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河南省信阳市淮滨县2025-2026学年九年级上学期入学学情调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．，，2 C．，2， D．5，12，13
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在方差的计算公式中，数字10和20分别表示（　 　）
A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数
C．数据的个数和平均数 D．数据的方差和平均数
5．若点和都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ ）
A．小刚的成绩位于组内中等水平 B．小组平均分增加2分
C．小组的成绩稳定性增加，方差变大 D．该小组成绩不存在中位数
8．如图，在中，，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
9．如图，E为矩形边上的一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知y与t的函数关系图象如图，则的面积为 （ ）
A．30 B．25 C．24 D．20
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ）

A． B． C． D．
11．为筹备毕业聚餐，班长对全班同学爱吃东北菜、川菜、湘菜、粤菜中的哪一种菜系的人数比较多做了民意调查．班长做决定最关注的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
二、填空题
12．等式成立的条件是 ．
13．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是

14．小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，此时这组成绩 （单位：）的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 （填“>”“=”或“<”）．
15．如图，直线与直线相交于点B，直线与y轴交于点A，直线与x轴交于点D与y轴交于点C，交x轴于点E．直线上有一点P（P在x轴上方）且，则点P的坐标为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．
(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．
(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．
18．某次台风来袭时，一棵大树（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得，大树被折断部分和地面所成的角，米．
(1)求大树的根部到折断后的树干的距离；
(2)求这棵大树原来的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，）
19．如图，已知．

(1)按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：
①分别作边，的中点，记为点D，E；
②连接并延长，在的延长线上取点F，使；
③连接．
(2)在（1）所作的图中，试判断四边形的形状，并说明理由．
20．一次函数的图象与轴交于点，且经过点．

(1)求点和点的坐标；
(2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
21．某电商准备购进某品牌的A型平板电脑和B型平板电脑共100台进行销售．若购入2台A型平板电脑和3台B型平板电脑需花费4700元，购入3台A型平板电脑和2台B型平板电脑需花费4800元．
(1)求A型平板电脑B型平板电脑的购入单价；
(2)设购入A型平板电脑x台，购入总费用为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②已知该电商购入这批平板电脑的总费用不超过96000元，其中A型平板电脑的销售单价为1500元，B型平板电脑的销售单价为1280元．7月底，河南突发暴雨灾害，该电商决定从销售A型平板电脑的销售利润中按每台捐献元作为捐献给郑州抗涝的资金，若电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润不超过39200元，求m的取值范围．
22．如图1，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点分别在正方形的边上，连接，取中点，的中点，连接．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)在（1）的条件下，请判断线段与之间的关系，并加以证明；
(3)如图2，将这个含角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边的延长线上，其他条件不变，当时，时，求的长．
23．某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的问题．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点D是边CB上的一个动点，连接AD．若△ABD是等腰三角形，求线段CD的长．
(1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程；
(2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，他尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整．
①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD、AD的长度，得出下面的表格：
CD 0 1 2 3 4 5 6 7 8
AD 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 8.5 9.2 a
表格中a的值为______；
②然后将CD的长作为自变量x(0≤x≤8)，AD的长作为x的函数，记为y，在下面平面直角坐标系中画出了函数y关于x的图像．
写出该函数的一条性质______________________________；
③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：____________；
④继续在平面直角坐标系画出小聪所需的函数图像，并结合图形直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值（精确到0.1）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C B A B D C D
题号 11
答案 C
1．B
【详解】解：A、的被开方数中含有开的尽的因数9，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、的被开方数中含有开的尽的因数4，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．D
【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意；
B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
D、，且5，12，13都是正整数，能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
3．B
【详解】解：中，没有同类二次根式，不能合并，
故A选项不符合题意；
，
故B选项符合题意；
，
故C选项不符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：B．
4．C
【详解】在方差的计算公式中，
数字10表示数据的个数，数字20表示数据的平均数．
故选C．
5．B
【详解】解：对于直线，其属于一次函数（）的形式，
∵，
∴一次函数的函数值随自变量的增大而减小．
已知点和在该直线上，且，
∴根据函数增减性可得．
故选：B．
6．A
【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，平分，
∴，
故选：A ．
7．B
【详解】解：从图表可以看出小刚的成绩低于70分，B同学的成绩高于80分低于90分，A同学成绩高于B同学低于90分，D同学高于90分低于100分，E同学90分；
A.小刚的成绩加上10分后仍然处于下等水平，故选项A说法错误，不符合题意；
B. 小刚的成绩加上10分后，小组的平均分增加分，故选项B说法正确，符合题意；
C.小组的成绩稳定性增加，方差变小，故选项C说法错误，不符合题意；
D.该小组成绩存在中位数，即A的成绩，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：B
8．D
【详解】解：连接，
∵点E为的中点，点F为的中点，
∴，
∴当取最小值时，最小，
当时，最小，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
故选：D．
9．C
【详解】解：由图象可知，
，，
，
当时，，
，
，
故选：C．
10．D
【详解】解：连接、

∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
则，
依题意，，
∴，则，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
11．C
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故班长最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选：C．
12．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
13．(答案不唯一)
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
若，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形，
故答案为：．
14．
【详解】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为，
∵第10次投掷标枪的落点恰好在线上，
∴第10次投投掷结束后这组成绩更均数，数据波动越小，数据越稳定，则方差更小，
∴．
故答案为：．
15．（-3，4）
【详解】解：∵A是直线与y轴的交点，C、D是直线与y轴、x轴的交点，
∴A（0，4），D（-1，0），C（0，-2），
∴AC=6；
联立 ，
解得，
∴点B的坐标为（-2，2），
∴，
∵，
∴可设直线AE的解析式为，
∴，
∴直线AE的解析式为，
∵E是直线AE与x轴的交点，
∴点E坐标为（2，0），
∴DE=3，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
16．(1)
(2)15
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)甲 29
(2)甲
(3)乙队员表现更好
【详解】（1）解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度，
∴得分更稳定的队员是甲，
乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30，
∴中位数为，
故答案为∶乙，29；
（2）解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，
所以甲队员表现更好；
（3）解∶甲的综合得分为，
乙的综合得分为，
∵，
∴乙队员表现更好．
18．(1)米
(2)10米
【详解】（1）解：如图，过A点作于点E，
∵，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
即大树的根部到折断后的树干的距离为米；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴这棵大树原来的高度约为10米．
19．(1)画图见解析
(2)四边形为平行四边形，证明见解析
【详解】（1）解：如图，，，，，即为所求；
．
（2）四边形为平行四边形，理由如下：
∵，分别为，的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
20．(1)
(2)见解析
(3)坐标是，
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴令
解得
∴点的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入，
得，
∴，
∴点的坐标是；
（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，当时，;
∵，，
∴，
当时，

∴符合条件的点坐标是，.
21．(1)A型平板电脑B型平板电脑的购入单价分别为元，900元
(2)①；②
【详解】（1）解：设A型平板电脑B型平板电脑的购入单价分别为元，元，由题意，得：，解得：，
答：A型平板电脑B型平板电脑的购入单价分别为元，900元．
（2）①；
②由题意，得：，解得：；
设电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润为w元，
则
；
∵，
∴，
∴随着增大而增大
∵，
∴当时，w取得最大值，
∴，
解得：，
∴．
22．(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）证明：∵M是中点，N是中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，
∵M是中点，
∴，
∵，
∴；
（3）解：连接，如图，

∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵M是中点，N是中点，
∴是的中位线，
∴．
23．(1)
(2)①10；②y随x的增大而增大；③CD+BD=8；④1.8
【详解】（1）解：∵△ABD是等腰三角形
∴AD=BD，
设CD=x，则AD=BD=8-x；
在Rt△ABC中，利用勾股定理，可得：
解得x．
∴△ABD是等腰三角形时，CD的长为．
（2）①当CD=8时，点D与点B重合，
AD=AB=10．
故答案为：10．
②由图像可直接得y随x的增大而增大．
故答案为：y随x的增大而增大．
③根据图形可得
∵D在BC上，BC=8，
∴CD+BD=8．
故答案为：CD+BD=8．
④由上可知，CD与BD的关系为：y=-x+8，在图中画出图像如下所示，
观察图像可知，当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值为1.8．

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