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2024-2025学年河南省南阳市唐河县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列计算正确的是
A． B． C． D．
3．已知，则的值为　　
A． B． C．4 D．2
4．下列各组中的四条线段成比例的是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是　　
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡
D．陡缓程度与的三角函数值无关
6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是
A．且 B．且 C． D．且
7．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中，，交于点，在上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①，；②，，；③，，；④，，，能根据所测数据，求出，两点之间距离的有　　
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．如图，在中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是　　
A．
B．与的面积比为
C．与的周长比为
D．与四边形的面积比为
10．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．观察分析，探求规律，然后填空：，2，，，，， （请在横线上写出第100个数）．
12．如图是某校主教学楼，教学楼围出一块长，宽的矩形区域，中间是绿化区域，三面有等宽的道路，矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等．设道路的宽度为，则可列方程是 ．
13．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 　　．
14．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为　 　 海里．（，结果精确到0.1海里）
15．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到△，当点恰好落在直线上时，的值是 　　．
三、解答题（本大题满分75分）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．如图，是△的角平分线延长到，使．
（1）求证：△△；
（2）若，，，求的长．
18．已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰△的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求△的周长．
19．阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
；
（1）直接写出下一个等式：　　．
（2）计算为正整数，且　　．
（3）计算的值．
20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
21．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往南阳解放广场缅怀革命先烈，大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道南阳解放纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量，小张在水平地面上的点处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，小张发现此时自己的眼睛、标杆顶点和纪念碑的最高点恰好在同一直线上，实践小组利用无人机在点的正上方的点处测得点的俯角为，已知，求纪念碑的通高（结果精确到，参考数据：，，．
22．（1）感知问题：如图①，在四边形中，，，点在边上，当时，△与△是否相似？ （填“是”或“否” ；
（2）拓展探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：△△；
（3）迁移应用：如图③，在△中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长．
23．综合应用：如图，已知四边形是矩形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点以每秒1个单位的速度从点出发在射线上运动，连接，作交轴于点，连接交直线于点，设运动时间为秒．
（1）当时， ， ；
（2）当时，求的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式①；②；③；④；⑤．其中一定是最简二次根式的有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】
解：①；②；③；④是最简二次根式；⑤是最简二次根式．
则最简根式的个数为2．
故选：．
2．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
解：、与不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
3．已知，则的值为　　
A． B． C．4 D．2
【答案】
解：根据题意得，
解得，
所以，
所以．
故选：．
4．下列各组中的四条线段成比例的是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】
解：、，四条线段不成比例，故本选项错误；
、，四条线段成比例，故本选项正确；
、，四条线段不成比例，故本选项错误；
、，四条线段不成比例，故本选项错误．
故选：．
5．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是　　
A．的值越小，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越大，梯子越陡
D．陡缓程度与的三角函数值无关
【答案】
解：、的值越大，梯子越陡，故不符合题意；
、的值越小，梯子越陡，故不符合题意；
、的值越大，梯子越陡，故符合题意；
、陡缓程度与的三角函数值有关，故不符合题意；
故选：．
6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是
A．且 B．且 C． D．且
【答案】
解：方程有两个不相等的实数根，
且△，
即，
解得：，
由可得，
且，
故选：．
7．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．
故选：．
8．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中，，交于点，在上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①，；②，，；③，，；④，，，能根据所测数据，求出，两点之间距离的有　　
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】
解：、已知，可得，
，故本选项正确；
、已知，，，
，
，即，解出 即可，故本选项正确；
、仅知道，，无法求出；
、由于已知、、，根据△△即可求出的长，故本选项正确；
故选：．
9．如图，在中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是　　
A．
B．与的面积比为
C．与的周长比为
D．与四边形的面积比为
【答案】
解：，
，
，
，
，故错误；
，
与的面积比为，周长的比为，故和错误；
与四边形的面积比为，故正确，
故选：．
10．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则
A． B． C． D．
【答案】
解：四边形是正方形，，，
，，，，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．观察分析，探求规律，然后填空：，2，，，，， （请在横线上写出第100个数）．
解：因为，，
所以此列数为：，，，，，
则第100个数是：．
故答案为：．
12．如图是某校主教学楼，教学楼围出一块长，宽的矩形区域，中间是绿化区域，三面有等宽的道路，矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等．设道路的宽度为，则可列方程是 ．
【答案】．
解：设道路的宽度为，则绿化区域是长为，宽为的矩形，
根据题意得：．
故答案为：．
13．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 　10　．
【答案】10．
解：，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
在中，，为中点，，
，
故答案为：10．
14．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为　68.3　 海里．（，结果精确到0.1海里）
【答案】68.3．
解：如图：作DM⊥AC于M，
∵∠DBA＝∠DAM＝45°，
∴DB＝AD，∠ADB＝90°，
∵DM⊥AB，
∴DM＝BM＝AM，
设DM＝BM＝AM＝a，
在Rt△CDM中，∠CMD＝90°，∠DCM＝30°，BC＝25×1＝25（海里），
∴，
∴25+a＝a，
解得：，
∴（海里）．
故答案为：68.3．
15．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，，为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到△，当点恰好落在直线上时，的值是 　2或　．
【答案】2或．
解：如图1，当点在点左侧时，
由折叠可知，，
，，，，
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
；
如图2，当点在之间时，
由折叠可知，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
；
综上所述：的值为2或，
故答案为：2或．
三、解答题（本大题满分75分）
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；
（2），．
解：（1）原式
；
（2），
，
，
，
，
所以，．
17．如图，是△的角平分线延长到，使．
（1）求证：△△；
（2）若，，，求的长．
解：（1）是△的角平分线，
，
，
，
，
，
△△；
（2）△△，
，
，
，
，
．
18．已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰△的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求△的周长．
【解答】（1）证明：△，
无论取何值，，即△，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：①当时，则△，
即，
，
方程可化为，
，
而，
△的周长；
②解：当时，
．
，
或，
另两边、恰好是这个方程的两个根，
，
，
△的周长；
综上所述，△的周长为7或8．
19．阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
；
（1）直接写出下一个等式：　　．
（2）计算为正整数，且　　．
（3）计算的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）2022．
解：（1）由题意可得，
，
故答案为：；
（2）为正整数，且
，
故答案为：；
（3）
．
20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
21．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往南阳解放广场缅怀革命先烈，大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道南阳解放纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量，小张在水平地面上的点处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，小张发现此时自己的眼睛、标杆顶点和纪念碑的最高点恰好在同一直线上，实践小组利用无人机在点的正上方的点处测得点的俯角为，已知，求纪念碑的通高（结果精确到，参考数据：，，．
解：过点作，交于点，交于点，则
，，，．
，，
，
，
△△，
，
设，则，
，
，
过点作，垂足为，则四边形是矩形，
，，
无人机在点的正上方点处测得点的俯角为，
，
在△中，，
，
，
解得，
，
，
纪念碑的通高约为．
22．（1）感知问题：如图①，在四边形中，，，点在边上，当时，△与△是否相似？　是　 （填“是”或“否” ；
（2）拓展探究：如图②，在四边形中，点在边上，当时，求证：△△；
（3）迁移应用：如图③，在△中，点是边的中点，点、分别在边、上．若，，，求的长．
【答案】（1）是；
（2），，
．
，
．
，
△△，
（3）．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
，，
，
△△，
故答案为：是；
（2）证明：，，
．
，
．
，
△△，
（3）解：同探究的方法得出，△△，
，
，，
，，
点是边的中点，
，
，
，
，
，
，，
在△中，．
23．综合应用：如图，已知四边形是矩形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点以每秒1个单位的速度从点出发在射线上运动，连接，作交轴于点，连接交直线于点，设运动时间为秒．
（1）当时，　45　 ， ；
（2）当时，求的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），3；
（2）；
（3）点的坐标为或．
解：（1）点以每秒1个单位的速度从点出发在射线上运动，
当时，，
四边形是矩形，
，，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
；
故答案为：45，3；
（2）若点在原点上方时，
，
，，
，
，
△△，
，
，
，
四边形是矩形，
，
△△，
，
，
，
，
解得，
当点在原点下方时，
同理可得，
，
，
△△，
，
，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
综上所述，；
（3）存在以、、为顶点的三角形与△相似，理由如下：
当点在轴的正半轴上时，
若△△，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
点的坐标为；
若△△，
，
，
整理得，无实数根，舍去；
当点在轴的负半轴上时，
若△△，
，
，
整理得，无实数根，舍去；
若△△，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．

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