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2024-2025学年上海市松江区七年级（下）期末数学试卷
一、填空题（共12题，每题2分，满分24分）
1．用适当的不等式表示“的2倍不大于1”：　　 ．
2．当满足　　 条件时，的值是负数．
3．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是　 　．
4．如图，直线与直线相交于点，， 　　 度．
5．如图，在△中，，，那么点到直线的距离是线段 　　 的长度．
6．如图，下列结论：①与是内错角；② 与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有　　 （只填序号）．
7．如图，，平分，，那么的度数是 　　．
8．若等腰三角形两边的长分别为和，则第三边的长是　　．
9．已知△中，，是边上的高，，那么的度数是 　　 ．
10．已知一个圆柱体的底面周长为，高为，则该圆柱体的侧面积是　　．
11．如图，已知△中，，．绕点顺时针旋转△，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是　　 ．
12．如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 　　 ．
二、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
13．已知，，那么下列式子中不一定成立的是　　
A． B． C． D．
14．如图，下列条件中，不能判断直线的是　　
A． B． C． D．
15．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．在△中，有下列四个命题：
①如果，那么
②如果，那么
③如果，那么
④如果，那么．
其中，真命题的个数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
17．如图，在等边△中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是　　
A．△是等边三角形 B．
C． D．
18．如图，△是一个直角三角形，、、的长度分别为、、，分别以三条边所在的直线为轴旋转一周得到三个不同的立体图形，对这三个立体图形的体积大小说法正确的是　　
A．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大
B．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大
C．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大
D．三个不同的立体图形的体积一样大
三、简答题：（本大题共6题，第19题6分，20、21、22每题5分，23、24每题6分，共33分）
19．解不等式组，并求出所有整数解．
20．在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数．
21．如图，已知，，，求的度数．
22．如图，在△中，，的垂直平分线分别交、于点、，且△的周长为．求底边的长．
23．看图计算：（结果保留
（1）求下面圆柱体的体积．（单位：
（2）求下面圆锥体的表面积．（单位：
24．如图，已知△中，，根据下列要求作图并回答问题：（1）定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出△的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接．如果平分，那么的度数为 　　 ；
（3）在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
四、解答题：（本大题共4题，第25题5分，26、27每题6分，第28题8分，共25分）
25．如图，在三角形中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么与相等吗？为什么？
26．已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：．
27．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
（1）求证：△△；
（2）连接，求证：．
28．如图1，在△中，点是边的中点，将△沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接．
（1）在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：　　 ．
（2）求证：；
（3）如图2，过点作的平行线，交的延长线于点．求证：；
（4）连接，当时，如果△是等腰三角形，那么的度数为 　　 ．
参考答案
一、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
1．用适当的不等式表示“的2倍不大于1”：　 　 ．
解：用适当的不等式表示“的2倍不大于1”为，
故答案为：．
2．当满足　　 条件时，的值是负数．
解：由题意知，，
则，
，
故答案为：．
3．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是　平行　．
解：
，，
，
．
故答案为：平行．
4．如图，直线与直线相交于点，， 　150　 度．
解：，，
，
故答案为：150．
5．如图，在△中，，，那么点到直线的距离是线段 　　 的长度．
解：，
点到直线的距离是线段的长．
故答案为：．
6．如图，下列结论：①与是内错角；② 与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有　①②③　 （只填序号）．
解：与是直线、直线，被直线所截的一对内错角，因此①符合题意；
与是直线、直线，被直线所截的一对同位角，因此②符合题意；
与是直线、直线，被直线所截的一对同旁内角，因此③符合题意．
故答案为：①②③．
7．如图，，平分，，那么的度数是 　　．
解：平分，
，
，
，
，
，，
，
解得．
故答案为：．
8．若等腰三角形两边的长分别为和，则第三边的长是　7　．
解：当为腰时，，不合题意，舍去．
所以只有为腰，
故答案为：7．
9．已知△中，，是边上的高，，那么的度数是 　或　 ．
解：如图：，是边上的高，
是边上的高，
，
；
如图：，是边上的高，
是边上的高，
，
，
或．
故答案为：或．
10．已知一个圆柱体的底面周长为，高为，则该圆柱体的侧面积是　6.28　 ．
解：由题知，
因为圆柱体的底面周长为，高为，
所以该圆柱的侧面积是：．
故答案为：6.28．
11．如图，已知△中，，．绕点顺时针旋转△，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是　　 ．
解：，，
．
由旋转得，，，，
，
．
故答案为：．
12．如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 　　 ．
解：如图，连接，，
线段、的垂直平分线交于点，
，，
，
，
，即，
，
，，，
△△，
，
故答案为：．
二、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
13．已知，，那么下列式子中不一定成立的是　　
A． B． C． D．
解：已知，，
那么，则不符合题意，
将两边同时加上得，则不符合题意，
将两边同时减去得，则不符合题意，
当时，，则符合题意，
故选：．
14．如图，下列条件中，不能判断直线的是　　
A． B． C． D．
解：．由，能判断直线，不符合题意；
．由，能判断直线，不符合题意；
．由，能直接判断直线，不符合题意；
．由，不能直接判断直线，符合题意；
故选：．
15．如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①由，得．增加，那么，，，推断出，故①符合题意．
②由，得．添加，与不一定全等，故②不符合题意．
③由，得．增加，那么，，，推断出，故③符合题意．
④由，得．增加，那么，，，推断出，故④符合题意．
综上：符合题意的有①③④，共3个．
故选：．
16．在△中，有下列四个命题：
①如果，那么
②如果，那么
③如果，那么
④如果，那么．
其中，真命题的个数有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：在△中，①如果，那么，是真命题；
②如果，那么，是真命题；
③如果，那么，是真命题；
④如果，那么，是真命题；
则真命题的个数有4个，
故选：．
17．如图，在等边△中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是　　
A．△是等边三角形 B．
C． D．
解：△是等边三角形，
，
、分别在、上，，
，，
，
△是等边三角形，
故不符合题意；
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
故不符合题意；
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，平分，
，
故不符合题意；
假设，则，与已知条件不符，
与不一定垂直，
故符合题意，
故选：．
18．如图，△是一个直角三角形，、、的长度分别为、、，分别以三条边所在的直线为轴旋转一周得到三个不同的立体图形，对这三个立体图形的体积大小说法正确的是　　
A．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大
B．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大
C．以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大
D．三个不同的立体图形的体积一样大
解：①以为轴：
体积为：（立方厘米）；
②以为轴：
体积为：（立方厘米）；
③以为轴：
底面半径：（厘米）；
体积为：（立方厘米）；
，
以边所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形的体积最大．
故选：．
三、简答题：（本大题共6题，第19题6分，20、21、22每题5分，23、24每题6分，共33分）
19．解不等式组，并求出所有整数解．
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集为，
该不等式组的所有整数解为0，1，2，3，4，5．
20．在学习“相交线与平行线”一章时，小新同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，、代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，，若，求的度数．
解：，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
21．如图，已知，，，求的度数．
解：，，
．
22．如图，在△中，，的垂直平分线分别交、于点、，且△的周长为．求底边的长．
解：垂直平分，
，
△的周长为，
△的周长为，
，
，
，
底边的长为．
23．看图计算：（结果保留
（1）求下面圆柱体的体积．（单位：
（2）求下面圆锥体的表面积．（单位：
解：（1）当，时，
，
该圆柱体的体积为．
（2）当，时，
，
该圆锥体的表面积为．
24．如图，已知△中，，根据下列要求作图并回答问题：（1）定义：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的外心．尺规作图：请画出△的外心点；（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）的图形中，边的垂直平分线交边于点，连接．如果平分，那么的度数为 　　 ；
（3）在（2）的图形中，在边上求作一点，使点到点和点的距离和最短．（不要求写画法和结论，保留作图痕迹）
解：（1）如图，点即为所求；
（2）垂直平分线段，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）如图，点即为所求；
四、解答题：（本大题共4题，第25题5分，26、27每题6分，第28题8分，共25分）
25．如图，在三角形中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么与相等吗？为什么？
解：与相等，
理由：，
又，
，
又，
，
在和中
，
，
．
26．已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：．
【解答】证明：，，
，，
，
，
在△与△中，
，
△△，
，
在△与△中，
，
△△，
．
27．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．
（1）求证：△△；
（2）连接，求证：．
【解答】证明：（1），
，
为的中点，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）连接，
，
，
，
，
，
由（1）得△△，
，
．
28．如图1，在△中，点是边的中点，将△沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接．
（1）在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：　△　 ．
（2）求证：；
（3）如图2，过点作的平行线，交的延长线于点．求证：；
（4）连接，当时，如果△是等腰三角形，那么的度数为 　　 ．
解：（1）点是的中点，
．根据折叠的性质得，
，
△是等腰三角形．
故答案为：△；
（2）证明：根据折叠的性质得，
，
．
，
，
；
（3）证明：，
，．
，
，即，
．
根据折叠的性质得，
，
；
（4）由，，根据等腰三角形的对称性可知，是△，△的高线，
，
，
，
，
．
当时，，
，
解得；
当时，，
，
时，，
折叠，，
所以此时三点共线，那么点在直线上，和题设（点在直线上方）矛盾，这种情况不成立，
情况三：若，则 ，设，
，，
四边形是平行四边形，，
又 ，
， ， ， ， ，
，
解得 ，的度数为或或．
故答案为：或或．

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