资源简介

14.3 角的平分线
第 1 课时角的平分线的性质
夯实基础
知识点1 角的平分线的尺规作图
1.如图，作∠AOB的平分线，作法如下：
①以 为圆心，适当长为半径作弧，交两边于点 C,D.
②分别以点 C，D 为圆心， 的长为半径作弧，两弧交于点 E.
③则射线 OE 就是∠AOB的平分线.
这样做的依据是 .
2.(2025·台州期末)如图,以点 O 为圆心,任意长为半径画弧，交OA，OB 于点C，D，再以点O为圆心，大于OC长为半径画弧，交OA，OB 于点E,F.连接CF,DE,交于点 M,画射线 OM.求证:OM平分∠AOB.
知识点2 角的平分线的性质
3.如图,在△ABC中,AD 是角平分线,DE⊥AC 于点E,DE=2,则点 D到AB的距离为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC 的平分线AD交BC于点D,CD=2,AB=7,则△ABD的面积是 ( )
A.6 B.7 C.8 D.14
5.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点 D,AD=3.若点 P 是边 BC上的动点,则线段DP的最小值是 ( )
A.3 B.2.4 C.4 D.5
6.如图,∠B=∠D=90°,根据角平分线的性质填空.
(1)若∠1=∠2,则BC= .
(2)若∠3=∠4,则 =AD.
7.如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD 和△ACD 的高,AE=12,DF=5,AD=13,则点E到直线AD 的距离为 . .
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④BE=DE;⑤△BDE 与△ACD 的面积之比为 BD 与 AC 的长度之比.其中正确的是
9.如图,点 D 是△ABC的外角∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为点 E,F.求证:CE=CF.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为点 H.若 BC=3,AB=4,AC=5,则IH 的长为 ( )
A.1 B. C.2 D.
11.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC 和∠DCB,AD 过点 P,且与AB垂直.若AD=8,则点 P到 BC 的距离是 ·
12.如图,OD 平分∠AOB,OA=OB,点 P 为 OD 上一点,PM⊥BD 于点 M,PN⊥AD 于点 N.求证:PM=PN.
13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点 E,点F在边AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
思维拓展
14.核心素养。几何直观在四边形ABCD 中，AC平分∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°.
(1)如图1,求证:CD=CB.
(2)如图2,点O 为AC的中点,点 M 为AB 上一点,BM=AD.求证:CM=2DO.
第2课时 角的平分线的判定
夯实基础
知识点1 角平分线的判定
1.如图,点 P 在∠AOB 内部,PC⊥OA 于点 C,PD⊥OB于点D,PC=3c m,要使点 P 在∠AOB的平分线上，则PD的长为 ( )
A.1 cm
B.2cm
C.3cm
D.4 cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,点 D 为边AC上一点,连接BD,DE⊥AB于点E,且CD=DE,则∠CBD的度数为 ( )
A.65° B.32.5° C.25° D.12.5°
3.如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处.(阴影部分不能修建超市)
4.如图,AD 是△ABC 的中线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC于点 F,且 BE=CF.求证:AD 是△ABC的角平分线.
知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用
5.三角形中，到三边距离相等的点是 ()
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
6.在△ABC 中,∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点 P.若点 P 到边 AB 的距离等于4 cm,则它到边AC 和BC 的距离之和等于 cm.
7.如图,在△ABC中,点O到三边的距离相等,∠BAC=60°,则∠BOC 的度数是 .
8.如图,BE,CE 分别为△ABC的两个外角的平分线,EP⊥AM 于点 P,EQ⊥AN 于点 Q,ED⊥BC 于点 D,求证:点 E 在∠NAM 的平分线上.
9.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=5,BC=12,AC=13.△ABC 内是否有一点 P 到各边的距离相等 如果有，请作出这一点.说明理由并求出这个距离.
B能力提升
10.如图,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为点A,B,且 PA=PB.下列结论中不一定成立的是( )
A. PO平分∠AOB B. PO平分∠APB
C. OA=OB D. AB平分OP
11.如图,AB∥CD,AD⊥DC 于点 D,AE⊥BC 于点E,∠DCA =55°,AD =AE,则∠B 的度数是
12.如图,已知△ABC周长是10,OB,OC分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于 D,且 OD=1,则△ABC的面积是 .
13.如图,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,点M是BC的中点,连接DM,DM平分∠ADC,连接AM.若∠DAB=65°,求∠BAM的度数.
思维拓展
14.如图,CA =CB,点 E 在 BC 上,且 CE = CD,∠ACB=∠DCE=90°,AE的延长线交 BD 于点F,连接CF.
(1)求证:AE=BD.
(2)求证:AF⊥BD.
(3)求∠CFB的度数.
14.3 角的平分线
第1课时角的平分线的性质
A夯实基础
知识点1 角的平分线的尺规作图
1.如图，作∠AOB 的平分线，作法如下：
①以 点O 为圆心，适当长为半径作弧，交两边于点 C,D.
②分别以点 C，D 为圆心， 大于CD的长为半径作弧，两弧交于点 E.
③则射线 OE 就是∠AOB的平分线.
这样做的依据是 SSS .
2.(2025·台州期末)如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA，OB 于点C，D，再以点O为圆心，大于OC长为半径画弧，交OA，OB 于点E,F.连接CF,DE,交于点M,画射线 OM.求证:OM平分∠AOB.
答案解：由作图步骤可知，OC=OD，OE=OF.
∵∠COF=∠DOE,
∴△COF≌△DOE(SAS),
∴∠CFO=∠DEO.
∵OC=OD,OE=OF,
∴ CE=DF.
又∵∠CME=∠DMF,
∴△CME≌△DMF(AAS),∴EM=MF.
∵OE=OF,∠CFO=∠DEO,
∴△OEM≌△OFM(SAS),∴∠EOM=∠FOM,
∴OM 平分∠AOB.
知识点2 角的平分线的性质
3.如图,在△ABC中,AD 是角平分线,DE⊥AC 于点E,DE=2,则点 D到AB 的距离为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,CD=2,AB=7,则△ABD的面积是 (B)
A.6 B.7 C.8 D.14
5.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC 交AC于点 D,AD=3.若点 P 是边 BC上的动点,则线段DP 的最小值是 (A)
A.3 B.2.4 C.4 D.5
6.如图,∠B=∠D=90°,根据角平分线的性质填空.
(1)若∠1=∠2,则BC= DC .
(2)若∠3=∠4,则 AB =AD.
7.如图,已知AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD 和△ACD 的高,AE=12,DF=5,AD=13，则点E到直线AD的距离为
沪科版教材P140练习T1 改编如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④BE=DE;⑤△BDE 与△ACD 的面积之比为 BD 与AC 的长度之比.其中正确的是 ①②③ .
9.如图,点D 是△ABC的外角∠ACG的平分线上的一点. DE⊥AC,DF⊥CG,垂足分别为点 E,F.求证:CE=CF.
证明:∵ CD 是∠ACG 的平分线,DE⊥AC,DF⊥CG,∴DE=DF.
答案在Rt△CDE和Rt△CDF中,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL),
∴CE=CF.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线，垂足为点 H.若 BC=3,AB=4,AC=5,则 IH 的长为 (A)
A.1 B. C.2 D.
11. 如图,AB∥CD,BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB,AD 过点 P,且与AB 垂直.若AD=8,则点 P到 BC 的距离是 4 .
12.如图,OD 平分∠AOB,OA=OB,点 P 为OD 上一点,PM⊥BD 于点 M,PN⊥AD 于点 N.求证:PM=PN.
证明:∵OD 平分∠AOB,
∴∠BOD=∠AOD.
∵OB=OA,OD=OD,
∴△OBD≌△OAD(SAS),
∴∠BDO=∠ADO.
∵PM⊥BD,PN⊥AD,∴PM=PN.
13.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点 E,点 F在边AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB.
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB 于点 E,∴DE=DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),∴CF=EB.
(2)设CF=x,则AE=12-x.
在 Rt△ACD 和Rt△AED 中, ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,即8+x=12-x,解得x=2,即CF=2.
思维拓展
14.核心素养·几何直观在四边形ABCD 中，AC平分∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°.
(1)如图1,求证:CD=CB.
(2)如图2,点O 为AC的中点,点 M 为AB 上一点,BM=AD.求证:CM=2DO.
解:(1)如图1,过点C分别作CE⊥AB 于点 E,CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F,则∠CEB =∠CFD=90°.
∵∠ADC+∠CDF=180°,∠ADC+∠ABC=180°,
∴∠CDF=∠ABC.
∵AC平分∠DAB,CE⊥AB,CF⊥AD,
∴CE=CF,∴△CDF≌△CBE(AAS),∴CD=CB.
(2)如图2,延长DO至点N,使ON=DO,连接AN.
∵AO=OC,∠AON=∠COD,∴ △AON≌△COD(SAS),∴∠N=∠CDO,AN=CD=CB,
∴CD∥AN,∴∠DAN+∠ADC=180°,
∴∠DAN=180°-∠ADC=∠B.
又∵AD=BM,∴△AND≌△BCM(SAS),∴CM=DN=2DO.
第2课时 角的平分线的判定
夯实基础
知识点1 角平分线的判定
1.如图,点 P 在∠AOB 内部,PC⊥OA 于点 C,PD⊥OB于点D,PC=3cm,要使点 P 在∠AOB的平分线上，则PD的长为 (C)
A.1 cm
B.2cm
C.3cm
D.4 cm
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,点 D 为边AC上一点,连接BD,DE⊥AB于点E,且CD=DE,则∠CBD的度数为 (B)
A.65° B.32.5° C.25° D.12.5°
3.如图，三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 3 处.(阴影部分不能修建超市)
4.如图,AD 是△ABC 的中线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC于点 F,且 BE=CF.求证:AD 是△ABC的角平分线.
答案证明:∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD.
在 Rt△EBD和 Rt△FCD 中,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),
∴DE=DF.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线,即AD是△ABC的角平分线.
知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用
5.三角形中，到三边距离相等的点是 (C)
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
6.在△ABC 中,∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点 P.若点 P 到边 AB 的距离等于4 cm,则它到边AC 和BC 的距离之和等于 8 cm.
7.如图,在△ABC中,点 O 到三边的距离相等,∠BAC=60°,则∠BOC 的度数是 120° .
8.如图,BE,CE 分别为△ABC的两个外角的平分线,EP⊥AM 于点 P,EQ⊥AN 于点 Q,ED⊥BC 于点 D,求证:点 E 在∠NAM 的平分线上.
证明:∵ BE,CE分别为△ABC的两个外角的平分线,EP ⊥ AM, EQ ⊥ AN,ED⊥BC,
∴EP=ED,EQ=ED,∴EP=EQ.
又∵EP⊥AM,EQ⊥AN,
∴点E在∠NAM的平分线上.
9.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,AC=13.△ABC 内是否有一点 P 到各边的距离相等 如果有，请作出这一点.说明理由并求出这个距离.
解：△ABC内有一点 P 到各边的距离相等.如 图,作 ∠CAB 和∠ABC的平分线交于点 P，则点P到各边的距离相等.
理由如下：过点P作PD⊥AC于点D,PE⊥AB 于点 E,PF⊥BC于点F，
则PD=PE,PE=PF,所以PD=PE=PF,即△ABC内有一点P到各边的距离相等，12×5÷2=30,30×2÷(5+12+13)=60÷30=2.
答：这个距离是2.
B能力提升
10.如图,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为点A,B,且 PA=PB.下列结论中不一定成立的是(D)
A. PO平分∠AOB B. PO平分∠APB
C. OA=OB D. AB平分OP
11.如图,AB∥CD,AD⊥DC 于点 D,AE⊥BC 于点E,∠DCA =55°,AD =AE,则∠B 的度数是 70° .
12.如图,已知△ABC周长是10,OB,OC 分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于 D,且OD=1,则△ABC的面积是 5 .
13.如图,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,点M是BC的中点,连接DM,DM平分∠ADC,连接AM.若∠DAB=65°,求∠BAM的度数.
答案解:如图,作 MN⊥AD 于点 N.
∵∠C=90°,DM平分∠ADC,
∴MN=CM.
∵点M 是BC的中点,
∴CM=BM,
∴MN=BM.
∵∠B=90°,
∴点M在∠DAB的平分线上，
∴AM平分∠BAD,
思维拓展
14.如图,CA=CB,点 E 在 BC 上,且 CE = CD,∠ACB=∠DCE=90°,AE的延长线交 BD 于点F,连接CF.
(1)求证:AE=BD.
(2)求证:AF⊥BD.
(3)求∠CFB的度数.
解:(1)证明:在△BCD和△ACE中,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD.
(2)∵△BCD≌△ACE,
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠AEC+∠CAE=90°,∠AEC=∠BEF,
∴∠CBD+∠BEF=90°,
∴∠BFE=90°,
∴AF⊥BD.
(3)如图,过点C作CM⊥AE于点 M,CN⊥BD于点 N.
易证△ACM≌△BCN(AAS),∴CM=CN,∴∠AFC=∠CFD=45°,∴∠CFB=135°.

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