【答案】解：是等边三角形．理由略．
【解析】略
21.【答案】，．
．
是神秘数，
因为
，
所以

【解析】第个等式为：
；
故答案为：，．
；
证明：左边
，
右边，
所以左边右边，
所以．
是神秘数．
因为
，
所以
，
所以是神秘数．
因为；；，所以第个等式为 ；
，利用平方差公式展开证明即可，据此解答；
因为神秘数可以用表示，所以，求出，表示出．
本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据“神秘数”的定义，运用平方差公式解决问题．
22.【答案】原式
；
当时，有最大值，最大值为
【解析】原式
；
当时，有最大值，最大值为，理由如下：
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
用配方法化为，再用平方差公式，即可求解；
用配方法化为，即可求解．
本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，非负数的性质，理解题意、掌握配方法是解题的关键．
23.【答案】是的倍；

，
两个连续奇数，的平方差是的倍数；
两个连续偶数的平方差是的倍数，不是的倍数，若使得最后的结果是的整数倍，加上正整数的最小值为．
【解析】解：原式
，
是的倍；
证明：
，
两个连续奇数，的平方差是的倍数；
解：两个连续偶数的平方差是的倍数．
理由如下：
设两个连续的偶数分别为：，，
原式
，
两个连续偶数的平方差是的倍数，不是的倍数，
若使得最后的结果是的整数倍，加上正整数的最小值为．
通过计算即可得出答案；
应用因式分解的方法计算，据此可得出结论；
首先设两个连续的偶数分别为：，，再计算，据此可得出答案．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
24.【答案】或；
关于的代数式没有不动值，
，
或
【解析】解：，，
，
，，
故答案为或；
，
，
，
原方程无解，
关于的代数式没有不动值，
由得，
，
仅有一个不动值，
，
，
；
，设的两个根是，，，
，
，
，，
或．
由求得结果；
由得，可得出，从而得出关于的代数式没有不动值；
由得，根据得出结果；
设的两个根是，，从而得出，即，进一步得出结果．
本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式和根与系数的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
25.【答案】；；

【解析】，
若，则，
问题二中，
故答案为：；；
由条件可知，
．
由条件可知，
．
把看作一个整体，即可将原式变形为，据此可得答案；
先根据题意得到，，再由进行代值计算即可．
本题考查平方差公式与完全平方差公式，熟练掌握平方差公式与完全平方差公式的变形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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