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浙江省杭州滨和中学2024-2025学年上学期期中教学质量检测 九年级数学试题
1．（2024九上·杭州期中）已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O内
2．（2024九上·杭州期中）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（　　）
A．12 B．9 C．4 D．3
3．（2024九上·杭州期中）如图，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·杭州期中）将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·杭州期中）如图，的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·杭州期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·杭州期中）下列判断正确的是(　　)
A．平分弦的直径垂直于弦
B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
8．（2024九上·杭州期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·杭州期中）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·杭州期中）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·杭州期中）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一球，则摸出标号为3的概率是　 　．
12．（2024九上·杭州期中）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为　 　．
13．（2024九上·杭州期中）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是　 　．
14．（2024九上·杭州期中）如图，在半径为，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .
15．（2024九上·杭州期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：　 　，　 　.
1
16．（2024九上·杭州期中）如图，等边内接于，，D为弧上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为　 　．
17．（2024九上·杭州期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）．
18．（2024九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点？
19．（2024九上·杭州期中）为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放．一天，小林把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置．你能确定小林是怎样投放的吗？—个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位置的概率是多少？
20．（2024九上·杭州期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
21．（2024九上·杭州期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
22．（2024九上·杭州期中）设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
23．（2024九上·杭州期中）如何拟定运动员拍照记录的方案？
素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处．
素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离．
素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．
问题解决
任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？
24．（2024九上·杭州期中）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，．
（1）求证：平分．
（2）如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，，
∴点A在⊙O内，
故答案为：A．
【分析】利用点到圆心的距离与半径进行比较，可得到但A与圆O的位置关系.
2．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴ =25%，
解得：a=12．
故本题选A．
【分析】摸到红球的频率稳定在25%，即 =25%，即可即解得a的值．
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半可求出∠AOB的度数.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为，
故答案为：D．
【分析】二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，由此可得到平移后的函数解析式
5．【答案】A
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
，
绕原点顺时针旋转后得到，
，
点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形求出BC的长，再利用旋转的性质可求出OC'、B'C'的长，同时可证得∠B'C'O的度数，即可得到点B'的坐标.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用对称轴直线公式“”求出抛物线的对称轴直线为x=-2，又由于二次项系数a＞0，图象开口向上，所以抛物线上的点离对称轴的距离越远，其对应的函数值就越大，从而即可判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故A不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，故B不符合题意；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，故C符合题意；
D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理的推论对各选项逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴点，，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∵，
∴点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴门高为，
故答案为：B．
【分析】根据所建坐标系及图形特点，利用二次函数的对称性可求出点A、B的坐标，再求出点D的坐标，利用二次函数的两根式可求出函数解析式，再求出当x=0时y的值，可得到门的高度.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，于，连接，如图所示：
则，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：C．
【分析】过点作于点，于，连接，利用垂径定理得出，同时可求出AG的长，即可求出EG的长；再利用勾股定理可求出OG的长，可推出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可得到OE的长，再求出OF的长；利用勾股定理求出DF的长，利用垂径定理可求出CD的长.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：，，
，，
抛物线与的交点为A，
，
整理得，
解得或，
，
，
抛物线与，与x轴的交点分别为B，C，
，可得，，可得，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件可得到，，再联立函数解析式分别解方程表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题．
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
随机摸出一球，则摸出标号为3的概率是，
故答案为：．
【分析】根据简单随机事件的概率求解方法计算即可．
12．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【分析】任何多边形的外角和都等于360，故用外角的总数除以每个外角的度数，即可得出外角的个数，即多边形的边数。
13．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，
∵到y轴的距离小于2，
∴，
而，
当，
当时，，
∴n的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
由于平面直角坐标系内一点到y轴的距离是横坐标的绝对值，即告诉了点P的横坐标m的取值范围在－2和2之间，此时可由抛物线的解析式得出其对称轴，再比较－2和2到对称轴的距离即可分别求出n的最大值和最小值．
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
∴OE=2EF，
∵OF=，EF2+OE2=OF2，
∴EF2+（2EF）2=5，
解之：EF=1（取正值），
∴EF=OD=CD=1，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OCD-S正方形CFED
=
故答案为：.
【分析】连接OF，利用正方形的性质可推出OD=CD=DE=EF，因此可证OE=2EF，利勾股定理可得到关于EF的方程，解方程求出符合题意的EF的值，从而可得到OD、CD的长；然后根据S阴影部分=S扇形OAB-S△OCD-S正方形CFED，利用扇形、三角形、正方形的面积公式进行计算.
15．【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：和对称轴都为轴，
可将表格中的数表示为坐标
两点纵坐标相等，且
横坐标关于轴对称
故答案为：-1；3.
【分析】根据x=1与x=c对应的y=ax2的值相等可得c=-1，由（1，n+3）、（c，m）的横坐标关于y轴对称可得m=n+3，变形可得m-n的值.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆的相关概念；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，取的中点为，连接，
，
，
点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，如图，
是等边三角形，
，
，
如图，延长交于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹长为∶
；
故答案：．
【分析】连接，取的中点为，连接，由直角三角形的特征得，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，延长交于，连接，由等边三角形的性质得，，求出，结合圆的基本性质，即可求解．
17．【答案】解：如图，
为所求作的图形
【知识点】尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】本连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆即可.
18．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，∴平移后的解析式为，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，因此设抛物线解析式为，将点代入，求出a的值，即可得出抛物线解析式.
（2）二次函数的平移规律“左减右加，上加下减”，设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，可得到平移后的函数解析式，再将（0，0）代入函数解析式，可求出n的值，即可求解.
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，
∴平移后的解析式为，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点．
19．【答案】解：小林把装有不可回收垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有有害垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处或把装有有害垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有不可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处；∴能确定小林是怎样投放的；
画树状图为：（用A、B、C表示可回收的、不可回收的和有害垃圾投放位置，用a、b、c表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾的袋子）
从树状图中可以得出：共有6种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为2种，
所以把三个袋子都放错位置的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】三类：可回收、不可回收、有害，小林放错了位置，就说明错位，可回收的放在不可回收或有害的，故有2种情况，是能确定的；用树状图列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，进而用概率的公式计算即可．
20．【答案】解：（1）连接OC．
设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，
∴
在Rt中，∵
∴
解得R=5．
（2）连接AD，
∵弦CD⊥AB，
∴=
∴
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴，
∵
∴
∴
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC．设⊙O的半径为R．利用垂径定理可求出EC的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的值.
在Rt中，利用勾股定理列式计算即可.
（2）连接AD，利用垂径定理可得=，得到利用圆内接四边形的性质可推出，据此可证得结论.
21．【答案】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
（2）解：是的直径，，
由（1）知，
，
，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
即，
，
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连，利用直径所对圆周角是直角可知∠ADC=∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠CAD=∠BAD，可推出，然后利用垂径定理的推论可证得结论.
（2）利用圆周角定理的推论可求出BD的长，利用等腰三角形三线合一的性质可求出BC的长；再利用圆内接四边形的性质可推出，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE的长，然后求出AE的长.
（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
由（1）知，
，
，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
即，
，
22．【答案】（1）解：当时，二次函数
顶点坐标为
（2）解：当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为
（3）二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将a=1代入函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到该函数图象的顶点坐标.
（2）将x=-1，x=-2分别代入函数解析式，可求出对应的y的值，可作出判断；由此可得到函数图象经过的点，再将点（0，-2）当然函数解析式可求出a的值，可得到函数解析式.
（3）利用函数解析式可求出其对称轴，分情况讨论：当时；当时；结合已知条件及二次函数的性质可求解.
（1）当时，二次函数
顶点坐标为；
（2）当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为；
（3）二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
故．
23．【答案】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，
则，解得：，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得，即，
运动员到达最高处时与点的水平距离为；
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，
落点Q在底面下方竖直距离，
把代入，得，
解得：，
，
，，，
，
，
设与的函数解析式为，
由图象可知，，
解得：，
，
，
设射线的解析式为，即，
把，代入得：，
解得：，
答：俯角α至少15度
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：建立平面直角坐标系，利用AC，BC的长，可得到点A的坐标，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点A的坐标代入可求出a的值，可得到此函数解析式.
任务2：以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可求解.
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，根据题意可求出点QM的坐标，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将点QM的坐标代入，求出的值即可．
24．【答案】（1）证明∵点C为弧的中点，∴，
∴，，
∴平分
（2）①证明：∵是的直径，∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)利用弧的中点可证得，可推出，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)利用直径所对的圆周角为直角可证得，则，再根据垂径定理得：，由此可证得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，可求出CA的长，由此可求出的长，设的半径为r，可表示出AB、DE的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出符合题意的r的值.
（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
1 / 1浙江省杭州滨和中学2024-2025学年上学期期中教学质量检测 九年级数学试题
1．（2024九上·杭州期中）已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O内
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，，
∴点A在⊙O内，
故答案为：A．
【分析】利用点到圆心的距离与半径进行比较，可得到但A与圆O的位置关系.
2．（2024九上·杭州期中）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（　　）
A．12 B．9 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴ =25%，
解得：a=12．
故本题选A．
【分析】摸到红球的频率稳定在25%，即 =25%，即可即解得a的值．
3．（2024九上·杭州期中）如图，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半可求出∠AOB的度数.
4．（2024九上·杭州期中）将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线的图象先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数解析式为，
故答案为：D．
【分析】二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，由此可得到平移后的函数解析式
5．（2024九上·杭州期中）如图，的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
在中，，
，
绕原点顺时针旋转后得到，
，
点的坐标为．
故答案为：A．
【分析】利用解直角三角形求出BC的长，再利用旋转的性质可求出OC'、B'C'的长，同时可证得∠B'C'O的度数，即可得到点B'的坐标.
6．（2024九上·杭州期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵点A、B、C到对称轴的距离分别为2、1、3，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用对称轴直线公式“”求出抛物线的对称轴直线为x=-2，又由于二次项系数a＞0，图象开口向上，所以抛物线上的点离对称轴的距离越远，其对应的函数值就越大，从而即可判断得出答案.
7．（2024九上·杭州期中）下列判断正确的是(　　)
A．平分弦的直径垂直于弦
B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【答案】C
【知识点】垂径定理；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故A不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径也必平分弦所对的两条弧，故B不符合题意；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，故C符合题意；
D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理的推论对各选项逐一判断即可.
8．（2024九上·杭州期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴点，，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∵，
∴点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴门高为，
故答案为：B．
【分析】根据所建坐标系及图形特点，利用二次函数的对称性可求出点A、B的坐标，再求出点D的坐标，利用二次函数的两根式可求出函数解析式，再求出当x=0时y的值，可得到门的高度.
9．（2024九上·杭州期中）如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作于点，于，连接，如图所示：
则，
∴，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：C．
【分析】过点作于点，于，连接，利用垂径定理得出，同时可求出AG的长，即可求出EG的长；再利用勾股定理可求出OG的长，可推出是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可得到OE的长，再求出OF的长；利用勾股定理求出DF的长，利用垂径定理可求出CD的长.
10．（2024九上·杭州期中）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：，，
，，
抛物线与的交点为A，
，
整理得，
解得或，
，
，
抛物线与，与x轴的交点分别为B，C，
，可得，，可得，
，
，，
，
故答案为：C．
【分析】利用已知条件可得到，，再联立函数解析式分别解方程表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题．
11．（2024九上·杭州期中）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一球，则摸出标号为3的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
随机摸出一球，则摸出标号为3的概率是，
故答案为：．
【分析】根据简单随机事件的概率求解方法计算即可．
12．（2024九上·杭州期中）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【分析】任何多边形的外角和都等于360，故用外角的总数除以每个外角的度数，即可得出外角的个数，即多边形的边数。
13．（2024九上·杭州期中）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线，
∵到y轴的距离小于2，
∴，
而，
当，
当时，，
∴n的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
由于平面直角坐标系内一点到y轴的距离是横坐标的绝对值，即告诉了点P的横坐标m的取值范围在－2和2之间，此时可由抛物线的解析式得出其对称轴，再比较－2和2到对称轴的距离即可分别求出n的最大值和最小值．
14．（2024九上·杭州期中）如图，在半径为，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .
【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
∴OE=2EF，
∵OF=，EF2+OE2=OF2，
∴EF2+（2EF）2=5，
解之：EF=1（取正值），
∴EF=OD=CD=1，
∴S阴影部分=S扇形OAB-S△OCD-S正方形CFED
=
故答案为：.
【分析】连接OF，利用正方形的性质可推出OD=CD=DE=EF，因此可证OE=2EF，利勾股定理可得到关于EF的方程，解方程求出符合题意的EF的值，从而可得到OD、CD的长；然后根据S阴影部分=S扇形OAB-S△OCD-S正方形CFED，利用扇形、三角形、正方形的面积公式进行计算.
15．（2024九上·杭州期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：　 　，　 　.
1
【答案】-1；3
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：和对称轴都为轴，
可将表格中的数表示为坐标
两点纵坐标相等，且
横坐标关于轴对称
故答案为：-1；3.
【分析】根据x=1与x=c对应的y=ax2的值相等可得c=-1，由（1，n+3）、（c，m）的横坐标关于y轴对称可得m=n+3，变形可得m-n的值.
16．（2024九上·杭州期中）如图，等边内接于，，D为弧上一动点，过点B作射线的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；圆的相关概念；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，取的中点为，连接，
，
，
点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，如图，
是等边三角形，
，
，
如图，延长交于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹长为∶
；
故答案：．
【分析】连接，取的中点为，连接，由直角三角形的特征得，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，延长交于，连接，由等边三角形的性质得，，求出，结合圆的基本性质，即可求解．
17．（2024九上·杭州期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）．
【答案】解：如图，
为所求作的图形
【知识点】尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】本连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆即可.
18．（2024九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点？
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，∴平移后的解析式为，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，因此设抛物线解析式为，将点代入，求出a的值，即可得出抛物线解析式.
（2）二次函数的平移规律“左减右加，上加下减”，设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，可得到平移后的函数解析式，再将（0，0）代入函数解析式，可求出n的值，即可求解.
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设将抛物线向左平移n个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点，
∴平移后的解析式为，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后所得抛物线经过原点．
19．（2024九上·杭州期中）为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放．一天，小林把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置．你能确定小林是怎样投放的吗？—个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位置的概率是多少？
【答案】解：小林把装有不可回收垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有有害垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处或把装有有害垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有不可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处；∴能确定小林是怎样投放的；
画树状图为：（用A、B、C表示可回收的、不可回收的和有害垃圾投放位置，用a、b、c表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾的袋子）
从树状图中可以得出：共有6种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为2种，
所以把三个袋子都放错位置的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【分析】三类：可回收、不可回收、有害，小林放错了位置，就说明错位，可回收的放在不可回收或有害的，故有2种情况，是能确定的；用树状图列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，进而用概率的公式计算即可．
20．（2024九上·杭州期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC=∠AGD．
【答案】解：（1）连接OC．
设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，
∴
在Rt中，∵
∴
解得R=5．
（2）连接AD，
∵弦CD⊥AB，
∴=
∴
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴，
∵
∴
∴
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OC．设⊙O的半径为R．利用垂径定理可求出EC的长，利用勾股定理可得到关于R的方程，解方程求出R的值.
在Rt中，利用勾股定理列式计算即可.
（2）连接AD，利用垂径定理可得=，得到利用圆内接四边形的性质可推出，据此可证得结论.
21．（2024九上·杭州期中）如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
（2）解：是的直径，，
由（1）知，
，
，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
即，
，
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连，利用直径所对圆周角是直角可知∠ADC=∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠CAD=∠BAD，可推出，然后利用垂径定理的推论可证得结论.
（2）利用圆周角定理的推论可求出BD的长，利用等腰三角形三线合一的性质可求出BC的长；再利用圆内接四边形的性质可推出，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CDE∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE的长，然后求出AE的长.
（1）证明：如图，连接．
是的直径，
，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
由（1）知，
，
，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
，
即，
，
22．（2024九上·杭州期中）设二次函数（是常数，）
（1）若，求该函数图象的顶点坐标.
（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式.
（3）若二次函数图象经过，两点，当，时，，求证：
【答案】（1）解：当时，二次函数
顶点坐标为
（2）解：当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为
（3）二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将a=1代入函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到该函数图象的顶点坐标.
（2）将x=-1，x=-2分别代入函数解析式，可求出对应的y的值，可作出判断；由此可得到函数图象经过的点，再将点（0，-2）当然函数解析式可求出a的值，可得到函数解析式.
（3）利用函数解析式可求出其对称轴，分情况讨论：当时；当时；结合已知条件及二次函数的性质可求解.
（1）当时，二次函数
顶点坐标为；
（2）当时，，因此不过点，
当时，，因此不过点，
故抛物线过点，代入得，
，
，
抛物线的关系式为；
（3）二次函数是常数，的图象与轴交于点，，，
函数图象的对称轴为直线，
当时，函数图象开口向上，
当，时，，
，
，
解得，舍去；
当时，函数图象开口向下，
时，，
，
，，
，
，
故．
23．（2024九上·杭州期中）如何拟定运动员拍照记录的方案？
素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处．
素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离．
素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．
问题解决
任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？
【答案】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
，，
，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，
则，解得：，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得，即，
运动员到达最高处时与点的水平距离为；
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，
落点Q在底面下方竖直距离，
把代入，得，
解得：，
，
，，，
，
，
设与的函数解析式为，
由图象可知，，
解得：，
，
，
设射线的解析式为，即，
把，代入得：，
解得：，
答：俯角α至少15度
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：建立平面直角坐标系，利用AC，BC的长，可得到点A的坐标，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点A的坐标代入可求出a的值，可得到此函数解析式.
任务2：以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可求解.
任务3：如（2）建立平面直角坐标系，根据题意可求出点QM的坐标，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将点QM的坐标代入，求出的值即可．
24．（2024九上·杭州期中）如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，．
（1）求证：平分．
（2）如图2，延长，相交于点E．
①求证：．
②若，，求的半径．
【答案】（1）证明∵点C为弧的中点，∴，
∴，，
∴平分
（2）①证明：∵是的直径，∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)利用弧的中点可证得，可推出，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论；
(2)利用直径所对的圆周角为直角可证得，则，再根据垂径定理得：，由此可证得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，可求出CA的长，由此可求出的长，设的半径为r，可表示出AB、DE的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出符合题意的r的值.
（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
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