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14.3角的平分线人教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，关于的值可能为 ．
A. B. C. D. 以上都有可能
2.如图，是的角平分线，从点向，两边作垂线段，垂足分别为，，那么下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，为的角平分线，且，，则的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法：和面积相等；；；；其中正确的有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.阅读以下作图步骤：
在和上分别截取，，使；
分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，连接，，如图所示根据以上作图，一定可以推得的结论是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
6.如图，在四边形中，，，与的平分线相交于边上的点，则下列结论：
；点为的中点；；的面积是梯形面积的一半．其中正确的个数有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是 ( )
A. B. C. D.
8.如图，，，，分别平分的外角，内角，外角以下结论：
，，，平分其中正确结论有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.如图，，于点，于点，，交于点给出下列结论：；；点在的平分线上．其中，正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ( )
A. B. C. D.
11.如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接若，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
12.下列命题是真命题的是( )
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若，则
C. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
D. 用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ．
14.如图，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点，若，则的面积为 ．
15.如图，平分，于点，，，则的面积为 ．
16.如图，的角平分线，交于点，延长至，与的延长线相交于点，且，，若的面积为，，则线段的长度为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，是的外角的平分线，是的外角的平分线，，相交于点求证：
点到三边，，所在直线的距离相等；
点在的平分线上．
18.本小题分
如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点与垂直吗？证明你的结论．
19.本小题分
如图，的外角和的平分线相交于点，求证：点在的平分线上．
20.本小题分
如图，，，分别平分和，点在线段上求证：．
21.本小题分
如图，在中，为边上的高，是的平分线，点为上一点，连接，．
求证：平分；
连接交于点，若，求证：；
在的条件下，当，时，求线段的长．
22.本小题分
如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，求证：平分．
23.本小题分
如图，，，垂足分别为，．，相交于点，求证：．
24.本小题分
如图，在四边形中，，为的中点，且平分求证：
平分；
．
25.本小题分
小明同学用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线相交于点，那么射线就是的平分线请你结合如图证明这一结论．
小华同学认为直线也是线段的垂直平分线你认为小华同学的判断正确吗？如果正确请证明；如果不正确，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】点是三条角平分线的交点，，和的边，和边上的高相等设，和的高为，，由三角形三边关系得，．，，故的值可能为，选项C符合题意，选项A，，不符合题意故选C．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：过点分别作于点，于点，过点作于点．
平分，，，
又，，
故选D．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】A.以，为圆心画弧的半径相等，因此，又，
，因此≌得到，故A符合题意；
B.因为，的长在变化，所以和不一定相等，
因此不一定等于，故B不符合题意；
C.因为，的长在变化，所以和不一定相等，故C不符合题意；
D.的位置在变化，所以和不一定平行，
因此不一定等于，故D不符合题意．故选A．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
，
故选：．
根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】如图，过点作于点， 根据题意得，是的平分线，，，，，，故选 B．
11.【答案】
【解析】解：作于，如图，
四边形是正方形，
，
，
，
而，
点、在以为直径的圆上，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
．
故选：．
作于，如图，利用正方形的性质得，再点、在以为直径的圆上，则利用圆周角定理得到，所以，于是利用等腰直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理可计算出，于是得到．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决问题的关键是证明．
12.【答案】
【解析】解：根据判断命题真假，等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的假设判断可得：
A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意；
B、由，不能得到，例如，时，满足，但不满足，原命题是假命题，不符合题意；
C、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，原命题是真命题，符合题意；
D、用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设，原命题是假命题，不符合题意；
故选：．
根据等边三角形的判定定理可判断；根据，时，满足，但不满足可判断；根据角平分线的性质可判断；反证法中第一步应假设结论不成立，即假设，据此可判断．
本题主要考查了判断命题真假，等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的假设，正确记忆相关知识点是解题关键．
13.【答案】
【解析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘，代入求出即可．
【详解】如图，连接，过作于，于．
、分别平分和，
是的平分线．
，，
．
的周长是，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】提示：倍长至，连交于，
则，，
，为等腰直角三角形，
“”字导角：，，
，．
15.【答案】
【解析】提示：作交的延长线于，
平分，，，，
．
16.【答案】
【解析】设，，过点作于．
平分，，，，，，，．平分，，．，，，．的面积为，，．，，．
17.【答案】【小题】
证明：如图所示，过点分别作，，，垂足分别为点，，．
是的平分线，点在上，
．
同理，．
．
点到三边，，所在直线的距离相等．
【小题】
由得，且，，点在的平分线上．

【解析】 见答案
见答案
18.【答案】解：与垂直．证明如下：
是的角平分线，
．
又，，
，，
．
在和中，
≌，
．
又，
，
．

【解析】通过本题可以得到一个结论：连接角平分线上的点到两边的垂线段的两个垂足，所得线段与角平分线垂直．
19.【答案】证明：过点分别作，，的垂线，，，，，分别为垂足．
是的平分线，，同理，．
又，，点在的平分线上．

【解析】略
20.【答案】证明：在上截取，，．
，．
又，，，
，．

【解析】略
21.【答案】【小题】
是的平分线，．，，．为边上的高，，，，平分．
【小题】
如图，过点作于点，于点．
平分，，，．，即，，在和中，．，，，，．
【小题】
，．，，，在和中，．，．，．

【解析】 略
略
略
22.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
．
，
点在的平分线上，
平分．
【解析】本题主要考查角平分线性质的判定和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线性质定理的逆定理和全等三角形的判定及性质是解题的关键．首先证明，然后有，再根据角平分线性质定理的逆定理即可证明．
23.【答案】证明：，，．
又，，．
又，，平分．
【解析】略
24.【答案】【小题】
证明：如图，过点作于点．
，平分，
，
是的中点，
，
，
又，，
平分．
【小题】
证明：如图，过点作于点．
在和中，
，
≌．
，
同理可得≌，
，
，
即．

【解析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
本题考查全等三角形的判定与性质，过点作于点，先证明≌和≌，得出和，进而得到结论．
25.【答案】证明：由题意得，，，
，
，，
≌，
，
射线为的平分线．
解：正确．
理由：连接，交于点，
，
为等腰三角形，
为的平分线，
垂直平分，
即直线是线段的垂直平分线．
【解析】证明≌，可得，即可得出结论．
由等腰三角形的判定与性质可得结论．
本题考查作图基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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