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13.2.2三角形的中线、角平分线、高
A夯实基础
知识点1 三角形的中线
1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论中正确的是 ( )
A. AB=AC B. BD=CD
C. BD=AD D. AC=AD
2.在△ABC 中,点 D 为边BC的中点，且S△ABC=4,则△ADC 的面积为( )
A.2 B.1 C. D.
3.如图,在△ABC中,AE是边BC上的中线,AB=8cm,△ACE 的周长比△AEB 的周长多2cm,则AC= cm.
知识点2 三角形的角平分线
4.三角形的角平分线是一条 ( )
A.射线 B.直线
C.线段或射线 D.线段
5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是( )
A. BD 是△ABC的角平分线
B. CE是△BCD的角平分线
C.∠ACB=2∠3
D. CE是△ABC的角平分线
6.如图,AD 是△ABC的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线. 若 ∠BAC = 80°,则∠EAD 的度数是 .
知识点3 三角形的高
7.用三角尺作△ABC 的边 BC上的高，下列三角尺摆放的位置中正确的是 ( )
8.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD 是边AB 上的高,AB=10,BC=8,AC=6,求△ABC的面积和CD的长.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,若AD⊥BC,点 E 是边BC上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且 则阴影部分的面积为 cm .
12. 如图,点 D 是△ABC的边BC上一点,DE∥AC交AB 于点 E,DF∥AB 交 AC 于点 F,且∠ADE =∠ADF,AD 是△ABC 的角平分线吗 请说明理由.
13.如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,边BC上的中线AD把△ABC 的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长.
思维拓展
14.请仅用无刻度的直尺作图并填空，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示.
(1)如图1,△ABC的中线CD,BE交于点 O.
①作出边BC 的中点 F;
②若 ,则S△ABC的值为 .
(2)如图 2，△ABC 的三个顶点的坐标为A(0,4),B(-1,b),C(2,c),BC经过原点 O,AD,BE为△ABC的高.
①作出△ABC的高CF;
②S△ABO= ,S△ACO= ,AB·CF的值为 .
13.2.2三角形的中线、角平分线、高
A夯实基础
知识点1 三角形的中线
1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论中正确的是 (B)
A. AB=AC B. BD=CD
C. BD=AD D. AC=AD
2.沪科版教材P70T1 改编在△ABC 中,点 D 为边BC的中点，且 则△ADC的面积为(A)
A.2 B.1 C. D.
3.如图,在△ABC中,AE是边BC上的中线,AB=8cm,△ACE 的周长比△AEB 的周长多2cm,则AC= 10 cm.
知识点2 三角形的角平分线
4.三角形的角平分线是一条 (D)
A.射线 B.直线
C.线段或射线 D.线段
5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是(D)
A. BD 是△ABC的角平分线
B. CE是△BCD的角平分线
C.∠ACB=2∠3
D. CE是△ABC的角平分线
6.如图,AD 是△ABC 的角平分线,AE 是△ABD 的角平分线. 若 ∠BAC = 80°,则∠EAD 的度数是 20° .
知识点3 三角形的高
7.用三角尺作△ABC 的边 BC 上的高，下列三角尺摆放的位置中正确的是 (D)
8.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 (C)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD 是边 AB 上的高,AB=10,BC=8,AC=6,求△ABC的面积和CD的长.
答案解:在△ABC 中,把 BC 看作底，则AC是高，△ABC的面积为 =24.
把AB看作底，则CD是高，此时△ABC 的面积为 ∴24=5CD,∴CD=4.8.
B能力提升
10.如图,在△ABC中,若AD⊥BC,点 E 是边 BC上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形有 (C)
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
11.如图,在△ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且 则阴影部分的面积为 1 cm .
12. 人教版教材 P10T8 改编如图,点 D 是△ABC的边 BC上一点,DE∥AC 交AB 于点 E,DF∥AB 交 AC 于点 F,且∠ADE =∠ADF,AD 是△ABC 的角平分线吗 请说明理由.
答案解:AD是△ABC的角平分线.
理由如下:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠ADE=∠DAF,
∠ADF=∠DAE.
又∵∠ADE=∠ADF,
∴∠DAF=∠DAE.
又∵∠DAF+∠EAD=∠BAC,
∴AD是△ABC的角平分线.
13.如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,边BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC 和AB的长.
解:设BD=CD=x,AB=y,则AC=2BC=4x.
∵边 BC上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,AC>AB,
∴AC+CD>AB+CD,
∴AC+CD=60,AB+BD=40,
即 解得
当AB=28,BC=24,AC=48时,符合三角形三边关系定理,能组成三角形，
∴AC=48,AB=28.
思维拓展
14.核心素养·几何直观请仅用无刻度的直尺作图并填空，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示.
(1)如图1,△ABC的中线CD,BE交于点 O.
①作出边BC的中点 F；
②若 ,则S△ABC的值为 .
(2)如图 2，△ABC 的三个顶点的坐标为A(0,4),B(-1,b),C(2,c),BC经过原点O,AD,BE为△ABC的高.
①作出△ABC的高CF;
②S△ABO= ,S△ACO= ,AB·CF的值为 .
解:(1)①如图1,连接AO,并延长AO交BC交于点F,则点F是 BC的中点.
②设
∵CD,BE,AF是△ABC的中线,
∴AD=BD,AE=EC,BF=FC,
即 则
∴2a+a=2b+a,即 .故答案为12.
(2)①如图2,延长AD,EB交于点H,连接CH,交AB的延长线于点F，则CF为边AB上的高.
②∵A(0,4),
∴AO=4,
∴AB·CF=12.
故答案为2,4,12.

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