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2024-2025学年上海市宝山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．下列说法正确的是　　
A．是二项方程 B．是二元二次方程
C．是分式方程 D．是无理方程
2．下列事件中，是随机事件的是　　
A．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数是5次
B．从一个装有白球和黑球的袋子中随机摸出一个球，摸出的是红球
C．任意画一个多边形，其外角和是
D．从八年级学生中任选13个人，其中有至少2人出生的月份相同
3．下列判断正确的是　　
A．
B．方向相反的两个向量叫做互为相反向量
C．如果，那么
D．如果，那么
4．已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是　　
A． B． C．当时， D．当时，
5．已知四边形，对角线、相交于点，下列条件中，能判断它是平行四边形的是　　
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为　　
A．5 B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．直线的截距是　　．
8．方程的解是　　 ．
9．方程组的解是　　 ．
10．将直线向上平移5个单位后所得直线解析式为　　 ．
11．如果直线经过第二象限，那么的取值范围是　　 ．
12．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
13．一个不透明的口袋里装有2个红球、3个白球，它们除了颜色外其他都相同．每次从口袋里摸出1个球，观察记录颜色后再放回搅匀．如果连续5次摸出的都是白球，那么第6次摸出红球的概率是　　 ．
14．2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为千米小时，那么根据题意可列出方程　　 ．
15．已知一个多边形的内角和是900度，那么这个多边形是 　　边形．
16．如图，已知梯形中，，，，，那么 　　 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果轴，那么的长为 　　 ．
18．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．将边沿着过点的一条直线翻折，点的对应点为，点的对应点为，联结、，如果点落在线段上，那么△的面积为 　　 ．
三、解答题：（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．解方程：．
20．解方程组：．
21．如图，在矩形中，对角线、交于点，点在的延长线上，且，联结．
（1）写出图中所有与相等的向量：　　 ；
（2）填空：　　 ，　　 ；
（3）在图中直接作出（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）．
22．为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．
（1）小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量（毫升）和时间（分钟）之间的关系如图3所示：
①求关于的函数解析式（不写定义域）；
②判断液体的实际流速是否与设定流速毫升小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升小时？
（2）小明用相同档位测试液体和液体的实际流速．实验发现：液体的流速比液体每小时快60毫升，因此输250毫升液体所需时间是输200毫升液体所需时间的2倍，求用该档位输液时液体和液体的实际流速．
23．已知：如图，在平行四边形中，点为对角线的中点，过点作交边、于点、，联结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果四边形为矩形，，，求的长．
24．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在射线上（不与点重合），点、在轴上（点在点左侧），四边形是正方形．
（1）当点的横坐标为时，求直线的表达式；
（2）当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由；
（3）点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标．
25．在平行四边形中，对角线、相交于点，，，是边上的一点，联结．
（1）如果，
①如图1，当点为中点时，求证：四边形为菱形；
②如图2，设，，求与的函数解析式（不用写定义域）；
（2）联结，如果△是以为腰的等腰直角三角形，求的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列说法正确的是　　
A．是二项方程 B．是二元二次方程
C．是分式方程 D．是无理方程
解：是一元四次方程，则不符合题意，
是二元二次方程，则符合题意，
是一元二次方程，则不符合题意，
是一元一次方程，则不符合题意，
故选：．
2．下列事件中，是随机事件的是　　
A．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数是5次
B．从一个装有白球和黑球的袋子中随机摸出一个球，摸出的是红球
C．任意画一个多边形，其外角和是
D．从八年级学生中任选13个人，其中有至少2人出生的月份相同
解：．选项事件是随机事件，符合题意；
．选项事件是不可能事件，不符合题意；
．选项事件是必然事件，不符合题意；
．选项事件是必然事件，不符合题意．
故选：．
3．下列判断正确的是　　
A．
B．方向相反的两个向量叫做互为相反向量
C．如果，那么
D．如果，那么
解：、，故错误；
、方向相反且长度相同的两个向量叫做相反向量，故错误；
、如果，那么，故正确；
、如果，那么不一定等于，故错误．
故选：．
4．已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是　　
A． B． C．当时， D．当时，
解：由题意，一次函数的图象从左到右逐渐下降，
，故正确，不合题意．
一次函数的图象与轴交于点，
，故正确，不合题意．
结合函数的图象，又图象过，，
当时，，故错误，符合题意；
当时，，故正确，不合题意．
故选：．
5．已知四边形，对角线、相交于点，下列条件中，能判断它是平行四边形的是　　
A．， B．，
C．， D．，
解：、错误．四边形可能是等腰梯形．
、错误．不满足是平行四边形的条件．
、错误．不满足是平行四边形的条件．
、正确．由，，可以推出△△，得到，所以四边形是平行四边形．
故选：．
6．如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为　　
A．5 B． C． D．
解：过点作于点，设的中点为，连接，过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，，
点，是边，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
由尺规作图可知：，
，
在△中，点是的中点，
，
，
△是等边三角形，
，
在△中，，
，
又，
△是等边三角形，
，，
，
，
，
在△中，，，
，
由勾股定理得：，
在△中，，，
，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
正方形的边长为．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．直线的截距是　　．
解：在一次函数中，
，
一次函数在轴上的截距．
故答案为：．
8．方程的解是　　 ．
解：，
，
故答案为：．
9．方程组的解是　或　 ．
解：，
由①，得③，
把③代入①，得，即，
解得：，，
把，分别代入③，得，，
方程组的解为或．
故答案为：或．
10．将直线向上平移5个单位后所得直线解析式为　　 ．
解：由题意，直线向上平移5个单位，
结合“上加下减，左加右减”的平移规律，可得平移后的直线解析式为．
11．如果直线经过第二象限，那么的取值范围是　　 ．
解：由题意，直线经过第二象限，
．
．
故答案为：．
12．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
解：已知方程，
设，
则原方程化为，
整理得：，
故答案为：．
13．一个不透明的口袋里装有2个红球、3个白球，它们除了颜色外其他都相同．每次从口袋里摸出1个球，观察记录颜色后再放回搅匀．如果连续5次摸出的都是白球，那么第6次摸出红球的概率是　　 ．
解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中第6次摸出红球的结果有2种，
第6次摸出红球的概率为．
故答案为：．
14．2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为千米小时，那么根据题意可列出方程　　 ．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
15．已知一个多边形的内角和是900度，那么这个多边形是 　七　边形．
解：设这个多边形是边形，
则，
解得：，
即这个多边形为七边形，
故答案为：七．
16．如图，已知梯形中，，，，，那么 　　 ．
解：分别过、点作于点，于点，如图，则，
，
，
四边形为矩形，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
即，
，
，，
在△中，，
在△中，．
故答案为：．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果轴，那么的长为 　2　 ．
解：，，
，，
，
，
，
，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
△是等边三角形，
；
故答案为：2．
18．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，．将边沿着过点的一条直线翻折，点的对应点为，点的对应点为，联结、，如果点落在线段上，那么△的面积为 　5　 ．
解：在菱形中，对角线与相交于点，，．如图1，
，，，
将边沿着过点的一条直线翻折，点的对应点为，点的对应点为，且点落在线段上，
，，折痕平分，即平分，
在射线上，
，
△的面积为，
故答案为：5．
三、解答题：（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19．解方程：．
解：，
移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验：是原方程的解，不是原方程的增根，舍去，
原方程的解是．
20．解方程组：．
解：由①得③，
把③代入②得：，
，
或，
，，
当时，，
当时，；
原方程组的解为，．
21．如图，在矩形中，对角线、交于点，点在的延长线上，且，联结．
（1）写出图中所有与相等的向量：　　 ；
（2）填空：　　 ，　　 ；
（3）在图中直接作出（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）．
解：（1）四边形为矩形，
，，
，
，
图中所有与相等的向量有：．
故答案为：．
（2）．
．
故答案为：；．
（3）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，作，
此时四边形为平行四边形，
，
，
则即为所求．
22．为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．
（1）小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量（毫升）和时间（分钟）之间的关系如图3所示：
①求关于的函数解析式（不写定义域）；
②判断液体的实际流速是否与设定流速毫升小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升小时？
（2）小明用相同档位测试液体和液体的实际流速．实验发现：液体的流速比液体每小时快60毫升，因此输250毫升液体所需时间是输200毫升液体所需时间的2倍，求用该档位输液时液体和液体的实际流速．
解：（1）①假设函数解析式为，将，代入解析式得，
，
解得，
函数解析式为；
②不一致，理由如下：当函数值为0时，
，
解得，
，
，
，
所以，液体的实际流速是否与设定流速不一致．
假设液体的实际流速为，设定流速为，，
将代入上式得，，解得，
，
当时，代入得，
，
，
所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升小时．
（2）假设液体的实际流速为，则液体的实际流速为，
根据题意得，
解方程得，
经检验，是分式方程的解，并符合题意，
此时，，
所以，该档位输液时液体的流速为，液体的实际流速为．
23．已知：如图，在平行四边形中，点为对角线的中点，过点作交边、于点、，联结、．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果四边形为矩形，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
为对角线的中点，
，
，
△△，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形为矩形，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
．
24．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在射线上（不与点重合），点、在轴上（点在点左侧），四边形是正方形．
（1）当点的横坐标为时，求直线的表达式；
（2）当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由；
（3）点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标．
解：（1）由条件可知，即，
，
当时，则，解得，即，
四边形是正方形，
，
，
设直线的表达式为，
将、代入得，
解得，
直线的表达式为；
（2）在，理由如下：
由（1）知，直线的表达式为，
当点在射线上运动时，设点的横坐标为，
，
则，
由条件可知，则，
将代入，得，
即此时，在（1）中的直线上；
（3）如图所示：
由（2）知，，
根据题意，分两种情况：
当时，
直线，
当时，，即，
设直线，将代入得，
直线，
当时，则，解得，
，
如果四边形是等腰梯形，则，
，即，
解得或，
当时，、，
、，
四边形是平行四边形（舍去）；
当时，、，
、，
四边形是等腰梯形，此时；
当时，则点与点重合，
如果四边形是等腰梯形，则，
过点作轴，如图所示：
四边形是正方形，
，
△△，
，
；
综上，点的坐标为或．
25．在平行四边形中，对角线、相交于点，，，是边上的一点，联结．
（1）如果，
①如图1，当点为中点时，求证：四边形为菱形；
②如图2，设，，求与的函数解析式（不用写定义域）；
（2）联结，如果△是以为腰的等腰直角三角形，求的长．
【解答】（1）①证明：在平行四边形中，，，
，，
，点为中点，
，
，
，
即，
四边形为菱形．
②解：过点作交延长线于点．
由题意得，，，
，
，，
△△，
，
，，
在△中，，
在中，，
由得，
；
（2）解：当时，，
，
；
当时，，，
，
．
综上所述，的长为或．

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