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湖南省益阳市万源教育集团2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·益阳开学考）已知函数是反比例函数，且当时，随着的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·益阳开学考）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．5 B．12 C．-5 D．-12
3．（2024九上·益阳开学考）若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·益阳开学考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·益阳开学考）若关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
6．（2024九上·益阳开学考）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
7．（2024九上·益阳开学考）已知：如图1，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为，则t的值为（　　）s时，．
A． B． C． D．t不存在
8．（2024九上·益阳开学考）设一元二次方程x2-3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．3
9．（2024九上·益阳开学考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32-x）（20-x）＝32×20-570 B．32x+2×20x＝32×20-570
C．（32-2x）（20-x）＝570 D．32x+2×20x-2x2＝570
10．（2024九上·益阳开学考）一元二次方程，配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（2024九上·益阳开学考）如图，的直角顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，斜边交轴于点，若轴，，面积为，则的值为　 　．
12．（2024九上·益阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为，点在轴上，点在反比例函数上的图象上，则的值为　 　．
13．（2024九上·益阳开学考）若关于的方程的一个根是，则的值为　 　．
14．（2024九上·益阳开学考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
15．（2024九上·益阳开学考）设，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
16．（2024九上·益阳开学考）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 　．
17．（2024九上·益阳开学考）如图，点、分别在函数，的图象上，点、在轴上，若四边形为正方形，点在第二象限，则的坐标为　 　．
18．（2024九上·益阳开学考）如图，过原点的直线交双曲线于A、B两点，点C在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为　 　．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（2024九上·益阳开学考）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（-1，n），B（2，-1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
20．（2024九上·益阳开学考）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，．
（1）求反比例函数和所在直线的解析式；
（2）将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？
21．（2024九上·益阳开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
22．（2024九上·益阳开学考）某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？
23．（2024九上·益阳开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的根，求代数式的值．
24．（2024九上·益阳开学考） 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
25．（2024九上·益阳开学考）已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴m 2≠0且，
解得m＝±3，
∵当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴m-2＜0，
∴m＝ 3．
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数的定义得出m的值，再由当x＜0时，y随着x的增大而增大即可得出m-2范围，即可确定m的值．
2．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：点A，点B都不在反比例函数的图象上
∴-3×3解得：-9故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上的点的坐标特征列出不等式，解不等式即可求出答案。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点、、在反比例函数的图象上，
、在第一象限，，
在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征k0，每一象限内y随x的增大而减小，第一象限的y值大于第三象限值，比较后即可得出结论．
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20，
∴xy=10，
∴y是x的反比例函数，
∵2≤x≤10，
∴答案为A．
故答案为：A．
【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，可得到函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象的选项．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0有一个根为0，∴令x=0，得m＝0.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的根的定义，代入即可求解参数.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，
解得：．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝，
∴，
∴m＝3．
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系结合得到，即可得出关于m的方程，解出后即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值．
7．【答案】D
【知识点】平移的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】作于点F，于点E，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则由勾股定理得：，
∵作，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，，
由平移的性质得，，
∴M到的距离，
∴是面积；
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
整理得，，
∵，
∴该方程无实数根，
∴不存在某一时刻t，．
故答案为：D．
【分析】作于点F，于点E，利用勾股定理求出AC的长；再利用面积法求的长，利用勾股定理计算的长；由AE∥PF可证明，利用相似三角形的性质可表示出的长，根据面积公式计算△QCM是面积；根据同底等高的两个三角形面积相等得：，由已知得：，然后得到关于t一元二次方程求解即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
根据根与系数的关系得：
，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
9．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设道路的宽为xm，
根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故答案为：C.
【分析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，得出拼成的矩形长为（32-2x）m，宽为（20-x）m，再根据草坪的面积是570m2列出方程，即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即．
故答案为：A.
【分析】根据配方步骤，方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
11．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，面积为
则，
∴．
∵AC∥BF，
∴，
∴OB＝2EC，
∴可设，则，
∵AC∥x轴，
∴，
∴，
把②代入①，得，
∴，
∴，
∴＝ 4．
故答案为： 4．
【分析】设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出，由反比例函数比例系数k的几何意义得出．根据平行线分线段成比例定理得出
，那么OB＝2EC，由此可设，则，根据AC∥x轴，得出，即，把②代入①，求出，再求出，进而得出结论．
12．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接AC交OB于D，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，，
∵CD⊥y轴，
∴，
即，
而k＜0，
∴k＝ 4．
故答案为： 4．
【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
13．【答案】15
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：方程的一个根是
把代入，得，
解得m＝15．
故答案为：15．
【分析】把x＝3代入得，然后解关于m的方程即可．
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程的一个根，
把代入方程得，
整理得，解得，
关于的一元二次方程，
k≠0，所以k的值为 3．
故答案为： 3.
【分析】把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．
15．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴==-5，
故答案为-5.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，再将通分，然后整体代入求值.
16．【答案】k=1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2
得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，
△=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，
∴k＞，
∵x12+x22=11，
∴（x1+x2）2-2x1x2=11，
∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，
解得k=1或-3；
∵k＞，
故答案为k=1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，再根据x12+x22=11，可得（2k+1）2-2（k2-2）=11，再求出k的值即可。
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接AO、DO，
则，同理，
∴，
∴，
∴AB＝2，
即A点纵坐标为2，代入，得A点横坐标为，
即点A，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，确定，进而得到，根据正方形的性质可求出AB的值，确定点A的纵坐标，代入求出点A的横坐标即可．
18．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OC，过点B作BD⊥OD，
∴S△AOE=
根据反比例函数的对称性可得AE=BD，
∴S△ABC=S△AOC+S△OBC=×OC×AE+×OC×BD=2S△AOC
∵=AO
∴△AOC是等腰三角形，
∵AE⊥OC
∴E为CO中点
∴S△AOC=2S△AOE=2×，则S△ABC=2S△AOC=2=6
∴k=±3，
∵函数在一、三象限，故k=3
故答案为：3．
【分析】利用反比例函数的几何意义可得到S△AOE=，利用反比例函数的对称性和等腰三角形的性质可得到关于k的方程，解方程求出k的值，观察函数图象所在的象限，可得到k的值.
19．【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点B（2，－1），
∴m＝－2．……
∵点A（－1，n）在 的图象上，∴n＝2．∴A（－1，2）．
把点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1，反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵直线y＝－x＋1交y轴于点C，∴C（0，1）．
∵点D与点C关于x轴对称，∴D（0，－1）．∵B（2，－1），∴BD∥x轴．
∴S△ABD＝ ×2×3＝3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【分析】（1）先求出n＝2 ，再求出A（－1，2） ，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出C（0，1） ，再求出D（0，－1） ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．【答案】（1）解：所在直线的解析式为，其中点，将点坐标代入得：
，
解得：，
所在直线的解析式为；
，，
，
，
点在反比例函数第一象限的图象上，
；
反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，，
，
将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，由平移的性质得到，，
由题意得，
当时，四边形是平行四边形，
由知反比例函数的解析式为，
点在点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即当为时，四边形是平行四边形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法求得AC所在直线的解析式为y＝2x＋4，进而求出C点的坐标（1，6），即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式；
（2）由于OD∥EC'，故当EC'＝OD＝4时，四边形ODC'E是平行四边形，由题意可得E点的横坐标为1＋m，得到E点的纵坐标为，由，解方程即可求得m.
21．【答案】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
，，
反比例函数解析式为，
一次函数图象过，，
，解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可知，不等式的解集为：或．
（3）在一次函数中，当时，；当时，，
，
，
，
设点大坐标为，
，
解得，
点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由于交点，，直接用待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可；
（3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P的坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标．
22．【答案】解：设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件应降价6元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每件应降价x元，则每件盈利元，同时可得到每天可售出的数量，再根据每天销售该服装获得的利润＝每件的利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
23．【答案】（1）证明：
，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把代入方程得，
即，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可．
（2）先根据一元二次方程根的定义把代入方程，化简后得，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
24．【答案】（1）解：设该款吉样物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
则
解得（舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
（2）设该款吉祥物降价元.
则
解得(舍去)
元
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设五，六这两个月的月平均增长率为x，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解出取其正值即可.
(2)设吉祥物降价y元，则每件获利（58-35-y）元，月销售量为（400+20y）件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解出取正值即可.
25．【答案】（1）证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先计算△，化简得到，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论当、为腰和当、为腰时列式计算，依据三角形三边关系进行取舍，最后计算周长.
1 / 1湖南省益阳市万源教育集团2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·益阳开学考）已知函数是反比例函数，且当时，随着的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴m 2≠0且，
解得m＝±3，
∵当x＜0时，y随着x的增大而增大，
∴m-2＜0，
∴m＝ 3．
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数的定义得出m的值，再由当x＜0时，y随着x的增大而增大即可得出m-2范围，即可确定m的值．
2．（2024九上·益阳开学考）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（　　）
A．5 B．12 C．-5 D．-12
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：点A，点B都不在反比例函数的图象上
∴-3×3解得：-9故答案为：C
【分析】根据反比例函数的图象上的点的坐标特征列出不等式，解不等式即可求出答案。
3．（2024九上·益阳开学考）若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点、、在反比例函数的图象上，
、在第一象限，，
在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征k0，每一象限内y随x的增大而减小，第一象限的y值大于第三象限值，比较后即可得出结论．
4．（2024九上·益阳开学考）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20，
∴xy=10，
∴y是x的反比例函数，
∵2≤x≤10，
∴答案为A．
故答案为：A．
【分析】先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，可得到函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象的选项．
5．（2024九上·益阳开学考）若关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0有一个根为0，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0有一个根为0，∴令x=0，得m＝0.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的根的定义，代入即可求解参数.
6．（2024九上·益阳开学考）已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∵，
解得：．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝，
∴，
∴m＝3．
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系结合得到，即可得出关于m的方程，解出后即可得出m的值，再由根的判别式Δ＞0，即可确定m的值．
7．（2024九上·益阳开学考）已知：如图1，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为，则t的值为（　　）s时，．
A． B． C． D．t不存在
【答案】D
【知识点】平移的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】作于点F，于点E，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则由勾股定理得：，
∵作，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，，
由平移的性质得，，
∴M到的距离，
∴是面积；
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
整理得，，
∵，
∴该方程无实数根，
∴不存在某一时刻t，．
故答案为：D．
【分析】作于点F，于点E，利用勾股定理求出AC的长；再利用面积法求的长，利用勾股定理计算的长；由AE∥PF可证明，利用相似三角形的性质可表示出的长，根据面积公式计算△QCM是面积；根据同底等高的两个三角形面积相等得：，由已知得：，然后得到关于t一元二次方程求解即可．
8．（2024九上·益阳开学考）设一元二次方程x2-3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为（　　）
A．1 B．-1 C．0 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
根据根与系数的关系得：
，，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.
9．（2024九上·益阳开学考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32-x）（20-x）＝32×20-570 B．32x+2×20x＝32×20-570
C．（32-2x）（20-x）＝570 D．32x+2×20x-2x2＝570
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设道路的宽为xm，
根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，
故答案为：C.
【分析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，得出拼成的矩形长为（32-2x）m，宽为（20-x）m，再根据草坪的面积是570m2列出方程，即可得出答案．
10．（2024九上·益阳开学考）一元二次方程，配方后可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即．
故答案为：A.
【分析】根据配方步骤，方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．（2024九上·益阳开学考）如图，的直角顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，斜边交轴于点，若轴，，面积为，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，面积为
则，
∴．
∵AC∥BF，
∴，
∴OB＝2EC，
∴可设，则，
∵AC∥x轴，
∴，
∴，
把②代入①，得，
∴，
∴，
∴＝ 4．
故答案为： 4．
【分析】设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出，由反比例函数比例系数k的几何意义得出．根据平行线分线段成比例定理得出
，那么OB＝2EC，由此可设，则，根据AC∥x轴，得出，即，把②代入①，求出，再求出，进而得出结论．
12．（2024九上·益阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，菱形的面积为，点在轴上，点在反比例函数上的图象上，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接AC交OB于D，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，，
∵CD⊥y轴，
∴，
即，
而k＜0，
∴k＝ 4．
故答案为： 4．
【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
13．（2024九上·益阳开学考）若关于的方程的一个根是，则的值为　 　．
【答案】15
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：方程的一个根是
把代入，得，
解得m＝15．
故答案为：15．
【分析】把x＝3代入得，然后解关于m的方程即可．
14．（2024九上·益阳开学考）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程的一个根，
把代入方程得，
整理得，解得，
关于的一元二次方程，
k≠0，所以k的值为 3．
故答案为： 3.
【分析】把代入方程得，然后解方程后利用一元二次方程的定义确定k的值．
15．（2024九上·益阳开学考）设，是方程的两个实数根，则的值为　 　．
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-3，
∴==-5，
故答案为-5.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，再将通分，然后整体代入求值.
16．（2024九上·益阳开学考）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 　．
【答案】k=1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2
得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，
△=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，
∴k＞，
∵x12+x22=11，
∴（x1+x2）2-2x1x2=11，
∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，
解得k=1或-3；
∵k＞，
故答案为k=1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，再根据x12+x22=11，可得（2k+1）2-2（k2-2）=11，再求出k的值即可。
17．（2024九上·益阳开学考）如图，点、分别在函数，的图象上，点、在轴上，若四边形为正方形，点在第二象限，则的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接AO、DO，
则，同理，
∴，
∴，
∴AB＝2，
即A点纵坐标为2，代入，得A点横坐标为，
即点A，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，确定，进而得到，根据正方形的性质可求出AB的值，确定点A的纵坐标，代入求出点A的横坐标即可．
18．（2024九上·益阳开学考）如图，过原点的直线交双曲线于A、B两点，点C在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥OC，过点B作BD⊥OD，
∴S△AOE=
根据反比例函数的对称性可得AE=BD，
∴S△ABC=S△AOC+S△OBC=×OC×AE+×OC×BD=2S△AOC
∵=AO
∴△AOC是等腰三角形，
∵AE⊥OC
∴E为CO中点
∴S△AOC=2S△AOE=2×，则S△ABC=2S△AOC=2=6
∴k=±3，
∵函数在一、三象限，故k=3
故答案为：3．
【分析】利用反比例函数的几何意义可得到S△AOE=，利用反比例函数的对称性和等腰三角形的性质可得到关于k的方程，解方程求出k的值，观察函数图象所在的象限，可得到k的值.
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（2024九上·益阳开学考）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（-1，n），B（2，-1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点B（2，－1），
∴m＝－2．……
∵点A（－1，n）在 的图象上，∴n＝2．∴A（－1，2）．
把点A，B的坐标代入y＝kx＋b，得
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋1，反比例函数的表达式为 ；
（2）解：∵直线y＝－x＋1交y轴于点C，∴C（0，1）．
∵点D与点C关于x轴对称，∴D（0，－1）．∵B（2，－1），∴BD∥x轴．
∴S△ABD＝ ×2×3＝3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点一垂线型
【解析】【分析】（1）先求出n＝2 ，再求出A（－1，2） ，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出C（0，1） ，再求出D（0，－1） ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
20．（2024九上·益阳开学考）如图，的直角边在轴上，，边交轴于点，点在反比例函数第一象限的图象上，所在直线的解析式为，其中点，．
（1）求反比例函数和所在直线的解析式；
（2）将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，线段与反比例函数的图象交于点，问当为何值时，四边形是平行四边形？
【答案】（1）解：所在直线的解析式为，其中点，将点坐标代入得：
，
解得：，
所在直线的解析式为；
，，
，
，
点在反比例函数第一象限的图象上，
；
反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，，
，
将的边直角边沿着轴正方向平移个单位长度得到线段，由平移的性质得到，，
由题意得，
当时，四边形是平行四边形，
由知反比例函数的解析式为，
点在点在反比例函数第一象限的图象上，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
，
解得，
即当为时，四边形是平行四边形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法求得AC所在直线的解析式为y＝2x＋4，进而求出C点的坐标（1，6），即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式；
（2）由于OD∥EC'，故当EC'＝OD＝4时，四边形ODC'E是平行四边形，由题意可得E点的横坐标为1＋m，得到E点的纵坐标为，由，解方程即可求得m.
21．（2024九上·益阳开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
，，
反比例函数解析式为，
一次函数图象过，，
，解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象可知，不等式的解集为：或．
（3）在一次函数中，当时，；当时，，
，
，
，
设点大坐标为，
，
解得，
点．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由于交点，，直接用待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可；
（3）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P的坐标为利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标．
22．（2024九上·益阳开学考）某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？
【答案】解：设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每件应降价6元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每件应降价x元，则每件盈利元，同时可得到每天可售出的数量，再根据每天销售该服装获得的利润＝每件的利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
23．（2024九上·益阳开学考）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的根，求代数式的值．
【答案】（1）证明：
，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把代入方程得，
即，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可．
（2）先根据一元二次方程根的定义把代入方程，化简后得，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算．
24．（2024九上·益阳开学考） 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）解：设该款吉样物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
则
解得（舍去）
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为.
（2）设该款吉祥物降价元.
则
解得(舍去)
元
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设五，六这两个月的月平均增长率为x，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解出取其正值即可.
(2)设吉祥物降价y元，则每件获利（58-35-y）元，月销售量为（400+20y）件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解出取正值即可.
25．（2024九上·益阳开学考）已知关于的一元二次方程：．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
【答案】（1）证明：
，
无论取什么实数值，，
，
无论取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：，
，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，即，解得，此时三角形的周长；
当、为腰时，，此时，故此种情况不存在．
综上所述，的周长为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先计算△，化简得到，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论当、为腰和当、为腰时列式计算，依据三角形三边关系进行取舍，最后计算周长.
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