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广东省惠州市知行学校2024-2025学年下学期九年级数学期中模拟考试 试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（2025九下·惠州期中）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，
|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故答案为：B．
【分析】|﹣3|=3，由负数比正数和0都小，可得出答案。
2．（2025九下·惠州期中）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2025九下·惠州期中）月球与地球之间的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】数据384000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
4．（2025九下·惠州期中）下列式子变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
B、结果是|a|，故本选项不符合题意；
C、结果是a2b2，故本选项符合题意；
D、不一定等于，如a＝1，b＝4时，＝，＝1+2＝3，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式、二次根式的性质和积的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025九下·惠州期中）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为：，
故答案为：C．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
6．（2025九下·惠州期中）有一组数据：35，40，38，36，42，42，75，这组数据的中位数是（　　）
A．40 B．37 C．36 D．39
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为35，36，38，40，42，42，75，
中间的数为40，
∴这组数据的中位数是40，
故答案为：A．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
7．（2025九下·惠州期中）一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：设正方形的边长等于a．
∵正方形的面积是12，∴a= =2 ．
∵9＜12＜16，∴3＜ ＜4，即3＜a＜4．
故答案为：B
【分析】先根据正方形的面积求出正方形的边长，再根据无理数的大小估算方法，可得出答案。
8．（2025九下·惠州期中）如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是切线，
，，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接、，先利用切线的性质可得，再利用圆周角的性质可得，最后利用四边形的内角和求出∠P的度数即可.
9．（2025九下·惠州期中）如图，在正八边形中，连结，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；多边形内角与外角；正方形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接AG、GE、EC，如图所示：
由正八边形的性质得：
AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH，
∠B=∠BCD=∠D=∠DEF=∠F∠FGH=∠H=∠HAB=135°，
∴ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA，
∴AC=CE=EG=GA，
∴四边形ACEG为菱形，
∵AB=BC，∠ABC=135°，
∴∠BAC=∠BCA=22.5°，
同理：∠HAG=22.5°，
∴∠CAG=180°-∠BAC-∠HAG=180°-22.5°-22.5°=90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接AG、GE、EC，先利用正多边形的性质可得AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH，再证出ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA，利用全等三角形的性质可得AC=CE=EG=GA，证出四边形ACEG为菱形，再利用角的运算求出∠BAC=∠BCA=∠HAG=22.5°，再证出四边形ACEG为正方形，最后求出即可.
10．（2025九下·惠州期中）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；十进制及其他进制问题；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生.
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为，表示该生为6班学生.
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生.
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生.
故答案为：B.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.
二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·惠州期中）函数 中，自变量x的取值范围为　 　．
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ .
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．（2025九下·惠州期中）n边形的内角和等于540°，则n=　 　.
【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和等于540°，
∴180°（n-2）=540°，
解得：n=5.
故答案为：5.
【分析】先由n边形的内角和定理可得方程180°（n-2）=540°，再解此方程即可求得答案.
13．（2025九下·惠州期中）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有　 　个.
【答案】5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意，得：
=0.75，
解得x=5.
所以袋中白球有5个.
故答案为：5.
【分析】设袋中白球有x个，用袋中黄色小球的个数除以袋中小球的总个数等于从袋中随机摸到黄球的频率，列出方程即可求出白色小球的数量.
14．（2025九下·惠州期中）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为　 　cm．
【答案】64
【知识点】矩形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为：64．
【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，先证出四边形AEFB是矩形，利用矩形的性质可得EF＝AB＝10（cm），再利用解直角三角形的方法求出CE的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
15．（2025九下·惠州期中）如图，反比例函数的图象经过等边的顶点，且原点刚好落在上，已知点的坐标是，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过等边的顶点，
∴，，，
∴，，
∴，
解得：，
∵轴，轴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先利用勾股定理求出OC的长，再求出，再利用勾股定理可得，即，求出，可得点A的坐标，最后求出k的值即可.
三、解答题（本大题有8小题，共75分）
16．（2025九下·惠州期中）（1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程：．
【答案】解：（1），
由①解得：，
由②解得：，
所以，不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示出来如下：
（2），
方程两边都乘以得，，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．

【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
17．（2025九下·惠州期中）如图，已知矩形，，．
（1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）求出（1）中所作的菱形的面积．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求，
理由：由作图知：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：在矩形中，，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴菱形的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交边于E，交边于F，连接，即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出菱形的面积即可.
（1）解：如图，四边形即为所求，
理由：由作图知：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：在矩形中，，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴菱形的面积为．
18．（2025九下·惠州期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为，
∴，
解得：，
∵m是正数，
∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）将x=0代入方程可得，再求出m的值即可.
（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为，
∴，解得，
∵m是正数，
∴．
19．（2025九下·惠州期中）如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
.
（2）解：，
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用线段中点的性质可得，最后利用“ASA”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合BF=AD，证出四边形是矩形，再利用勾股定理求出AD的长，最后求出AE的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
；
（2），
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
20．（2025九下·惠州期中）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如图不完整的统计图：
根据以上统计信息，解答下列问题：
（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
（2）求本次随机抽取问卷测试的人数；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校学生人数为2000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？
【答案】（1）解：72°÷360°=20%，
∴“优”的人数占抽取人数的百分比为20%.
（2）解：40÷20%=200（人），
∴抽取检测的人数为200人；
（3）解：“中”的人数为：200-40-70-30=60（人），画图如下：
（4）解：（人），
答：估计成绩为“优”、“良”的人数是1100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“优”的圆心角除以360°可得答案；
（2）利用“优”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（3）先求出“中”的人数，再作出条形统计图即可；
（4）先求出“优”和“良”的百分比，再乘以2000可得答案.
（1）72°÷360°=20%，
即“优”的人数占抽取人数的百分比为20%；
（2）40÷20%=200（人），
即抽取检测的人数为200人；
（3）“中”的人数为：200-40-70-30=60（人），
画图如下：
（4）（人），
答：估计成绩为“优”、“良”的人数是1100人．
21．（2025九下·惠州期中）某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
（1）今年这种产品每件售价多少元？
（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．
【答案】解：设今年这种产品每件售价为元，
依题意得：，
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
答：今年这种产品每件售价为元．
设甲产品进货件，则乙产品进货件．
依题意得：，
解得：，
因此有三种方案：
方案①：甲产品进货件，乙产品进货件；
方案②：甲产品进货件，乙产品进货件；
方案③：甲产品进货件，乙产品进货件.
方案①利润：，
方案②利润：，
方案③利润：，
，
方案①的利润更高.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设今年这种产品每件售价为元，根据“ 预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元 ”列出方程，再求解即可；
（2） 设甲产品进货件，则乙产品进货件，根据“ 公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件 ”列出不等式组，再求解即可.
22．（2025九下·惠州期中）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，在BC延长线上取点D，使得AD=AE．
（1）求证：AD是⊙O切线；
（2）若∠OEB=45°，求sin∠ABD的值．
【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠CBA+∠CAB=90°.
又∵AD=AE，
∴∠CAD=∠CAE.
∵C是 的中点，
∴
∴∠CAE=∠CBA.
∴∠CAD+∠CAB=90°.
∴OA⊥DA.
又∵OA是⊙O的半径，
∴DA是⊙O的切线.
（2）∵C是 的中点，
∴
∴∠CBF=∠CBA.
设∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°.
∴y+2x=90°，y=90°－2x.
∵∠FEB=y+x，
∴∠AEO=180°－∠OEB－∠FEB
=180°－45°－y－x
=135°－x－y
=135°－x－(90°－2x)
=45°+x，
又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB=45°+x，
∴∠AEO=∠AOE.
∴AE=AO.
∵∠ACB=∠ACB，∠CAE=∠CBA，
∴△CEA∽△CAB.
∴ .
∴，
∴ .
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠CAD+∠CAB=90°，即OA⊥DA，再结合OA是⊙O的半径，即可证出DA是⊙O的切线；
（2）设∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y，先求出∠AEO=45°+x，再证出△CEA∽△CAB，再利用相似三角形的性质可得 ，再求出，，最后利用正弦的定义及计算方法求出答案即可.
23．（2025九下·惠州期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，
得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B'的坐标为（4，-3）．
设直线AB'的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B'（4，-3）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴直线AB'的解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，将点（4，1）代入解析式求出a的值即可；
（2）联立方程组求出点A、B的坐标，再作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，利用轴对称的性质求出点B'的坐标，再利用待定系数法求出直线AB'的解析式为y=-x+，再将y=-1代入解析式求出x的值，可得点P的坐标；
（3）根据“点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等”可得（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，求出n=m2-m+1，再整理可得（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，再根据题意可得，求出，从而可得点F的坐标.
1 / 1广东省惠州市知行学校2024-2025学年下学期九年级数学期中模拟考试 试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（2025九下·惠州期中）在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的数是（　　）
A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π
2．（2025九下·惠州期中）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正方形
3．（2025九下·惠州期中）月球与地球之间的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·惠州期中）下列式子变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·惠州期中）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是(　　).
A． B．
C． D．
6．（2025九下·惠州期中）有一组数据：35，40，38，36，42，42，75，这组数据的中位数是（　　）
A．40 B．37 C．36 D．39
7．（2025九下·惠州期中）一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
8．（2025九下·惠州期中）如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·惠州期中）如图，在正八边形中，连结，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·惠州期中）利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为，，，，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为.如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·惠州期中）函数 中，自变量x的取值范围为　 　．
12．（2025九下·惠州期中）n边形的内角和等于540°，则n=　 　.
13．（2025九下·惠州期中）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有　 　个.
14．（2025九下·惠州期中）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为　 　cm．
15．（2025九下·惠州期中）如图，反比例函数的图象经过等边的顶点，且原点刚好落在上，已知点的坐标是，则的值为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，共75分）
16．（2025九下·惠州期中）（1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程：．
17．（2025九下·惠州期中）如图，已知矩形，，．
（1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）求出（1）中所作的菱形的面积．
18．（2025九下·惠州期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
19．（2025九下·惠州期中）如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．（2025九下·惠州期中）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如图不完整的统计图：
根据以上统计信息，解答下列问题：
（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
（2）求本次随机抽取问卷测试的人数；
（3）请把条形统计图补充完整；
（4）若该校学生人数为2000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？
21．（2025九下·惠州期中）某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降．预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元．
（1）今年这种产品每件售价多少元？
（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高．
22．（2025九下·惠州期中）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AB是⊙O的直径，C是弧AF的中点，弦BC，AF相交于点E，在BC延长线上取点D，使得AD=AE．
（1）求证：AD是⊙O切线；
（2）若∠OEB=45°，求sin∠ABD的值．
23．（2025九下·惠州期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：在实数|﹣3|，﹣2，0，π中，
|﹣3|=3，则﹣2＜0＜|﹣3|＜π，
故最小的数是：﹣2．
故答案为：B．
【分析】|﹣3|=3，由负数比正数和0都小，可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】数据384000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为所有整数位的个数减1．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
B、结果是|a|，故本选项不符合题意；
C、结果是a2b2，故本选项符合题意；
D、不一定等于，如a＝1，b＝4时，＝，＝1+2＝3，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式、二次根式的性质和积的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：几何体的主视图为：，
故答案为：C．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为35，36，38，40，42，42，75，
中间的数为40，
∴这组数据的中位数是40，
故答案为：A．
【分析】利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：设正方形的边长等于a．
∵正方形的面积是12，∴a= =2 ．
∵9＜12＜16，∴3＜ ＜4，即3＜a＜4．
故答案为：B
【分析】先根据正方形的面积求出正方形的边长，再根据无理数的大小估算方法，可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是切线，
，，
，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接、，先利用切线的性质可得，再利用圆周角的性质可得，最后利用四边形的内角和求出∠P的度数即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；多边形内角与外角；正方形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接AG、GE、EC，如图所示：
由正八边形的性质得：
AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH，
∠B=∠BCD=∠D=∠DEF=∠F∠FGH=∠H=∠HAB=135°，
∴ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA，
∴AC=CE=EG=GA，
∴四边形ACEG为菱形，
∵AB=BC，∠ABC=135°，
∴∠BAC=∠BCA=22.5°，
同理：∠HAG=22.5°，
∴∠CAG=180°-∠BAC-∠HAG=180°-22.5°-22.5°=90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接AG、GE、EC，先利用正多边形的性质可得AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=AH，再证出ΔABC≌ΔCDE≌ΔEFG≌ΔGHA，利用全等三角形的性质可得AC=CE=EG=GA，证出四边形ACEG为菱形，再利用角的运算求出∠BAC=∠BCA=∠HAG=22.5°，再证出四边形ACEG为正方形，最后求出即可.
10．【答案】B
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；十进制及其他进制问题；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：A. 第一行数字从左到右依次为1，0，1，0，序号为，表示该生为10班学生.
B. 第一行数字从左到右依次为0，1， 1，0，序号为，表示该生为6班学生.
C. 第一行数字从左到右依次为1，0，0，1，序号为，表示该生为9班学生.
D. 第一行数字从左到右依次为0，1，1，1，序号为，表示该生为7班学生.
故答案为：B.
【分析】根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可.
11．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ .
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和等于540°，
∴180°（n-2）=540°，
解得：n=5.
故答案为：5.
【分析】先由n边形的内角和定理可得方程180°（n-2）=540°，再解此方程即可求得答案.
13．【答案】5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意，得：
=0.75，
解得x=5.
所以袋中白球有5个.
故答案为：5.
【分析】设袋中白球有x个，用袋中黄色小球的个数除以袋中小球的总个数等于从袋中随机摸到黄球的频率，列出方程即可求出白色小球的数量.
14．【答案】64
【知识点】矩形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为：64．
【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，先证出四边形AEFB是矩形，利用矩形的性质可得EF＝AB＝10（cm），再利用解直角三角形的方法求出CE的长，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过等边的顶点，
∴，，，
∴，，
∴，
解得：，
∵轴，轴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先利用勾股定理求出OC的长，再求出，再利用勾股定理可得，即，求出，可得点A的坐标，最后求出k的值即可.
16．【答案】解：（1），
由①解得：，
由②解得：，
所以，不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示出来如下：
（2），
方程两边都乘以得，，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．

【知识点】解分式方程；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
17．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求，
理由：由作图知：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：在矩形中，，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴菱形的面积为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交边于E，交边于F，连接，即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后求出菱形的面积即可.
（1）解：如图，四边形即为所求，
理由：由作图知：垂直平分，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：在矩形中，，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴菱形的面积为．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为，
∴，
解得：，
∵m是正数，
∴．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可；
（2）将x=0代入方程可得，再求出m的值即可.
（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为，
∴，解得，
∵m是正数，
∴．
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
.
（2）解：，
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用线段中点的性质可得，最后利用“ASA”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合BF=AD，证出四边形是矩形，再利用勾股定理求出AD的长，最后求出AE的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
；
（2），
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
20．【答案】（1）解：72°÷360°=20%，
∴“优”的人数占抽取人数的百分比为20%.
（2）解：40÷20%=200（人），
∴抽取检测的人数为200人；
（3）解：“中”的人数为：200-40-70-30=60（人），画图如下：
（4）解：（人），
答：估计成绩为“优”、“良”的人数是1100人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）利用“优”的圆心角除以360°可得答案；
（2）利用“优”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（3）先求出“中”的人数，再作出条形统计图即可；
（4）先求出“优”和“良”的百分比，再乘以2000可得答案.
（1）72°÷360°=20%，
即“优”的人数占抽取人数的百分比为20%；
（2）40÷20%=200（人），
即抽取检测的人数为200人；
（3）“中”的人数为：200-40-70-30=60（人），
画图如下：
（4）（人），
答：估计成绩为“优”、“良”的人数是1100人．
21．【答案】解：设今年这种产品每件售价为元，
依题意得：，
解得：．
经检验：是原分式方程的解．
答：今年这种产品每件售价为元．
设甲产品进货件，则乙产品进货件．
依题意得：，
解得：，
因此有三种方案：
方案①：甲产品进货件，乙产品进货件；
方案②：甲产品进货件，乙产品进货件；
方案③：甲产品进货件，乙产品进货件.
方案①利润：，
方案②利润：，
方案③利润：，
，
方案①的利润更高.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设今年这种产品每件售价为元，根据“ 预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元 ”列出方程，再求解即可；
（2） 设甲产品进货件，则乙产品进货件，根据“ 公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种产品共件 ”列出不等式组，再求解即可.
22．【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠CBA+∠CAB=90°.
又∵AD=AE，
∴∠CAD=∠CAE.
∵C是 的中点，
∴
∴∠CAE=∠CBA.
∴∠CAD+∠CAB=90°.
∴OA⊥DA.
又∵OA是⊙O的半径，
∴DA是⊙O的切线.
（2）∵C是 的中点，
∴
∴∠CBF=∠CBA.
设∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°.
∴y+2x=90°，y=90°－2x.
∵∠FEB=y+x，
∴∠AEO=180°－∠OEB－∠FEB
=180°－45°－y－x
=135°－x－y
=135°－x－(90°－2x)
=45°+x，
又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB=45°+x，
∴∠AEO=∠AOE.
∴AE=AO.
∵∠ACB=∠ACB，∠CAE=∠CBA，
∴△CEA∽△CAB.
∴ .
∴，
∴ .
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得∠CAD+∠CAB=90°，即OA⊥DA，再结合OA是⊙O的半径，即可证出DA是⊙O的切线；
（2）设∠CBF=∠CBA=x，∠FAB=y，先求出∠AEO=45°+x，再证出△CEA∽△CAB，再利用相似三角形的性质可得 ，再求出，，最后利用正弦的定义及计算方法求出答案即可.
23．【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，
得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．
∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B'的坐标为（4，-3）．
设直线AB'的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B'（4，-3）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴直线AB'的解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，将点（4，1）代入解析式求出a的值即可；
（2）联立方程组求出点A、B的坐标，再作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，利用轴对称的性质求出点B'的坐标，再利用待定系数法求出直线AB'的解析式为y=-x+，再将y=-1代入解析式求出x的值，可得点P的坐标；
（3）根据“点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等”可得（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，求出n=m2-m+1，再整理可得（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，再根据题意可得，求出，从而可得点F的坐标.
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