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第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
13.1　三角形中的边角关系
第1课时　三角形中边的关系
学习要点
知识点1　三角形的有关概念
由不在同一条直线上的三条线段 所组成的封闭图形叫三角形.“三角形”用符号“ ”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作 ，读作 .
如图所示，三角形有三个顶点A，B，C；有三条边BC，AC，AB(或a，b，c)；有三个角∠A，∠B，∠C.当△ABC的三边用a，b，c表示时，∠A所对的边BC用a表示，∠B所对的边AC用b表示，∠C所对的边AB用c表示.
知识点2　三角形的分类
1.三角形中，三条边互不相等的三角形叫不等边三角形，有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，又叫正三角形.
2.三角形按边长关系分类
三角形
知识点3　三角形的三边关系
三角形中任何两边的和 第三边，三角形中任何两边的差 第三边.
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
课堂达标
1.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为 ( )
A.7　　 　B.8　　 　C.9　　 　D.10
2.如图，图中的三角形有 ( )
A.7个 B.4个 C.5个 D.6个
3.一个三角形的周长为81 cm，三边长的比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 .
4.如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形，
(1)其中以AB为一边可以画出 个三角形；
(2)其中以C为顶点可以画出 个三角形.
5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|2a－b＋2|＋(a＋b－8)2＝0.
(1)求c的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若2x－c＝1，求x的取值范围.
第2课时　三角形中角的关系
学习要点
知识点1　三角形按角分类
三角形
知识点2　三角形的内角和
定理：三角形的内角和等于 .
如图所示，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
图1　　图2
【注意】　①通常我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边；②任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；③任何一个三角形中的最大内角不能小于60°，最小内角不能大于60°.
课堂达标
1.三角形按角分类可以分为 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C.直角三角形、等腰直角三角形
D.以上答案都不正确
2.如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为 ( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
第2题图　　第3题图
3.如图，△ABC中，∠A＝40°，∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC＝ .
4.在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B－∠A＝30°.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？
5.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝50°.
(1)求∠BFD的度数；
(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝41°，求∠BAC的度数.
第3课时　三角形中几条重要线段
学习要点
知识点　三角形中几条重要线段
定义 图形 符号语言
角平 分线 三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫三角形的 因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠1＝∠2＝∠BAC
中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫三角形的 三角形三条边中线交于一点，这个交点就是三角形的 因为AD是△ABC的BC边上的中线，所以BD＝CD＝BC
高线 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫三角形的 因为AD是△ABC的BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°或AD⊥BC
课堂达标
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是 ( )
A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B.三角形的高就是顶点到对边的垂线
C.三角形的角平分线就是三角形内角的平分线
D.三角形的高、中线与角平分线均是指线段
2.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是 ( )
A.BC＝2CE
B.∠BAD＝∠BAC
C.∠AFB＝90°
D.AE＝CE
3.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三点在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD；
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)△ABE的面积为 .
4.如图，点D是△ABC的角平分线BM上的一点，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，DG∥AB，交BC于点G，连接EG交BD于点O.DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由.
13.2　命题与证明
第1课时　命　题
学习要点
知识点　命题
1.对某一事件作出 判断的语句(或式子)叫命题. 的命题称为真命题， 的命题称为假命题.
2.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的 (或题设)，q是这个命题的 (或题断).
3.将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个就叫原命题的 .
4.符合命题 ，但不满足命题 的例子，我们称之为反例.
课堂达标
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.下列语句不是命题的是 ( )
A.两点之间线段最短
B.不平行的两条直线有一个交点
C.同位角相等
D.如果x与y互为相反数，那么x与y的和等于0吗
2.下列选项中可以用来说明命题“若x2>1，则x>1”是假命题的反例是 ( )
A.x＝1 B.x＝－1
C.x＝2 D.x＝－2
3.下列命题中，真命题有 ( )
①若等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长是9或12；②无理数－在－2和－1之间；③若a－b>0，则a>b；④北偏东30°与南偏东50°的两条射线的夹角为80°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论.
(1)同号两数的和一定不是负数；
(2)若x＝2，则1－5x＝0；
(3)延长线段AB至点C，使B是AC的中点；
(4)互为倒数的两个数的积为1.
5.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|.”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明.
第2课时　证　明
学习要点
知识点1　定理
从 或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫定理.
知识点2　证明
从已知条件出发，依据 、 、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
课堂达标
1.下列不是基本事实的是 ( )
　　 　 　　　 　 　　　 　 　
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2.能作为证明依据的是 ( )
A.已知条件 B.定义及基本事实
C.定理及推论 D.以上三项都对
3.试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①∵∠A＝∠C(已知)；
②∵∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；
③∴∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；
④∴∠B＝∠D(等量代换)；
⑤∴∠B＝180°－∠C(等量代换).
正确的顺序是 ( )
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
4.已知：如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点.
(1)给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA.请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件： ，结论： .(填序号)
证明： (2)在(1)的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数.
第3课时　三角形内角和定理的证明及推论
学习要点
知识点1　证明命题的一般步骤
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，证明命题的一般步骤是：
(1)根据条件画出图形，并在图形上标出有关 与 ；
(2)结合图形，写出 ；
(3)分析因果关系，找出证明途径；
(4)有条理地写出证明 .
知识点2　辅助线
1.定义：为了证明的需要，在原来图形上 叫辅助线.
2.注意事项：为了区别于图形中的已存在线段，辅助线通常画成 ；叙述辅助线的作法要做到严密性、唯一性.
3.常用的辅助线作法如下：
(1)过一点作已知直线的平行线；
(2)过一点作已知直线的垂线；
(3)作已知角的平分线；
(4)作已知线段的中点；
(5)在已知线段上截取线段等于某线段；
(6)在延长线上取点.
知识点3　三角形内角和定理的推论
1.由基本事实、定理直接得出的 叫推论.
2.推论1：直角三角形的两锐角 .
3.推论2：有两个角互余的三角形是 三角形.
知识点4　三角形内角和定理的证明
1.证明思路：利用平行线将△ABC的三个内角转化为一个平角或一组同旁内角.
2.常见模型
课堂达标
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠F的度数为 ( )
A.62° B.152° C.208° D.236°
第2题图　　第3题图
3.补充并完成下列证明.
已知：△ABC如图所示.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＋∠BAC＋∠B＝180°( )，∠1＝∠C( ).∴ ( ).
4.如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP平分∠AEF，FP平分∠EFC.求证：△EPF是直角三角形.
第4课时　三角形的外角
学习要点
知识点　三角形的外角
1.三角形外角的定义
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的 .如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质
三角形内角和定理的推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 .
三角形内角和定理的推论4：三角形的外角 与它不相邻的任何一个内角.
3.三角形的外角和等于 .
课堂达标
1.若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为 ( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是 ( )
A.∠1<∠2<∠3 B.∠1<∠3<∠2
C.∠3<∠2<∠1 D.∠2<∠1<∠3
第2题图　　第3题图
3.如图，在△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝ ( )
A.360° B.260° C.180° D.140°
4.将一副三角板摆成如图所示的形状，图中∠1＝ .
第4题图　　第5题图
5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为 .
6.已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，外角∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，AF∥CE交BC于点F，试求∠BAF的度数.
7.如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.求：
(1)∠ACD的度数；
(2)∠AEC的度数.第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
13.1　三角形中的边角关系
第1课时　三角形中边的关系
学习要点
知识点1　三角形的有关概念
由不在同一条直线上的三条线段　首尾依次相接　所组成的封闭图形叫三角形.“三角形”用符号“　△　”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作　△ABC　，读作　三角形ABC　.
如图所示，三角形有三个顶点A，B，C；有三条边BC，AC，AB(或a，b，c)；有三个角∠A，∠B，∠C.当△ABC的三边用a，b，c表示时，∠A所对的边BC用a表示，∠B所对的边AC用b表示，∠C所对的边AB用c表示.
知识点2　三角形的分类
1.三角形中，三条边互不相等的三角形叫不等边三角形，有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，又叫正三角形.
2.三角形按边长关系分类
三角形
知识点3　三角形的三边关系
三角形中任何两边的和　大于　第三边，三角形中任何两边的差　小于　第三边.
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形.
课堂达标
1.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为 ( C )
A.7　　 　B.8　　 　C.9　　 　D.10
2.如图，图中的三角形有 ( D )
A.7个 B.4个 C.5个 D.6个
3.一个三角形的周长为81 cm，三边长的比为2∶3∶4，则最长边比最短边长　18 cm　.
4.如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形，
(1)其中以AB为一边可以画出　3　个三角形；
(2)其中以C为顶点可以画出　6　个三角形.
5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|2a－b＋2|＋(a＋b－8)2＝0.
(1)求c的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若2x－c＝1，求x的取值范围.
解：(1)因为|2a－b＋2|＋(a＋b－8)2＝0，所以解得a＝2，b＝6.因为6－2＝4，6＋2＝8，所以4(2)因为2x－c＝1，所以c＝2x－1，所以4<2x－1<8，所以第2课时　三角形中角的关系
学习要点
知识点1　三角形按角分类
三角形
知识点2　三角形的内角和
定理：三角形的内角和等于　180°　.
如图所示，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
图1　　图2
【注意】　①通常我们用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”，把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边；②任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；③任何一个三角形中的最大内角不能小于60°，最小内角不能大于60°.
课堂达标
1.三角形按角分类可以分为 ( A )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B.等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C.直角三角形、等腰直角三角形
D.以上答案都不正确
2.如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为 ( A )
A.45° B.55° C.60° D.75°
第2题图　　第3题图
3.如图，△ABC中，∠A＝40°，∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC＝　90°　.
4.在△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠B－∠A＝30°.
(1)求∠A，∠B，∠C的度数；
(2)△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？
解：(1)由题意，得
解得
(2)因为∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，所以△ABC按角分类，属于直角三角形.△ABC按边分类，属于不等边三角形.
5.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG＝50°.
(1)求∠BFD的度数；
(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝41°，求∠BAC的度数.
解：(1)因为EH⊥BE，所以∠BEH＝90°.因为∠HEG＝50°，所以∠BEG＝40°.又因为EG∥AD，所以∠BFD＝∠BEG＝40°.
(2)因为∠BFD＋∠AFB＝180°，∠AFB＋∠BAD＋∠ABE＝180°，所以∠BFD＝∠BAD＋∠ABE，∠BAD＝∠EBC，所以∠BFD＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC＝40°.因为∠C＝41°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－41°＝99°.
第3课时　三角形中几条重要线段
学习要点
知识点　三角形中几条重要线段
定义 图形 符号语言
角平 分线 三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫三角形的　角平分线　 因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠1＝∠2＝∠BAC
中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫三角形的　中线　 三角形三条边中线交于一点，这个交点就是三角形的　重心　 因为AD是△ABC的BC边上的中线，所以BD＝CD＝BC
高线 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫三角形的　高线　 因为AD是△ABC的BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°或AD⊥BC
课堂达标
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列说法正确的是 ( D )
A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线
B.三角形的高就是顶点到对边的垂线
C.三角形的角平分线就是三角形内角的平分线
D.三角形的高、中线与角平分线均是指线段
2.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，下列结论不一定成立的是 ( D )
A.BC＝2CE
B.∠BAD＝∠BAC
C.∠AFB＝90°
D.AE＝CE
3.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三点在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD；
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)△ABE的面积为　4　.
解：(1)如图，线段AD即为所求.
(2)如图，线段BE即为所求.
4.如图，点D是△ABC的角平分线BM上的一点，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，DG∥AB，交BC于点G，连接EG交BD于点O.DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由.
解：DO平分∠EDG.理由：因为EF∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.因为BD平分∠ABC，所以∠EBD＝∠DBG，所以∠EBD＝∠EDB.因为DG∥AB，所以∠EBD＝∠BDG，所以∠EDB＝∠BDG，所以DO平分∠EDG.
13.2　命题与证明
第1课时　命　题
学习要点
知识点　命题
1.对某一事件作出　正确或不正确　判断的语句(或式子)叫命题.　正确　的命题称为真命题，　错误　的命题称为假命题.
2.以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的　条件　(或题设)，q是这个命题的　结论　(或题断).
3.将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个就叫原命题的　逆命题　.
4.符合命题　条件　，但不满足命题　结论　的例子，我们称之为反例.
课堂达标
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.下列语句不是命题的是 ( D )
A.两点之间线段最短
B.不平行的两条直线有一个交点
C.同位角相等
D.如果x与y互为相反数，那么x与y的和等于0吗
2.下列选项中可以用来说明命题“若x2>1，则x>1”是假命题的反例是 ( D )
A.x＝1 B.x＝－1
C.x＝2 D.x＝－2
3.下列命题中，真命题有 ( B )
①若等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长是9或12；②无理数－在－2和－1之间；③若a－b>0，则a>b；④北偏东30°与南偏东50°的两条射线的夹角为80°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论.
(1)同号两数的和一定不是负数；
(2)若x＝2，则1－5x＝0；
(3)延长线段AB至点C，使B是AC的中点；
(4)互为倒数的两个数的积为1.
解：(1)改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数.
条件是两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数.
(2)改写：如果x＝2，那么1－5x＝0.
条件是x＝2，结论是1－5x＝0.
(3)不是命题.
(4)改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.
条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1.
5.已知命题“如果a＝b，那么|a|＝|b|.”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明.
解：(1)此命题的条件为a＝b，结论为|a|＝|b|.
(2)此命题的逆命题为如果|a|＝|b|，那么a＝b.
(3)此命题的逆命题是假命题，当a，b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a＝2，b＝－2时，|2|＝|－2|，而2≠－2.
第2课时　证　明
学习要点
知识点1　定理
从　基本事实　或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫定理.
知识点2　证明
从已知条件出发，依据　定义　、　基本事实　、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
课堂达标
1.下列不是基本事实的是 ( C )
　　 　 　　　 　 　　　 　 　
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2.能作为证明依据的是 ( D )
A.已知条件 B.定义及基本事实
C.定理及推论 D.以上三项都对
3.试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题.以下是排乱的推理过程：
①∵∠A＝∠C(已知)；
②∵∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；
③∴∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；
④∴∠B＝∠D(等量代换)；
⑤∴∠B＝180°－∠C(等量代换).
正确的顺序是 ( C )
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
4.已知：如图，点D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点.
(1)给出下列三个事项：①DF∥AE；②∠FDE＝∠A；③DE∥BA.请你用其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：　①②　，结论：　③　.(填序号)
证明：∵DF∥AE，∴∠A＝∠DFB.∵∠FDE＝∠A，∴∠FDE＝∠DFB，∴DE∥BA.(答案不唯一)
(2)在(1)的条件下，若∠A＝∠BDF＝2∠EDC，求∠AFD的度数.
解：∵∠FDE＝∠A，∠A＝∠BDF＝2∠EDC，∠FDE＋∠BDF＋∠EDC＝180°，∴∠A＋∠A＋∠A＝180°，∴∠A＝72°.∵DF∥AE，∴∠AFD＝180°－∠A＝108°.
第3课时　三角形内角和定理的证明及推论
学习要点
知识点1　证明命题的一般步骤
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，证明命题的一般步骤是：
(1)根据条件画出图形，并在图形上标出有关　字母　与　符号　；
(2)结合图形，写出　已知、求证　；
(3)分析因果关系，找出证明途径；
(4)有条理地写出证明　过程　.
知识点2　辅助线
1.定义：为了证明的需要，在原来图形上　添画的线　叫辅助线.
2.注意事项：为了区别于图形中的已存在线段，辅助线通常画成　虚线　；叙述辅助线的作法要做到严密性、唯一性.
3.常用的辅助线作法如下：
(1)过一点作已知直线的平行线；
(2)过一点作已知直线的垂线；
(3)作已知角的平分线；
(4)作已知线段的中点；
(5)在已知线段上截取线段等于某线段；
(6)在延长线上取点.
知识点3　三角形内角和定理的推论
1.由基本事实、定理直接得出的　真命题　叫推论.
2.推论1：直角三角形的两锐角　互余　.
3.推论2：有两个角互余的三角形是　直角　三角形.
知识点4　三角形内角和定理的证明
1.证明思路：利用平行线将△ABC的三个内角转化为一个平角或一组同旁内角.
2.常见模型
课堂达标
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是 ( A )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠F的度数为 ( C )
A.62° B.152° C.208° D.236°
第2题图　　第3题图
3.补充并完成下列证明.
已知：△ABC如图所示.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＋∠BAC＋∠B＝180°(　两直线平行，同旁内角互补　)，∠1＝∠C(　两直线平行，内错角相等　).∴　∠BAC＋∠B＋∠C＝180°　(　等量代换　).
4.如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP平分∠AEF，FP平分∠EFC.求证：△EPF是直角三角形.
证明：∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.又∵EP平分∠AEF，FP平分∠EFC，∴∠PEF＋∠PFE＝(∠AEF＋∠CFE)＝×180°＝90°，∴△EPF是直角三角形.
第4课时　三角形的外角
学习要点
知识点　三角形的外角
1.三角形外角的定义
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的　外角　.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质
三角形内角和定理的推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的　和　.
三角形内角和定理的推论4：三角形的外角　大于　与它不相邻的任何一个内角.
3.三角形的外角和等于　360°　.
课堂达标
1.若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为 ( C )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是 ( D )
A.∠1<∠2<∠3 B.∠1<∠3<∠2
C.∠3<∠2<∠1 D.∠2<∠1<∠3
第2题图　　第3题图
3.如图，在△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝ ( B )
A.360° B.260° C.180° D.140°
4.将一副三角板摆成如图所示的形状，图中∠1＝　120°　.
第4题图　　第5题图
5.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为　84°　.
6.已知：如图，△ABC中，∠B＝30°，外角∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，AF∥CE交BC于点F，试求∠BAF的度数.
解：∵∠ACD为△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B＋∠BAC，∴∠BAC＝∠ACD－∠B＝100°－30°＝70°.∵∠ACD＝100°，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACD＝×100°＝50°.∵AF∥CE，∴∠CAF＝∠ACE＝50°，∴∠BAF＝∠BAC－∠CAF＝70°－50°＝20°.
7.如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.求：
(1)∠ACD的度数；
(2)∠AEC的度数.
解：(1)∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，∴∠ACD＝25°＋31°＝56°.
(2)∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝28°，∴∠AEC＝∠ECD＋∠D＝28°＋90°＝118°.

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