资源简介

13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
A夯实基础
知识点1 三角形的内角和定理
1.在△ABC 中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C 的度数是 ( )
A.100° B.80° C.60° D.40°
2.如图,BO平分∠ABC,∠A=100°,∠C=30°,则∠OBC 的度数是 ( )
A.15° B.25° C.30° D.50°
3.(2024·长沙)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
4. 在△ABC 中,∠A :∠B:∠C=1:3:4,则∠C= .
5.如图,在△ABC中,∠1=∠2=36°,∠3=∠4,求∠DAC的度数.
6.如图,在△ABC中,∠A=46°,CE 是∠ACB 的平分线,点B,C,D在同一条直线上,DF∥EC,∠D=42°,求∠B的度数.
知识点2 三角形的内角和的实际应用
7如图，考古学家发现在地下A 处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响煤气管道，准备在B，C两处开工挖出“V”字形通道.若∠DBA=120°,∠ECA=135°,则∠BAC 的度数是( )
A.75° B.80° C.85° D.90°
8.近年来，大家对身体健康越来越重视，骑自行车健身渐渐流行开来.图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB,CD都与地面平行,AM∥BC,∠BCD=65°,∠MAC=60°,则∠BAC 的度数为 .
9.如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时AB,CD 的延长线相交所成的角是否符合规定 为什么
能力提升
10.在△ABC 中,∠A+∠B = 130°,∠B+∠C =140°,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
11.如图,在△ABC中,∠B=46°,∠ADE=40°,AD平分∠BAC,交边BC于点D,DE∥AB,交边AC于点 E，则∠C的度数是 ( )
A.46° B.66° C.54° D.80°
12.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
13.如图,在△ABC中,点 D 是边 BC 上一点,∠B=50°,∠BAD=30°,将△ABD 沿 AD 折叠得到△AED,AE与BC 相交于点 F.
(1)填空:
(2)求∠EDF 的度数.
思维拓展
14.【提出问题】如图，AO，BO 分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO 交 AB 于点 D,探究∠C与∠BOD 的数量关系.
(1)【特例探究】若 则∠C 与∠BOD 的数量关系为
(2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗 请说明理由.
第2课时 直角三角形两锐角互余
夯实基础
知识点1 直角三角形两锐角互余
1.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,则∠C 的度数为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.45°
2.如图,已知∠ACB =90°,CD⊥AB,垂足为点 D,则下列说法中错误的是 ( )
A.∠A与∠B互为余角
B.∠1与∠2互为余角
C.∠1与∠A互为余角
D.∠2与∠A互为余角
3.直角三角形的一个锐角∠A 是另一个锐角∠B的4倍，那么∠B的度数是 ( )
A.18° B.22.5° C.67.5° D.72°
4.如图,在△ADC 中,∠A=30°,∠ADC =110°,BE⊥AC交AC于点 E,求∠B的度数.
知识点2 两锐角互余的三角形是直角三角形
5.在 中，若 ,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
6.下列选项中，不能说明△ABC是直角三角形的是 ( )
A.∠A=90°
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.∠C=∠A+∠B
D.∠A+∠C=90°
7.如图,AB∥CD,∠B=50°,∠C=40°,则△CEF是 三角形(选填“锐角”“直角”或“钝角”).
8. 如图,点 E 是 △ABC的边AC上一点,过点 E 作 ED⊥AB 于点 D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗 为什么
B能力提升
9.在 Rt△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:m:4,则m的值是 ( )
A.3 B.4 C.2或6 D.2或4
10.把 Rt△ABC 与 Rt△CDE 放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合,两条斜边平行.若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE 的度数是 ( )
A.83° B.57° C.54° D.33°
11.如图,在△ABC中,AD 是边 BC 上的高,BE平分∠ABC交AC 于点 E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC 的度数是 .
12.如图,在△ABC中,点 D 为边 AB 上一点,∠A=∠2,∠1=∠B.
(1)判断△ABC 的形状.
(2)判断CD是否与AB 垂直.
13.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,AF 平分∠CAB 交 CD 于点 E,交 BC 于点F.
(1)如果∠CFE=70°,求∠B 的度数.
(2)证明:∠CEF=∠CFE.
思维拓展
14.新考法【阅读理解】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
【基础巩固】(1)若△ABC 是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=70°,则∠B的度数为 .
【尝试应用】(2)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,点 E 为 DA 的延长线上一点，∠DAC=2∠E，写出图中所有“准互余三角形”，并说明理由.
13.3.1 三角形的内角
第1课时 三角形的内角和
A夯实基础
知识点1 三角形的内角和定理
1.在△ABC 中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C 的度数是 (B)
A.100° B.80° C.60° D.40°
2.如图,BO平分∠ABC,∠A=100°,∠C=30°,则∠OBC的度数是 (B)
A.15° B.25° C.30° D.50°
3.(2024·长沙)如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 (C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
4.在 △ABC 中,∠A :∠B:∠C=1:3:4,则∠C= 90°.
5.如图,在△ABC中,∠1=∠2=36°,∠3=∠4,求∠DAC 的度数.
答案解:∵∠1=∠2=36°,
在△ACD中,∠DAC=180°-(∠3
即∠DAC=36°.
6.如图,在△ABC中,∠A=46°,CE 是∠ACB 的平分线,点B,C,D在同一条直线上,DF∥EC,∠D=42°,求∠B 的度数.
解:∵DF∥EC,
∴∠BCE=∠D=42°.
∵ CE 是∠ACB 的平分线,
∴∠ACB=2∠BCE=84°.
∵∠A=46°,
知识点2 三角形的内角和的实际应用
7.新情境如图，考古学家发现在地下A 处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响煤气管道，准备在B，C两处开工挖出“V”字形通道.若∠DBA=120°,∠ECA=135°,则∠BAC 的度数是(A)
A.75° B.80° C.85° D.90°
8.新情境近年来，大家对身体健康越来越重视，骑自行车健身渐渐流行开来.图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB,CD都与地面平行,AM∥BC,∠BCD=65°,∠MAC=60°,则∠BAC 的度数为 55° .
9.核心素养·应用意识如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接 AC，测得∠BAC=32°,∠DCA=65°,此时AB,CD的延长线相交所成的角是否符合规定 为什么
答案解：不符合规定.
如图,延长AB,CD 交于点O.
在△AOC 中,∠BAC=32°,∠DCA=65°,
∴ ∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-
∴模板不符合规定.
B能力提升
10.在 △ABC 中,∠A+∠B = 130°,∠B+∠C =140°,则△ABC的形状是 (B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
11.如图,在△ABC中,∠B=46°,∠ADE=40°,AD平分∠BAC,交边BC于点 D,DE∥AB,交边AC于点 E，则∠C的度数是 (C)
A.46° B.66° C.54° D.80°
12.新考法当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 15°或20° .
13.如图,在△ABC中,点 D 是边 BC上一点,∠B=50°,∠BAD=30°,将△ABD 沿 AD 折叠得到△AED,AE与BC 相交于点 F.
(1)填空:∠AFC= .
(2)求∠EDF的度数.
解:(1)∵△ABD 沿AD折叠得到△AED,
∴∠BAD=∠DAF=30°. B
∵∠B=50°,∠BAD=30°,
∠B-∠BAD-∠DAF=70°,
∴∠AFC=180°-∠AFB=110°.
故答案为110°.
(2)∵∠B=50°,∠BAD=30°,
∵△ABD沿AD折叠得到△AED,
∴∠ADE=∠ADB=100°,
∴ ∠EDF=∠EDA+∠BDA-∠BDF=100°+
思维拓展
14.【提出问题】如图，AO，BO 分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO 交 AB 于点 D,探究∠C与∠BOD的数量关系.
(1)【特例探究】若∠CAB=50°,∠CBA=68°,则∠C 与∠BOD 的数量关系为 ∠C =2∠BOD .
(2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗 请说明理由.
解：(2)成立.理由如下：
设∠OAB=x,∠OBA=y.
∵ AO,BO 分别平分∠CAB,∠CBA,
∴∠CAB=2x,∠CBA=2y,
∵OD⊥OA,∴∠AOD=90°,
∴∠C=2∠BOD.
第2课时 直角三角形两锐角互余
夯实基础
知识点1 直角三角形两锐角互余
1.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠B=30°,则∠C 的度数为 (B)
A.30° B.60° C.90° D.45°
2. 人教版教材P14T1 改编如图,已知∠ACB =90°,CD⊥AB,垂足为点 D,则下列说法中错误的是 (D)
A.∠A与∠B互为余角
B.∠1与∠2互为余角
C.∠1与∠A互为余角
D.∠2与∠A互为余角
3.直角三角形的一个锐角∠A 是另一个锐角∠B的4倍，那么∠B 的度数是 (A)
A.18° B.22.5° C.67.5° D.72°
4.如图,在△ADC 中,∠A=30°,∠ADC =110°,BE⊥AC交AC 于点 E,求∠B的度数.
答案解:在△ADC 中,∠A=30°,∠ADC=110°,
∴ ∠C = 180° ∠A ∠ADC=40°.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
知识点2 两锐角互余的三角形是直角三角形
5.在△ABC 中,若∠A=37°,∠B=53°,则△ABC的形状是 (C)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上都有可能
6.下列选项中，不能说明△ABC 是直角三角形的是 (B)
A.∠A=90°
B.∠A:∠B:∠C=3:4:5
C.∠C=∠A+∠B
D.∠A+∠C=90°
7.如图,AB∥CD,∠B=50°,∠C=40°,则△CEF是 直角 三角形(选填“锐角”“直角”或“钝角”).
8. 人教版教材P14T2改编如图,点 E 是 △ABC的边AC上一点,过点 E 作 ED⊥AB 于点 D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗 为什么 解：△ABC是直角三角形.
理由如下：因为ED⊥AB，所以∠ADE =90°,所以∠1+∠A=90°.
又因为∠1=∠2,所以∠2+∠A=90°,所以∠C=90°,所以△ABC 是直角三角形.
B能力提升
9.在Rt△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:m:4,则m的值是 (C)
A.3 B.4 C.2或6 D.2或4
10.把 Rt△ABC 与 Rt△CDE 放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合,两条斜边平行.若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是 (B)
A.83° B.57° C.54° D.33°
11.如图,在△ABC中,AD是边 BC 上的高,BE平分∠ABC交AC于点 E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的度数是 20° .
12.如图,在△ABC中,点 D 为边AB 上一点,∠A=∠2,∠1=∠B.
(1)判断△ABC的形状.
(2)判断CD是否与AB 垂直.
答案解:(1)△ABC 是直角三角形.理由如下：
∵∠A=∠2,∠1=∠B,
∴ ∠A+∠2+∠1+∠B=180°,
∴∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°,
∴△ABC 是直角三角形.
(2)CD⊥AB.理由如下:
∵∠A+∠B=90°,∠A=∠2,
∴∠2+∠B=90°,
∴∠CDB=90°,∴ CD⊥AB.
13.如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,AF 平分∠CAB 交 CD 于点 E,交 BC 于点 F.
(1)如果∠CFE=70°,求∠B的度数.
解: (1) ∵ ∠ACB = 90°,∠CFE=70°,
∵AF 平分∠CAB,
∴ ∠CAB=2∠CAF=40°,
(2)证明:∠CEF=∠CFE.
(2)证明:∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠CAF+∠CFE=90°.
∵CD⊥AB,∴∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°.
∵AF 平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠CFE=∠AED.
∵∠AED=∠CEF,
∴∠CEF=∠CFE.
思维拓展
14.新考法【阅读理解】如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
【基础巩固】(1)若△ABC 是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=70°,则∠B的度数为 10° .
【尝试应用】(2)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,点 E 为 DA的延长线上一点，∠DAC=2∠E，写出图中所有“准互余三角形”，并说明理由.
解:(2)△ABD,△EDC 是“准互余三角形”.
理由如下：
∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD,
∴∠B+2∠BAD=90°,∴ △ABD 是“准互余三角形”.
∵∠ACB=90°,∴∠ADC+∠DAC=90°.
∵∠DAC=2∠E,∴∠ADC+2∠E=90°,
∴ △EDC 为“准互余三角形”.

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