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14.2三角形全等的判定
第 1课时 用“SAS”判定三角形全等
夯实基础
知识点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.在△ABC 和△DEF中,下列给出的条件,能用“SAS”判定这两个三角形全等的是 ( )
A. AB=DE,BC=DF,∠A=∠D
B. AB=EF,AC=DF,∠A=∠D
C. AB=BC,DE=EF,∠B=∠E
D. BC=EF,AC=DF,∠C=∠F
2.(2025·临汾期末)最早的风筝是用木头制成的，称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.则可以直接判定( )
A.△AEG≌△ABC B.△AEG≌△ACF
C.△ABF≌△ADC D.△ABC≌△ADE
3. 如图, AB = AC, AE = AD.若用“SAS”证明△ACD≌△ABE，则需要补充的一个条件是
4.如图,点A,D,B,E在同一直线上,BC=EF,AD=BE,∠ABC=∠E,求证:AC∥DF.
知识点2“SAS”定理的应用
5.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2的度数是 ( )
A.150° B.180° C.210° D.225°
6.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”，于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD 的中点 O 固定，只要测得点C，D之间的距离，就可知道内径AB 的长度.此方 案 中, 判 定 △AOB ≌ △COD 的 依 据是 .
7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,AC平分∠BAD.若 CD=5,则四边形 ABCD 的周长为
如图，有一块三角形的瓷砖，小明不小心将它打破成①②两块，现需配成同样大小的一块.为了方便起见，需带上 ，理由是
9.(2024·长沙)如图,点 C 在线段 AD 上,AB=8AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE.
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.
B能力提升
10.如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架,已知∠B=∠E,AB =DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3c m,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为( )
A.45 cm B.48 cm C.51 cm D.54 cm
11.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE.若∠FDE=α,则∠A= (用含α的代数式表示).
12.(2025·南昌期末)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,点 D为AB的中点,点P 在线段BC上以每秒2个单位的速度由点 B向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上以每秒a(a>0)个单位的速度由点 C 向点 A 运动.设运动时间为t(单位:s,0≤t≤3).
(1)线段 PC= (用含 t的代数式表示).
(2)若点 P，Q的运动速度相等，t=1时，△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由.
思维拓展
13.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,BC,DE 分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE.
(1)求证:BD=CE.
(2) 连接 DC,若∠BAD = ∠CAD,试说明:CD=CE.
(3)延长BD交CE延长线于点 M,若∠ABC=70°,求∠DME的度数.
第 2课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
夯实基础
知识点1 用“ASA”判定两个三角形全等
1.(2025·庆阳期末)如图,已知△ABC 的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是 ( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.(2025·保定期末)王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是 ( )
A.只携带①去 B.只携带②去
C.只携带③去 D.携带②和③去
3.如图,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠BAD,在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABC ≌ △ABD, 需 再 添 加 一 个 条 件 是 ·
4.如图,AC与BD相交于点O,AB∥CD,OA=OC.求证:AB=CD.
知识点2 用“AAS”判定两个三角形全等
5.(2025·赤峰期末)如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D,BC=DE,便能得到△ABC≌△AED,这所依据的是 ( )
A. SSS B. AAS
C. ASA D. SAS
6.如图,在△AOB 和△COD中,∠A=∠C,请添加一个条件 ，使得△AOB≌△COD.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 是边AB上一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E,则△ACB≌ ,判断的依据是 (用字母表示).
8.如图,AB⊥AD,AE⊥AC,∠E=∠C,DE=BC.求证:AD=AB.
B能力提升( 规律方法，技巧点拨
9.(2025·新乡期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.若点A(-3,3),B(0,-2),则点 C的坐标为 ( )
A.(4,1)
B.(5,2)
C.(5,1)
D.(6,2)
10.(2025·聊城期中)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA与地面垂直，她的双脚在地面上用力一蹬，秋千开始向后荡，妈妈在距地面0.8m高的 B 处接住她后用力一推，当秋千荡到C处时爸爸接住她.若妈妈、爸爸到OA 的水平距离 BD，CE 分别为1.3m和1.6m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ()
A.1m B.1.1m
C.1.2m D.1.3m
11.如图,在△ABE 和△ACD 中,∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=3,则CE的长是 .
12.如图,在△ABC中,延长 CB 至点 D 使得 BD=BC,过点 D 作 DF∥AC,点 F 与AB 上一点 E连接且∠BEF=∠A.若AC=8,DF=2,则EF=
13.如图,AC,BD为△ABF的高,AC与BD相交于点E,AC=BC,BD平分∠ABF.
(1)求证:AD=FD.
(2)若AD=4,求BE的长.
思维拓展
14. 核心素养·推理能力在△ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC,直线MN经过点 C,且AD⊥MN于点 D,BE⊥MN于点 E.
(1)当直线MN绕点 C 旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE.
当直线MN绕点 C 旋转到图2的位置时，猜想DE，AD，BE之间的关系，并证明.
第 3课时 用“SSS”判定三角形全等
夯实基础
知识点1 用“SSS”判定两个三角形全等
1.(2025·沧州期末)如图是手工艺人制作的风筝,他根据AB=AD,BC=CD,利用两个三角形全等不用度量就可以知道∠ABC=∠ADC，他判定两个三角形全等的依据是 ( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2.如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定 ( )
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE D.△ABE≌△CDE
3.如图,在△ACE和△BDF 中,AE=BF,CE=DF,要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF时,需增加一个条件，这个条件可以是
4.人教版教材P45T15改编如图,点B,F,C,E在同一条直线上,FB=CE,AB=DE,AC=FD.求证:△ABC≌△DEF.
知识点2 利用“SSS”作三角形和相等角
5.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB 的示意图.
作法：①以 为圆心，任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心， 长为半径画弧,交O'A'于点 C';
③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点 D'；
④过点 D'画射线O'B',测得∠A'O'B'=∠AOB.根据图形以及全等的知识，说明画出∠A'O'B'=∠AOB的依据是 .
6.已知△ABC,用尺规作出△A'B'C',使△A'B'C'≌△ABC.(不写作法，保留作图痕迹)
知识点3“SSS”判定的应用
7.如图,在△ABC 和△DBC中,AB=DB,AC=DC,∠ACB=40°,则∠ACD的度数是 ( )
A.40° B.60° C.80° D.100°
8.沪科版教材P102T2改编如图,若AB=AC,AE=AD,BD=CE,∠CAE=20°,则∠BAD= .
9.如图,AB=AC,DB=EC,AD=AE,∠1=20°,求∠2的度数.
B能力提升
10.新考法下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
如图,已知AB=AD,CB=CD.∠B=30°,∠BAD=50°,求∠BCD的度数.
∴∠BCA=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-25°=125°,
∴∠BCD=360°-2∠BCA=(※).
第10题图
则下列选项正确的是 ( )
A.☆代表对应边 B.※代表110°
C.@代表ASA D.◎代表∠DCA
11.如图,已知 AB = CD,BC = DA,下列结论:①∠BAC=∠DCA;②AB∥CD;③∠D+∠BCD=180°.其中正确的结论有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12.(2025·盐城期末)如图,AB=AC,AD=AE,点 B,D,E在同一条直线上,BD=CE,且∠BAC=68°.
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)求∠BEC 的度数.
思维拓展
13.核心素养·推理能力
【初步探索】
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是边 BC,CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.
小明同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点G,使 DG = BE.连接 AG,先证明 △ABE ≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,则他的结论应是 .
【灵活运用】
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
第 4课时 用“HL”判定直角三角形全等
夯实基础
知识点1 用“HL”判定两个直角三角形全等
1.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件中能利用“HL”判定 Rt△ABC≌Rt △A'B'C'的是( )
A. AC=A'C',∠A=∠A' B. AB=A'B',∠A=∠A'
C. AC=A'C',BC=B'C' D. AC=A'C',AB=A'B'
2. 如图,∠C =∠D =90°,若利用“HL”证明△ABC≌△BAD,需添加的条件是 .(写出一种即可)
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 是边AC上一点,DE⊥AB 于点 E,BE=BC,连接 BD.若 AC=8cm,则AD+DE= cm.
4.如图,在 Rt△ABC 与 Rt△DEF中,∠B=∠E=90°,BF=CE,AB= DE, ∠A = 50°,则 ∠DFE =
5.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿 BD行走，两人同时到达点 C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA 相等吗 为什么
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB 于点 D,DB=BC.求证:AC=AE+DE.
知识点2 直角三角形全等的判定方法综合
7.下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.两条直角边对应相等
B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等
D.一条边和一个角对应相等
8.如图,已知∠B=∠C=90°,AD=AE,添加下列条件后不能使△ABD≌△ECA的是 ( )
A. AD=2BD
B. BD=AC
C.∠DAE=90°
D. AB=EC
9.如图,点 C在 BD 上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点 H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC 于点 E.若∠B=32°,则∠AEC= .
12.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC 和过点A且垂直于 AC 的射线AO 上运动,当AP= 时,△ABC 和△PQA全等.
13.新考法在八年级数学活动课上，同学们讨论了这样一道题目：
如图,∠BAC 是钝角,AB=AC,点 D,E分别在边AB,AC上,且CD=BE.
证明:∠AEB=∠ADC.
其中一个同学的解法是这样的：
在△ABE 和△ACD中, 所以△ABE≌△ACD(SSA),所以∠AEB=∠ADC.
这种解法遭到了其他同学的质疑，理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等.请你给出正确的解法.
思维拓展
14.核心素养·创新意识(1)【问题背景】如图1，已知∠ADB=∠AEC=90°,AD=AE,AB=AC.求证:EC=DB.
(2)【变式运用】如图2,AD=AE,AC=AB,∠D=∠AEC=90°,点E在线段AB上,CE的延长线交 BD 于点 F,求证:CF=DF+DB.
(3)【拓展创新】如图3,已知点A(2,2),点 C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴，AB=AC,求OC-OB的值.
14.2三角形全等的判定
第 1课时 用“SAS”判定三角形全等
夯实基础
知识点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是 (D)
A. AB=DE,BC=DF,∠A=∠D
B. AB=EF,AC=DF,∠A=∠D
C. AB=BC,DE=EF,∠B=∠E
D. BC=EF,AC=DF,∠C=∠F
2.新情境(2025·临汾期末)最早的风筝是用木头制成的，称为“木鸢”.后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞.在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.则可以直接判定(D)
A.△AEG≌△ABC B.△AEG≌△ACF
C.△ABF≌△ADC D.△ABC≌△ADE
3. 如图,AB = AC,AE = AD.若用“SAS”证明△ACD≌△ABE，则需要补充的一个条件是 ∠BAC=∠EAD(或∠CAD=∠EAB) .
4.如图,点A,D,B,E在同一直线上,BC=EF,AD=BE,∠ABC=∠E,求证:AC∥DF.
证明:∵AD=BE,
∴AD+DB=BE+DB,
∴AB=DE.
答案在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠A=∠FDE.
∴AC∥DF.
知识点2“SAS”定理的应用
5.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2的度数是 (B)
A.150° B.180° C.210° D.225°
6.新情境数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”，于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD 的中点 O 固定，只要测得点C，D之间的距离，就可知道内径AB 的长度.此方 案 中, 判 定 △AOB ≌ △COD 的 依 据是 SAS .
7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,AC平分∠BAD.若 CD=5,则四边形 ABCD 的周长为 26 .
如图，有一块三角形的瓷砖，小明不小心将它打破成①②两块，现需配成同样大小的一块.为了方便起见，需带上 ① ，理由是 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 .
9.(2024·长沙)如图,点 C 在线段 AD 上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE.
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数.
答案解:(1)证明:在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°,
即∠ACE的度数是60°.
B能力提升
10.如图是工人师傅用同一种材料制成的金属框架,已知∠B=∠E,AB =DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为(A)
A.45 cm B.48 cm C.51 cm D.54 cm
11.如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD,BD=CE.若∠FDE=α,则∠A= 180°-2α (用含α的代数式表示).
12.(2025·南昌期末)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,点 D为AB的中点,点P 在线段BC上以每秒2个单位的速度由点 B向点 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上以每秒a(a>0)个单位的速度由点 C 向点 A 运动.设运动时间为t(单位:s,0≤t≤3).
(1)线段 PC= (用含t的代数式表示).
(2)若点 P,Q 的运动速度相等,t=1 时,△BPD 与△CQP 是否全等,请说明理由.
解:(1)由题意,得PB=2t,
∴PC=BC-BP=6-2t.故答案为6-2t.
(2) △BPD 与△CQP 全等.理由如下：
∵点D为AB的中点，
当t=1时,BP=2,CP=4,CQ=2,
∴CQ=BP,CP=BD.
又∵∠B=∠C,
∴△BPD≌CQP(SAS).
思维拓展
13.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,BC,DE 分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE.
(1)求证:BD=CE.
(2) 连接 DC,若∠BAD = ∠CAD,试说明:CD=CE.
(3)延长BD交CE 延长线于点 M,若∠ABC=70°,求∠DME 的度数.
解:(1)证明:∵ △ABC和△ADE 都是等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边，
∴AB=AC,AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
(2)在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS),∴BD=CD.
∵BD=CE,∴CD=CE.
(3)∵∠ABC=70°,AB=AC,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC=∠DAE=180° 2×70°=40°.
由(1)知,△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC,
∴∠ADM=∠AEM.
∵∠ADM+∠DAE=∠AEM+∠DME,
∴∠DME=∠DAE=40°.
第 2课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
A夯实基础
知识点1 用“ASA”判定两个三角形全等
1.(2025·庆阳期末)如图,已知△ABC 的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与△ABC全等的三角形是 (B)
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
2.(2025·保定期末)王师傅不小心将一块瓷砖摔碎了，摔成如图所示的三块，现要去瓷砖生产厂切割一块完全一样的瓷砖，下列携带方式可行的是 (A)
A.只携带①去 B.只携带②去
C.只携带③去 D.携带②和③去
3.如图,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠BAD,在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABC ≌ △ABD, 需 再 添 加 一 个 条 件 是 ∠ABC=∠ABD .
4.如图,AC与BD 相交于点 O,AB∥CD,OA=OC.求证:AB=CD.
答案证明:∵AB∥CD,
∴∠A=∠C.
又∵OA=OC,∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴AB=CD.
知识点2 用“AAS”判定两个三角形全等
5.(2025·赤峰期末)如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D,BC=DE,便能得到△ABC≌△AED,这所依据的是 (B)
A. SSS B. AAS
C. ASA D. SAS
6.如图,在△AOB 和△COD中,∠A=∠C,请添加一个条件 OA=OC或OB=OD或AB=CD ,使得△AOB≌△COD.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 是边AB上一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点 E,则△ACB≌ △MDE ,判断的依据是 AAS (用字母表示).
8.如图,AB⊥AD,AE⊥AC,∠E=∠C,DE=BC.求证:AD=AB.
证明:证△ADE≌△ABC(AAS),∴AD=AB.
B能力提升
9.(2025·新乡期末)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.若点A(-3,3),B(0,-2),则点 C的坐标为 (C)
A.(4,1)
B.(5,2)
C.(5,1)
D.(6,2)
10.(2025·聊城期中)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，她的双脚在地面上用力一蹬，秋千开始向后荡，妈妈在距地面0.8m高的 B 处接住她后用力一推，当秋千荡到C处时爸爸接住她.若妈妈、爸爸到OA 的水平距离 BD，CE 分别为1.3m和1.6m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 (B)
A.1m B.1.1m
C.1.2m D.1.3m
11.如图,在△ABE 和△ACD 中,∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=3,则CE的长是 2 .
12.如图,在△ABC中,延长 CB 至点 D 使得 BD=BC,过点 D 作 DF∥AC,点 F 与 AB 上一点 E连接且∠BEF=∠A.若AC=8,DF=2,则EF= 6 .
13.如图,AC,BD为△ABF的高,AC与BD相交于点E,AC=BC,BD平分∠ABF.
(1)求证:AD=FD.
(2)若AD=4,求BE的长.
答案解:(1)证明:证△ABD≌△FBD(ASA),∴AD=FD.
(2)证△BCE≌△ACF(AAS),
∴BE=AF=2AD=8.
思维拓展
14. 在△ABC 中,∠ACB =90°,AC=BC,直线 MN经过点 C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点 E.
(1)当直线MN绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE.
(2)当直线 MN绕点 C 旋转到图2的位置时，猜想DE，AD，BE之间的关系，并证明.
解:(1)证明:①∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
又∵AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS).
②∵△ADC≌△CEB,∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CD+CE=AD+BE.
(2)AD=BE+DE.证明如下:
∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
又∵AC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,CD=BE.
∵CE=CD+DE,∴AD=BE+DE.
第 3课时 用“SSS”判定三角形全等
夯实基础
知识点1 用“SSS”判定两个三角形全等
1.(2025·沧州期末)如图是手工艺人制作的风筝,他根据AB=AD,BC=CD,利用两个三角形全等不用度量就可以知道∠ABC=∠ADC，他判定两个三角形全等的依据是 (A)
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
2.如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定 (B)
A.△ABD≌△ACD B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE D.△ABE≌△CDE
3.如图,在△ACE和△BDF中,AE=BF,CE=DF,要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF时,需增加一个条件,这个条件可以是 AC=BD(或 AB= (CD) .
4.人教版教材P45T15改编如图,点B,F,C,E在同一条直线上,FB=CE,AB=DE,AC=FD.求证:△ABC≌△DEF.
答案证明:∵ FB=CE,
∴ FB+FC=CE+FC,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
知识点2 利用“SSS”作三角形和相等角
5.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB 的示意图.
作法：①以 点O 为圆心，任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
②画一条射线O'A',以点O'为圆心, OC 长为半径画弧,交O'A'于点 C';
③以点 C' 为圆心， CD 长为半径画弧，与第②步中所画的弧交于点 D'；
④过点 D'画射线O'B',测得∠A'O'B'=∠AOB.根据图形以及全等的知识，说明画出∠A'O'B'=∠AOB 的依据是 边边边或SSS .
6.已知△ABC,用尺规作出△A'B'C',使△A'B'C'≌△ABC.(不写作法，保留作图痕迹)
解:如图所示,△A'B'C'即为所作.
知识点3“SSS”判定的应用
7.如图,在△ABC 和△DBC中,AB=DB,AC=DC,∠ACB=40°,则∠ACD的度数是 (C)
A.40° B.60° C.80° D.100°
8. 沪科版教材P102T2改编如图,若AB=AC,AE=AD,BD=CE,∠CAE=20°,则∠BAD= 20° .
9.如图,AB=AC,DB=EC,AD=AE,∠1=20°,求∠2的度数.
解:∵AB=AC,DB=EC,AD=AE,
∴△EAC≌△DAB(SSS),
∴∠EAC=∠DAB,∠EAC-∠BAC=∠DAB-∠BAC,
∴∠2=∠1=20°.
B能力提升
10.新考法下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
如图,已知AB=AD,CB=CD.∠B=30°,∠BAD=50°,求∠BCD的度数.
答案解:在△ABC和△ADC中,
公共边)，
∴△ABC≌△ADC(@),
∴ ∠BCA = ∠DCA,∠BAC =
(◎)=25°(全等三角形的☆相等)，
∴∠BCA=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-25°=125°,
∴ ∠BCD=360°-2∠BCA=(※).
则下列选项正确的是 (B)
A.☆代表对应边 B.※代表110°
C.@代表ASA D.◎代表∠DCA
11.如图,已知 AB = CD,BC = DA,下列结论:①∠BAC=∠DCA;②AB∥CD;③∠D+∠BCD=180°.其中正确的结论有 (D)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
12.(2025·盐城期末)如图,AB=AC,AD=AE,点 B,D,E在同一条直线上,BD=CE,且∠BAC=68°.
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)求∠BEC 的度数.
解:(1) 证明:在△ABD 和
△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
(2)设AC,BE相交于点 O. B
∵ △ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠ABO+∠BAC=∠BOC,∠ACE+∠BEC=∠BOC,
∴∠BAC=∠BEC.
∵∠BAC=68°,
∴∠BEC=∠BAC=68°.
思维拓展
13.核心素养·推理能力
【初步探索】
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是边 BC,CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.
小明同学探究此问题的方法是：延长 FD到点G,使 DG = BE.连接 AG,先证明 △ABE ≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,则他的结论应是 ∠BAE+∠FAD=∠EAF .
【灵活运用】
(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
解:(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF
(2)仍成立.理由如下：
如图2,延长FD到点M,使DM=BE,连接AM.
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADM+∠ADF=180°,
∴∠B=∠ADM.
在△ABE和△ADM中,
∴∠BAE=∠DAM,AE=AM.
∵EF=BE+DF,
∴EF=DM+DF=MF.
在△AEF和△AMF中,
∴∠EAF=∠MAF=∠DAM+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
第 4课时 用“HL”判定直角三角形全等
A夯实基础
知识点1 用“HL”判定两个直角三角形全等
1.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件中能利用“HL”判定 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是 (D)
A. AC=A'C',∠A=∠A' B. AB=A'B',∠A=∠A'
C. AC=A'C',BC=B'C' D. AC=A'C',AB=A'B'
2. 人教版教材P42例6改编如图,∠C=∠D =90°,若利用“HL”证明△ABC≌△BAD,需添加的条件是 AC=BD(答案不唯一) .(写出一种即可)
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D 是边AC上一点,DE⊥AB 于点 E,BE=BC,连接 BD.若AC=8cm,则AD+DE= 8 cm.
4.如图,在 Rt△ABC 与 Rt△DEF中,∠B=∠E=90°,BF=CE,AB= DE,∠A = 50°,则∠DFE = B 40°.
5.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，两人同时到达点 C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA 相等吗 为什么
答案解:CB=DA.理由如下:
∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人同时到达,∴AC=BD.
∵CB⊥AB,DA⊥AB,
∴∠ABC=∠BAD=90°.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴CB=DA.
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB 于点 D,DB=BC.求证:AC=AE+DE.
证明:∵∠C=90°,DE⊥AB,∴△BEC 和△BED 都是直角三角形.
∵BD=BC,BE=BE,
∴Rt△BEC≌Rt△BED(HL),
∴CE=DE,
∴AC=AE+CE=AE+DE.
知识点2 直角三角形全等的判定方法综合
7.下列条件中不一定能判定两个直角三角形全等的是 (D)
A.两条直角边对应相等
B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等
D.一条边和一个角对应相等
8.如图,已知∠B=∠C=90°,AD=AE,添加下列条件后不能使△ABD≌△ECA的是 (A)
A. AD=2BD
B. BD=AC
C.∠DAE=90°
D. AB=EC
9.如图,点 C在 BD 上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴ ∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE,
∴∠BAC=∠DCE.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
B能力提升
10.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E,AD,CE交于点 H.若EH=EB=3,AE=4,则CH的长是 (A)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC 于点 E.若∠B=32°,则∠AEC= 61° .
12.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC 和过点A且垂直于 AC 的射线AO 上运动,当AP= 5或10 时,△ABC和△PQA全等.
13.在八年级数学活动课上，同学们讨论了这样一道题目：
如图,∠BAC是钝角,AB=AC,点 D,E 分别在边AB,AC上,且CD=BE.
证明:∠AEB=∠ADC.
其中一个同学的解法是这样的：
在△ABE 和△ACD中,
所以△ABE≌△ACD(SSA),
所以∠AEB=∠ADC.
这种解法遭到了其他同学的质疑，理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等.请你给出正确的解法.
答案证明:∵∠BAC是钝角,∴过B,C两点分别作 CA,BA 的垂线，垂足分别为点F，G.在△ABF与△ACG中,
∴△ABF≌△ACG(AAS),∴BF=CG.
在Rt△BEF和 Rt△CDG中
∴ Rt△BEF≌Rt△CDG(HL),∴∠AEB=∠ADC.
思维拓展
14.核心素养·创新意识(1)【问题背景】如图1，已知∠ADB=∠AEC=90°,AD=AE,AB=AC.求证:EC=DB.
(2)【变式运用】如图2,AD=AE,AC=AB,∠D=∠AEC=90°,点E在线段AB上,CE的延长线交 BD 于点 F,求证:CF=DF+DB.
(3)【拓展创新】如图3,已知点A(2,2),点 C在x轴正半轴上，点B在y轴的负半轴，AB=AC,求OC-OB的值.
解:(1)证明:如图1,在Rt△ADB和Rt△AEC中,AB=AC,AD=AE,∴ Rt△ADB≌Rt△AEC(HL) ,∴EC=DB.
(2)证明:如图2,连接AF.由(1)知EC=DB.
∵ ∠AEF=∠D=90°,AF=AF,AD=AE,
∴ Rt△ADF≌Rt△AEF(HL),
∴DF=EF,∴CF=EF+CE=DF+DB.
(3)如图3,过点A分别作AM⊥x轴于点M,AN⊥y轴于点N,∴∠ANB=∠AMC=90°.
∵点A(2,2),∴AN=AM=2.
∵AB=AC,由(1)知BN=MC,
∴OC-OB=OM+MC-(BN-ON)=OM+ON=4.

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