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湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九上·长沙开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：不是最简二次根式，故错误；
B：不是最简二次根式，故错误；
C：不是最简二次根式，故错误；
D：是最简二次根式，故正确；
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
2．（2024九上·长沙开学考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此不能表示y是x的函数的是选项C中的曲线，故C符合题意；
表示y是x的函数的是选项A、B、D中的曲线，故A、B、D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
3．（2024九上·长沙开学考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 （　　）
A．25 B．7 C．5或 D．7或25
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当边长为4的边为斜边时，第三边的平方为；
当边长为4的边为直角边时，第三边的平方为；
故答案为：D.
【分析】由题意4这条边可以为直角边，也可以是斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
4．（2024九上·长沙开学考）在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为(　　)
A．81、82、81 B．81、81、76.5
C．83、81、77 D．81、81、81
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中81是出现次数最多的，故众数是81；
平均数为=81；
而将这组数据从小到大的顺序排列（72，77，79，81，81，81，82，83，85，89)，处于中间位置的那个数是81、81．
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（81+81)÷2=81．
故选D．
【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．（2024九上·长沙开学考）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝x+a不经过第二象限，
∴，
当a<0时， 方程ax2+2x+1＝0 是一元二次方程，
∵b2-4ac=4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a=0时，
方程ax2+2x+1＝0变为2x+1=0，解得，.
因此， 方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是 1或2 。
故答案为： 1或2 .
【分析】 直线y＝x+a不经过第二象限可得，分两种情况，结合一元二次方程根的判别式求解。
6．（2024九上·长沙开学考）抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（﹣5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为 （　　）
A．（3，0） B．（﹣3，0）
C．（，0） D．不能确定，与a的值有关
【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点为（ 5，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（ 1×2＋5，0），即（3，0）．
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
7．（2024九上·长沙开学考）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的性质得出，得出或或，且，从而得出或或，即可得出答案.
8．（2024九上·长沙开学考）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，
如图所示：
∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，
∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0），
设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得0=400a+16，解得，
∴抛物线解析式为，
当x=5时，，
∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米，
故选：D．
【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式，再将x=5代入计算，即可求解，其中掌握二次函数的解析式的三种形式：一般式、顶点式和交点式，合理应用待定系数法求解是解答的关键.
9．（2024九上·长沙开学考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，故③错误；
④当x＝ 1，b＝ 2a时，y＝a b＋c＝a （ 2a）＋c＞0，
∴3a＋c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a＋b＋c，
而当x＝m时，，
所以a＋b＋c≤，
故a＋b≤，即a＋b≤m（am＋b），故⑤正确，
⑥当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑥正确，
综上共有4个正确；
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
10．（2024九上·长沙开学考）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△DEF由△DEA翻折而成，所以EF=AE=5，
在Rt△BEF中，因为EF=5，BF=3，所以，
则AB=AE+BE=5+4=9，
因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=9
故选：C．
【分析】根据图形的翻折变换，得到EF=AE=5，在直角△BEF中，利用勾股定理求得BE=4，再结合矩形的性质，即可求解.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九上·长沙开学考）将直线y＝﹣x﹣5向上平移5个单位，得到直线　 　．
【答案】y＝﹣x
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线y＝ x 5向上平移5个单位，得到直线：y＝ x 5＋5，即y＝ x，
故答案为：y＝﹣x.
【分析】利用一次函数“上加下减”的平移规律求解即可．
12．（2024九上·长沙开学考）甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是　 　（填甲或乙）
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：因为 ，方差S甲2＜S乙2，所以成绩较稳定的同学是甲，
故答案为：甲．
【分析】先根据方差表示的意义，结合甲、乙两位同学的方差大小，即可得出成绩较稳定的同学是谁，得到答案，其中样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大.
13．（2024九上·长沙开学考）如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于点 ，如图所示.
∵ 是 的平分线，
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴BC=BE，
∴ ，
∴ .
∴平行四边形 的面积为 .
故答案为： .
【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质得出，根据等角对等边得出AD=DE=3，再根据 证明BC=BE，由此根据等腰三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.
14．（2024九上·长沙开学考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴点，
当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】将点A的坐标代入直线，可求出m的值，观察函数图象可得到在直线的下方所对应的自变量x的范围.
15．（2024九上·长沙开学考）设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则m2+2m+n＝　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，
∴m＋n＝ 1，
∵m是原方程的根，
∴，即，
∴m2+2m+n＝＝3＋（ 1）＝2，
故答案为：2．
【分析】根据根与系数的关系可知m＋n＝ 1，又知m是方程的根，所以可得，最后可将m2+2m+n变成，最终整体代入可得答案．
16．（2024九上·长沙开学考）已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为
【答案】2或﹣6.5
【知识点】二次函数的最值；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：∵，当 1≤x≤4时，y的最小值是 12，
∴当a＞4时，x＝4取得最小值，则，解得，a＝3.5（舍去），
当 1≤a≤4时，x＝a取得最小值，则，解得，，
当a＜ 1时，x＝ 1取得最小值，则，解得，a＝ 6.5，
故答案为：2或﹣6.5.
【分析】利用分类讨论的数学方法，根据函数解析式转成顶点式，得到对称轴x=a，讨论a与给定范围的-1和4的大小关系根据二次函数性质确定最小值时x的值，带入进行求解即可．
三、解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（2024九上·长沙开学考）解方程
①x2﹣x﹣12＝0
②2x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】解：①x2﹣x﹣12＝0，
（x 4）（x＋3）＝0，
则x 4＝0，x＋3＝0
解得：；
②a＝2，b＝ 4，c＝ 5，
，
则，
则方程的解是：
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】①利用因式分解法即可求解；
②利用公式法即可求解．
18．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求△AOD的面积．
【答案】（1）解∵点A（m，2）在y＝2x图象上，
∴2＝2m，解得：m＝1．
∴A（1，2）
∵点A（1，2）和点B（ 2， 1）在y＝kx＋b图象上，
∴
，
解得：
，
∴一次函数解析式为：y＝x＋1．
y＝x+1
（2）如图，过A作AE⊥x轴于E，
∵一次函数解析式为：y＝x＋1，
∴y＝0时，0＝x＋1，解得x＝ 1，
∴点D坐标为（ 1，0），
∴OD＝1，
∵A（1，2），
∴AE＝2，
∴S△AOD＝OD AE＝×1×2＝1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）由点A（m，2）在y＝2x图象上得到2＝2m，解得m＝1，得到A（1，2），再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）过A作AE⊥x轴于点E，求出点D坐标为（ 1，0），则OD＝1，由A（1，2）得到AE＝2，利用三角形的面积公式即可得到答案．
19．（2024九上·长沙开学考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤
（2）解：由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤ ，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．可知其根的判别式应该不为负数，从而列出不等式，求解得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，根据完全平方公式的恒等变形得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=11，再整体代入得出方程，求解得出k的值，再检验即可得出答案。
20．（2024九上·长沙开学考）学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目．按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．
李文和孔明两位同学的各项成绩如下表：
项 目 选 手 形 象 知识面 普通话
李 文 70 80 88
孔 明 80 75 x
（1）计算李文同学的总成绩；
（2）若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过多少分？
【答案】（1）解：（1）70×10%＋80×40%＋88×50%＝83（分）
（2）80×10%＋75×40%＋50% x＞83，
∴x＞90．
∴李文同学的总成绩是83分，孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过90分
【知识点】一元一次不等式的应用；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）按照各项目所占比求得总成绩；
（2）各项目所占比求得总成绩大于83分即可，列出不等式求解．
21．（2024九上·长沙开学考） 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）典型的应用一元二次方程解决几何问题，设出未知量，根据给出的面积列出等量关系式，求解即可；（2）同理，根据给出的面积列出等量关系式，求解过程中发现判别式小于0即在实数范围内无解，故可得出结论“无法实现”。
22．（2024九上·长沙开学考）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF
（2）解：如图，连接OB．
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°．
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO．
∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵BC＝，
∴AC＝2BC＝，
∴AB＝＝＝6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长．
23．（2024九上·长沙开学考）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx＋b，
把（50，50），（80，20）代入得：
，
解得，
∴y＝ x＋100，
令y＝0，则 x＋100＝0，
解得x＝100，
∵成本价为每千克40元，
∴自变量x的取值范围为40＜x＜100，
∴y与x的函数关系式为y＝ x＋100（40＜x＜100）
（2）设日销售利润为w元，
则w＝（x 40）y＝（x 40）（ x＋100）=
∵ 1＜0，∴有最大值，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为900，
∴当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大利润是900元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象，用待定系数法求出函数解析式，并结合实际情况求出自变量的取值范围；
（2）设日销售利润为w元，根据日销售利润＝每千克的利润×销售量列出函数解析式．
24．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　 　；②y＝x2﹣1 　 　；③y＝x2+4 　 　．
（2）若抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】（1）√；√；×
（2）∵抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，
∴3x＝y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1，
整理得
∴Δ＝ 2m＋2≥0，
∴m≤1，
∵
∴t＝，
∴当m＝1时，t有最小值
（3）∵函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，
∴
x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得，
∵函数的“一中点”是唯一的，
∴，
∴，
当 1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2 c＝c，
∴c＝1；
当c≥2时，，
解得c＝或（舍去）；
当c≤ 1时，，
整理得，
∴方程无解；
综上所述：c的值为1或3+
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①当3x＝2x 1，解得x＝ 1，
∴点（ 1， 3）在y＝2x 1上，
∴y＝2x 1存在一中点”（ 1， 3），
故答案为：√；
②当3x＝x2﹣1 ，解得
∴点在y＝x2 1 上，
∴y＝x2﹣1上存在两个“一中点”，
故答案为：√；
③当3x＝x2+4 时，
∵Δ＝9 16＜0，
∴y＝x2+4 上不存在“一中点”，
故答案为：×；
【分析】（1）根据“一中点”定义进行判断即可；
（2）由定义可得3x＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1，再由判别式Δ＝m 1≥0，求出m≤1，根据根与系数的关系可得，当m＝1时，t有最小值；
（3）由定义可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由题意可知，得到，当 1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值求出c的值；当c≥2时，当b＝2时，a有最小值求出c的值；当c≤ 1时，当b＝ 1时，a有最小值，求出c的值．
25．（2024九上·长沙开学考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）点A（2，6）的“坐标差”为　 　；
（2）求抛物线y＝﹣x2+5x+4的“特征值”；
（3）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；
（4）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【答案】（1）4
（2）解：y x＝﹣x2+5x+4 x＝＝，
特征值是8；
（3）解：由题意，得点C的为（0，c），
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（ c，0），把B（ c，0）代入y＝﹣x2+bx+cc，得：
，
∴b＝1 c，
∴，
∵二次函数的“特征值”为 1．
∴，
∴
，
∴c＝ 2，∴b＝3，
∴二次函数的解析式为；
（4）解：“坐标差”为2的一次函数为y＝x＋2，
∵二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在直线y＝x＋2上，
∴设二次函数为，二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，
把（1，3）代入，得，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴
，特征值是；
把（7，3）代入，得，
解得，
二次函数的表达式为：，
∴
，特征值是.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：6 2＝4，∵A（2，6），∴“坐标差”为4，故答案为：4；
【分析】（1）根据题目中的规定易得结论；
（2）根据定义求出y x是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；
（3）先求得抛物线与y轴的交点C（0，c），则点B的坐标为（ c，0），把点B的坐标代入二次函数解析式得到b＝1 c，再将b＝1 c代回二次函数解析式，求出特征值y x的代数式，然后由坐标值为 1求出c的值，继而求出b的值，即可求出二次函数解析式；
（4）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y＝x＋2，由二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在直线y＝x＋2上，用顶点式可设二次函数为．在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线y＝x＋2与FE的交点上时（如图①）；②抛物线右侧部分经过点E时（如图②）．然后分别把（1，3）、（7，3）分别代入，解得m的值，即可求出二次函数解析式，继而求出其特征值．
1 / 1湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024九上·长沙开学考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长沙开学考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是 （　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·长沙开学考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 （　　）
A．25 B．7 C．5或 D．7或25
4．（2024九上·长沙开学考）在某一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85、81、89、81、72、82、77、81、79、83则这组数据的众数、平均数与中位数分别为(　　)
A．81、82、81 B．81、81、76.5
C．83、81、77 D．81、81、81
5．（2024九上·长沙开学考）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
6．（2024九上·长沙开学考）抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴的一个交点的坐标为（﹣5，0），则它与x轴的另一个交点的坐标为 （　　）
A．（3，0） B．（﹣3，0）
C．（，0） D．不能确定，与a的值有关
7．（2024九上·长沙开学考）抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．或 D．以上都不对
8．（2024九上·长沙开学考）如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
9．（2024九上·长沙开学考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024九上·长沙开学考）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024九上·长沙开学考）将直线y＝﹣x﹣5向上平移5个单位，得到直线　 　．
12．（2024九上·长沙开学考）甲、乙两同学参加跳远训练，在相同条件下各跳了6次，统计两人的成绩得；平均数x甲＝x乙，方差S2甲＜S2乙，则成绩较稳定的是　 　（填甲或乙）
13．（2024九上·长沙开学考）如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为　 　.
14．（2024九上·长沙开学考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为　 　．
15．（2024九上·长沙开学考）设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则m2+2m+n＝　 　．
16．（2024九上·长沙开学考）已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为
三、解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（2024九上·长沙开学考）解方程
①x2﹣x﹣12＝0
②2x2﹣4x﹣5＝0．
18．（2024九上·长沙开学考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，2），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）若一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），求一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求△AOD的面积．
19．（2024九上·长沙开学考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
20．（2024九上·长沙开学考）学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目．按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．
李文和孔明两位同学的各项成绩如下表：
项 目 选 手 形 象 知识面 普通话
李 文 70 80 88
孔 明 80 75 x
（1）计算李文同学的总成绩；
（2）若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过多少分？
21．（2024九上·长沙开学考） 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22．（2024九上·长沙开学考）如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
23．（2024九上·长沙开学考）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
24．（2024九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（﹣1，3﹣3），……都是“一中点”．例如：抛物线y＝x2﹣4上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（﹣1，﹣3）．
（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．
①y＝2x﹣1 　 　；②y＝x2﹣1 　 　；③y＝x2+4 　 　．
（2）若抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，且与直线y＝3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令t＝+，求t的最小值；
（3）若函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b≤2时，a的最小值为c，求c的值．
25．（2024九上·长沙开学考）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）点A（2，6）的“坐标差”为　 　；
（2）求抛物线y＝﹣x2+5x+4的“特征值”；
（3）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；
（4）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：不是最简二次根式，故错误；
B：不是最简二次根式，故错误；
C：不是最简二次根式，故错误；
D：是最简二次根式，故正确；
故答案为：D.
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
2．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此不能表示y是x的函数的是选项C中的曲线，故C符合题意；
表示y是x的函数的是选项A、B、D中的曲线，故A、B、D不符合题意．
故答案为：C.
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当边长为4的边为斜边时，第三边的平方为；
当边长为4的边为直角边时，第三边的平方为；
故答案为：D.
【分析】由题意4这条边可以为直角边，也可以是斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中81是出现次数最多的，故众数是81；
平均数为=81；
而将这组数据从小到大的顺序排列（72，77，79，81，81，81，82，83，85，89)，处于中间位置的那个数是81、81．
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（81+81)÷2=81．
故选D．
【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小)重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 直线y＝x+a不经过第二象限，
∴，
当a<0时， 方程ax2+2x+1＝0 是一元二次方程，
∵b2-4ac=4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
当a=0时，
方程ax2+2x+1＝0变为2x+1=0，解得，.
因此， 方程ax2+2x+1＝0的实数解的个数是 1或2 。
故答案为： 1或2 .
【分析】 直线y＝x+a不经过第二象限可得，分两种情况，结合一元二次方程根的判别式求解。
6．【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点为（ 5，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（ 1×2＋5，0），即（3，0）．
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的性质得出，得出或或，且，从而得出或或，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，
如图所示：
∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，
∴抛物线顶点C（0，16），A（20，0），B（20，0），
设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（20，0）代入得0=400a+16，解得，
∴抛物线解析式为，
当x=5时，，
∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米，
故选：D．
【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式，再将x=5代入计算，即可求解，其中掌握二次函数的解析式的三种形式：一般式、顶点式和交点式，合理应用待定系数法求解是解答的关键.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，故③错误；
④当x＝ 1，b＝ 2a时，y＝a b＋c＝a （ 2a）＋c＞0，
∴3a＋c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a＋b＋c，
而当x＝m时，，
所以a＋b＋c≤，
故a＋b≤，即a＋b≤m（am＋b），故⑤正确，
⑥当x＞1时，y随x的增大而增大，故⑥正确，
综上共有4个正确；
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为△DEF由△DEA翻折而成，所以EF=AE=5，
在Rt△BEF中，因为EF=5，BF=3，所以，
则AB=AE+BE=5+4=9，
因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=9
故选：C．
【分析】根据图形的翻折变换，得到EF=AE=5，在直角△BEF中，利用勾股定理求得BE=4，再结合矩形的性质，即可求解.
11．【答案】y＝﹣x
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线y＝ x 5向上平移5个单位，得到直线：y＝ x 5＋5，即y＝ x，
故答案为：y＝﹣x.
【分析】利用一次函数“上加下减”的平移规律求解即可．
12．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：因为 ，方差S甲2＜S乙2，所以成绩较稳定的同学是甲，
故答案为：甲．
【分析】先根据方差表示的意义，结合甲、乙两位同学的方差大小，即可得出成绩较稳定的同学是谁，得到答案，其中样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点 作 于点 ，如图所示.
∵ 是 的平分线，
∴ .
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴BC=BE，
∴ ，
∴ .
∴平行四边形 的面积为 .
故答案为： .
【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质得出，根据等角对等边得出AD=DE=3，再根据 证明BC=BE，由此根据等腰三角形的三线合一及勾股定理求出BF，即可求出平行四边形的面积.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴点，
当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】将点A的坐标代入直线，可求出m的值，观察函数图象可得到在直线的下方所对应的自变量x的范围.
15．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，
∴m＋n＝ 1，
∵m是原方程的根，
∴，即，
∴m2+2m+n＝＝3＋（ 1）＝2，
故答案为：2．
【分析】根据根与系数的关系可知m＋n＝ 1，又知m是方程的根，所以可得，最后可将m2+2m+n变成，最终整体代入可得答案．
16．【答案】2或﹣6.5
【知识点】二次函数的最值；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：∵，当 1≤x≤4时，y的最小值是 12，
∴当a＞4时，x＝4取得最小值，则，解得，a＝3.5（舍去），
当 1≤a≤4时，x＝a取得最小值，则，解得，，
当a＜ 1时，x＝ 1取得最小值，则，解得，a＝ 6.5，
故答案为：2或﹣6.5.
【分析】利用分类讨论的数学方法，根据函数解析式转成顶点式，得到对称轴x=a，讨论a与给定范围的-1和4的大小关系根据二次函数性质确定最小值时x的值，带入进行求解即可．
17．【答案】解：①x2﹣x﹣12＝0，
（x 4）（x＋3）＝0，
则x 4＝0，x＋3＝0
解得：；
②a＝2，b＝ 4，c＝ 5，
，
则，
则方程的解是：
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】①利用因式分解法即可求解；
②利用公式法即可求解．
18．【答案】（1）解∵点A（m，2）在y＝2x图象上，
∴2＝2m，解得：m＝1．
∴A（1，2）
∵点A（1，2）和点B（ 2， 1）在y＝kx＋b图象上，
∴
，
解得：
，
∴一次函数解析式为：y＝x＋1．
y＝x+1
（2）如图，过A作AE⊥x轴于E，
∵一次函数解析式为：y＝x＋1，
∴y＝0时，0＝x＋1，解得x＝ 1，
∴点D坐标为（ 1，0），
∴OD＝1，
∵A（1，2），
∴AE＝2，
∴S△AOD＝OD AE＝×1×2＝1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）由点A（m，2）在y＝2x图象上得到2＝2m，解得m＝1，得到A（1，2），再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）过A作AE⊥x轴于点E，求出点D坐标为（ 1，0），则OD＝1，由A（1，2）得到AE＝2，利用三角形的面积公式即可得到答案．
19．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤
（2）解：由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤ ，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．可知其根的判别式应该不为负数，从而列出不等式，求解得出k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，根据完全平方公式的恒等变形得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=11，再整体代入得出方程，求解得出k的值，再检验即可得出答案。
20．【答案】（1）解：（1）70×10%＋80×40%＋88×50%＝83（分）
（2）80×10%＋75×40%＋50% x＞83，
∴x＞90．
∴李文同学的总成绩是83分，孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过90分
【知识点】一元一次不等式的应用；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）按照各项目所占比求得总成绩；
（2）各项目所占比求得总成绩大于83分即可，列出不等式求解．
21．【答案】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）典型的应用一元二次方程解决几何问题，设出未知量，根据给出的面积列出等量关系式，求解即可；（2）同理，根据给出的面积列出等量关系式，求解过程中发现判别式小于0即在实数范围内无解，故可得出结论“无法实现”。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO．
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF
（2）解：如图，连接OB．
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，∠BEF＋∠ABO＝90°．
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°
∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO．
∵∠BEF＝2∠BAC，即2∠BAC＋∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝30°．
∵BC＝，
∴AC＝2BC＝，
∴AB＝＝＝6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠BAC＝∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，即可证明OE＝OF；
（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明OA＝OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC＝∠ABO；在Rt△BEO中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到∠BAC＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，接下来运用勾股定理即可求出AB的长．
23．【答案】（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx＋b，
把（50，50），（80，20）代入得：
，
解得，
∴y＝ x＋100，
令y＝0，则 x＋100＝0，
解得x＝100，
∵成本价为每千克40元，
∴自变量x的取值范围为40＜x＜100，
∴y与x的函数关系式为y＝ x＋100（40＜x＜100）
（2）设日销售利润为w元，
则w＝（x 40）y＝（x 40）（ x＋100）=
∵ 1＜0，∴有最大值，
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为900，
∴当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最大利润是900元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象，用待定系数法求出函数解析式，并结合实际情况求出自变量的取值范围；
（2）设日销售利润为w元，根据日销售利润＝每千克的利润×销售量列出函数解析式．
24．【答案】（1）√；√；×
（2）∵抛物线y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1上存在“一中点”，
∴3x＝y＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1，
整理得
∴Δ＝ 2m＋2≥0，
∴m≤1，
∵
∴t＝，
∴当m＝1时，t有最小值
（3）∵函数y＝x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2的图象上有“一中点”，
∴
x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，
整理得，
∵函数的“一中点”是唯一的，
∴，
∴，
当 1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值2 c＝c，
∴c＝1；
当c≥2时，，
解得c＝或（舍去）；
当c≤ 1时，，
整理得，
∴方程无解；
综上所述：c的值为1或3+
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①当3x＝2x 1，解得x＝ 1，
∴点（ 1， 3）在y＝2x 1上，
∴y＝2x 1存在一中点”（ 1， 3），
故答案为：√；
②当3x＝x2﹣1 ，解得
∴点在y＝x2 1 上，
∴y＝x2﹣1上存在两个“一中点”，
故答案为：√；
③当3x＝x2+4 时，
∵Δ＝9 16＜0，
∴y＝x2+4 上不存在“一中点”，
故答案为：×；
【分析】（1）根据“一中点”定义进行判断即可；
（2）由定义可得3x＝﹣x2+（m+3）x﹣m2﹣m+1，再由判别式Δ＝m 1≥0，求出m≤1，根据根与系数的关系可得，当m＝1时，t有最小值；
（3）由定义可得x2+（b﹣c+3）x+a+c﹣2＝3x，由题意可知，得到，当 1≤c≤2时，b＝c时，a有最小值求出c的值；当c≥2时，当b＝2时，a有最小值求出c的值；当c≤ 1时，当b＝ 1时，a有最小值，求出c的值．
25．【答案】（1）4
（2）解：y x＝﹣x2+5x+4 x＝＝，
特征值是8；
（3）解：由题意，得点C的为（0，c），
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（ c，0），把B（ c，0）代入y＝﹣x2+bx+cc，得：
，
∴b＝1 c，
∴，
∵二次函数的“特征值”为 1．
∴，
∴
，
∴c＝ 2，∴b＝3，
∴二次函数的解析式为；
（4）解：“坐标差”为2的一次函数为y＝x＋2，
∵二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在直线y＝x＋2上，
∴设二次函数为，二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，
把（1，3）代入，得，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴
，特征值是；
把（7，3）代入，得，
解得，
二次函数的表达式为：，
∴
，特征值是.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（1）解：6 2＝4，∵A（2，6），∴“坐标差”为4，故答案为：4；
【分析】（1）根据题目中的规定易得结论；
（2）根据定义求出y x是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；
（3）先求得抛物线与y轴的交点C（0，c），则点B的坐标为（ c，0），把点B的坐标代入二次函数解析式得到b＝1 c，再将b＝1 c代回二次函数解析式，求出特征值y x的代数式，然后由坐标值为 1求出c的值，继而求出b的值，即可求出二次函数解析式；
（4）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y＝x＋2，由二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在直线y＝x＋2上，用顶点式可设二次函数为．在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线y＝x＋2与FE的交点上时（如图①）；②抛物线右侧部分经过点E时（如图②）．然后分别把（1，3）、（7，3）分别代入，解得m的值，即可求出二次函数解析式，继而求出其特征值．
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