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13.3.2 三角形的外角
夯实基础
知识点1 三角形外角的性质
1.如图，下列各角是△ABC 的外角的是 ()
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
2.(2025·庆阳期末)如图,与∠1+∠2+∠B 相等的角为 ( )
A.∠AEC B.∠ADB
C.∠ACB D.∠DEC
3.如图,已知AB∥CD,∠D=81°,∠E=43°,则∠B的度数是 ( )
A.81° B.43° C.28° D.38°
4.(2025·汕头期末)将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则∠α的度数是
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AE平分△ABC的外角∠CAD.求证:AE∥BC.
6.(一题多解)某零件的平面图如图所示，其中∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠ADC的度数.
知识点2 三角形的外角和
7.关于三角形的外角和，下列说法中正确的是( )
A.三角形的外角和等于180°
B.三角形的外角和就是所有外角的和
C.三角形的外角和等于所有外角的和的一半
D.以上都不对
8.人教版教材 P16练习题改编 如 图,∠CBD,∠ADE 为△ABD 的两个外角,∠CBD =70°,∠ADE=150°,则∠A的度数是 ( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
B能力提升
9.如图,BP 是∠ABC的平分线,CP 是△ABC的外角的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A 的度数是 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
10.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=60°,AD⊥BC于点 D,AE 平分∠DAC,则∠AEC的度数是( )
A.110° B.115° C.120° D.125°
11.已知三角形三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数是 .
12.(2025·新乡期末)如图,在△ABC 中,∠A=70°,∠ACB 的平分线 CE 分别与∠ABC 和∠ABF 的平分线交于点 D,E,则∠BDC+∠E=
13.如图所示是数学兴趣小组的同学用几何图形画出的螳螂身体结构的简笔画,已知∠ACB=125°,∠ADE=70°,且DE∥BC.则∠CAD= .
14.如图,在△ABC中,∠C=80°,∠1=100°,∠2= ∠3,BE平分∠ABC,求∠4的度数.
15.如图，已知 CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,且 CE 交 BA的延长线于点 E.
(1)若∠B=35°,∠E=20°,求∠BAC的度数.
(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
思维拓展
16.如图,在△ABC 中,∠B=∠C=45°,点 D 在边 BC上,点 E 在边 AC上,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数.
(2)当点D在边BC上(点B,C除外)运动时,写出 ∠BAD 与∠CDE 的数量关系,并说明理由.
13.3.2 三角形的外角
A夯实基础
知识点1 三角形外角的性质
1.如图，下列各角是△ABC 的外角的是 (C)
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
2.(2025·庆阳期末)如图,与∠1+∠2+∠B 相等的角为 (A)
A.∠AEC B.∠ADB
C.∠ACB D.∠DEC
3.如图,已知AB∥CD,∠D=81°,∠E=43°,则∠B的度数是 (D)
A.81° B.43° C.28° D.38°
4.(2025·汕头期末)将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则∠α的度数是 165°.
5.答案如图,在△ABC中,∠B=∠C,AE平分△ABC 的外角∠CAD.求证:AE∥BC.
证明:∵∠B=∠C,
∴∠CAD=∠B+∠C=2∠C.
∵AE 平分∠CAD,
∴∠EAC=
∴AE∥BC.
6.(一题多解)某零件的平面图如图所示，其中∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠ADC 的度数.
解:【解法一】如图,延长AD 交BC 于点 E.
∵∠B=30°,∠A=40°,∴∠DEC=70°.
∵∠C=30°,
【解法二】如图，连接BD 并延长至点 E.
根据三角形外角的性质，可得∠ADE=∠A+∠ABD,∠CDE=∠C+∠CBD,
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠A+∠C+∠ABD+∠CBD=∠A+∠C+∠ABC=100°.
知识点2 三角形的外角和
7.关于三角形的外角和，下列说法中正确的是(C)
A.三角形的外角和等于180°
B.三角形的外角和就是所有外角的和
C.三角形的外角和等于所有外角的和的一半
D.以上都不对
8.如 图,∠CBD,∠ADE 为△ABD 的两个外角,∠CBD=70°,∠ADE=150°,则∠A的度数是 (C)
A.20° B.30° C.40° D.50°
B能力提升
9.如图,BP 是∠ABC的平分线,CP 是△ABC的外角的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A的度数是 (D)
A.30° B.40° C.50° D.60°
10.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=60°,AD⊥BC于点D,AE平分∠DAC,则∠AEC的度数是(B)
A.110° B.115° C.120° D.125°
11.已知三角形三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数是 100° .
12.(2025·新乡期末)如图,在△ABC 中,∠A=70°,∠ACB 的平分线 CE 分别与∠ABC 和∠ABF的平分线交于点D,E,则∠BDC+∠E= 160° .
13.跨学科·生物学如图所示是数学兴趣小组的同学用几何图形画出的螳螂身体结构的简笔画,已知∠ACB=125°,∠ADE=70°,且 DE∥BC.则∠CAD= 15° .
14.如图,在△ABC中,∠C=80°,∠1=100°,∠2= BE 平分∠ABC,求∠4的度数.
答案解:∵ ∠1=∠3+∠C,∠1=
∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=35°.
∵∠4=∠2+∠ABE,
∴∠4=45°.
15.如图,已知 CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线,且 CE 交 BA的延长线于点 E.
(1)若∠B=35°,∠E=20°,求∠BAC的度数.
(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
解:(1)∵∠B=35°,∠E=20°,∴∠ECD=∠B+∠E=55°.
∵CE 是△ABC的外角∠ACD 的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=110°,
∴∠BAC=∠ACD-∠B=75°.
(2)证明:∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∵∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E.
∵∠BAC=∠ACE+∠E,
∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.
16. 核心素养·推理能力如图,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点 D 在边 BC上,点 E 在边 AC上,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,求∠CDE的度数.
(2)当点D 在边BC上(点B,C除外)运动时,写出 ∠BAD 与∠CDE 的数量关系,并说明理由.
解:(1)∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°.
∵ ∠AED 是△CDE的外角,
∴∠AED=∠C+∠CDE.
∵∠B=∠C,∠ADE=∠AED,
∴∠ADC-∠CDE=∠C+∠CDE,即105°-∠CDE=45°+∠CDE,解得∠CDE=30°.
理由如下：设∠BAD=x.
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x.
∵∠AED是△CDE的外角,
∴∠AED=∠C+∠CDE.
∵∠ADE=∠AED,
∴∠ADC-∠CDE=∠C+∠CDE,即 即

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