资源简介

18.5分式方程
第 1 课时 分式方程及其解法
基础夯实
知识点 1 分式方程的概念
1.「2025广东湛江期末」下列是分式方程的是 ( )
知识点 2 分式方程的解
2.「2025海南三亚期末」下列x的值是分式方程 的解的是 ( )
A. x=6 B. x=-8
C. x=8 D. x=-6
3.「2023山东淄博中考」已知x=1是方程 的解，那么实数m的值为 ( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
知识点 3 解分式方程
4.解分式方程 时，去分母变形正确的是 ( )
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
5.「2025山东潍坊期末」解分式方程 分以下四步，其中错误的一步是 ( )
A.最简公分母是(x+1)(x-1)
B.去分母,得2(x-1)+3(x+1)=6
C.解整式方程，得x=1
D.原方程的解为x=1
6.「2025天津河西质检」分式方程 的解是 ( )
7.「2024 湖北武汉中考」分式方程 的解是
8.「2025甘肃武威八中期末」已知关于x的方程 有增根，那么a= .
9.解分式方程.
10.「2025河北沧州期末」小华在解分式方程 时，由于印刷问题，有一个数“ ”看不清楚.
(1)他把这个数“ ”猜成-3，请你帮小华解这个分式方程.
(2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“ ”代表的数.
能力提升
11.「2024四川泸州中考, ☆☆」分式方程 的解是 ( )
B. x=-1 D. x=3
12.「2025河北秦皇岛期中，金金」在分式方程 =3中，若设 可将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ( )
13.「2024黑龙江龙东地区中考，」已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ( )
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
14.「2025湖北荆门期末, 〔☆〕已知关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为( )
且
且 且
15.「2025新疆乌鲁木齐质检，」在数轴上点A，B 表示的数分别为2 且点A，B到原点的距离相等，则x= .
16.解方程:
素养提优
17.若关于x的不等式组 的解集为x<-2，且关于y的分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为 .
18. 对x，y定义一种新运算T，规定T(x,y)= (其中a,b是非零常数,且x+y≠0).
如：
(1)填空:T(4,-1)= (用含a,b的代数式表示).
(2)若T(-2,0)=-2,T(5,-1)=6.
①求a与b的值.
②若T(3m-10,m)= T(m,3m-10),求 m的值.
列分式方程解应用题
基础夯实
知识点 列分式方程解应用题
1.小阳参与“半程马拉松”(约21 km)项目，前12km以原计划的平均速度v km/h完成，之后身体竞技状态下降，以0.75v km/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚 15 min 到达目的地，则小阳前12km的平均速度为 ( )
A.9km/h B.10km/h
C.12 km/h D.21 km/h
2.「2025北京怀柔期末」我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何 ”其大意为“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺 ”设绫布有x尺，则可列方程为
3.新发国教育 中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，为激发学生的钻研精神，某校计划购买A，B两种不同的物理实验仪器供学生使用，经调查发现，分别用2 400元，2000元购进A，B两种不同的仪器，B种的数量是 A 种数量的2倍，但单价比 A 种仪器便宜70元，请问购进A，B两种不同的仪器各多少个
4.「2025山西忻州联考」山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人，发放劳动报酬的方式来完成该项工作.小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告.请根据活动报告计算支付给工人的总费用.
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地测量
测量过程及计算 调研内容及图示 横杠 400根 竖杠 1200根I 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人每天的费用为200元，安装竖杠的工人每人每天的费用为240元. ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成
计算结果 ……
能力提升
5.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000 米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过 18 万元.该公司原计划最多安排多少名工人施工
6.「2025山东济南模拟，」为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A 品牌足球共花费2 880元，B品牌足球共花费2 400元，且购买 A 品牌足球数量是 B 品牌足球数量的1.5倍，每个 A 品牌足球的售价比每个B品牌足球的售价便宜12 元.
(1)求去年 A 品牌足球和B 品牌足球的单价.
(2)今年由于参加俱乐部的人数增加，需要从该店再购买 A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了5%，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买 A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个 A品牌足球
素养提优
7.新模型观念 1 月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1 050 元购进的商品数量比乙商店用1 260 元购进的商品数量少10件.
(1)求该商品的单价.
(2)2月份，两商店以a元/件(低于1月份单价)再次购进该商品，购进总价不变.
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小.
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1 050元，求甲商店1 月份可能售出该商品的数量.
18.5 分式方程
第1课时分式方程及其解法
基础夯实
知识点 1 分式方程的概念
1.「2025广东湛江期末」下列是分式方程的是 (D)
知识点 2 分式方程的解
2.「2025海南三亚期末」下列x的值是分式方程 的解的是 (C)
A. x=6 B. x=-8
C. x=8 D. x=-6
3.「2023山东淄博中考」已知x=1是方程 的解，那么实数m的值为 (B)
A.-2 B.2
C.-4 D.4
知识点 3 解分式方程
4.教材「2024山东济宁中考」解分式方程 时，去分母变形正确的是 (A)
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
5.「2025山东潍坊期末」解分式方程 分以下四步，其中错误的一步是 (D)
A.最简公分母是(x+1)(x-1)
B.去分母,得2(x-1)+3(x+1)=6
C.解整式方程，得x=1
D.原方程的解为x=1
6.「2025天津河西质检」分式方程 的解是 (D)
7.「2024湖北武汉中考」分式方程 的解是x=-3.
8.「2025甘肃武威八中期末」已知关于x的方程 有增根,那么a= 1 .
9.解分式方程.
见答案册D64
10.「2025河北沧州期末」小华在解分式方程 时，由于印刷问题，有一个数“ ”看不清楚.
(1)他把这个数“ ”猜成-3，请你帮小华解这个分式方程.
(2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“ ”代表的数.
解析 答案(1)把“ ”猜成-3时，分式方程为 两边同时乘(x-2)得2x-3=3(x-2),解得x=3，经检验，x=3是原分式方程的解.所以分式方程的解为x=3.
(2)设“ ”代表的数为m，则分式方程为 =3,
方程两边同时乘(x-2)得2x+m=3(x-2),整理得x=m+6,
因为原分式方程无解，所以x-2=0，即x=2.把x=2代入x=m+6得2=m+6,解得m=-4,所以原分式方程中“ ”代表的数是-4.
能力提升
11.分式方程 的解是 (D)
B. x=-1 D. x=3
12.在分式方程 =3中，若设 可将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 (A)
13.已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 (A)
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
14.已知关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围为 (C)
且
且 且
15. 在数轴上点 A，B表示的数分别为 且点A，B到原点的距离相等，则x=-7或1 .
16.解方程：
解析 答案(1)原方程两边同乘(2x-1),得2+3x=2(2x-1),解得x=4,
经检验，x=4是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x=4.
(2)原方程变形得 方程两边同乘(x+3)(x-3)得18+(x+3)(x-3)=x(x+3),解得x=3,经检验，x=3是方程的增根，所以原分式方程无解.
素养提优
17.若关于x的不等式组 的解集为x<-2，且关于y的分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为 13 .
18.新运算能力 对x,y定义一种新运算T,规定T(x,y)= (其中a,b是非零常数,且x+y≠0).
如：
(1)填空:T(4,-1)= (用含a,b的代数式表示).
(2)若T(-2,0)=-2,T(5,-1)=6.
①求a与b的值.
②若T(3m-10,m)= T(m,3m-10), 求m的值.
解析
(2)①根据题意，得 解得
由T(3m-10,m)=T(m,3m-10),得(3m-10)-m=m-(3m-10),解得m=5,
检验:当m=5时,3m-10+m=4m-10=10≠0,∴m=5.
列分式方程解应用题
基础夯实
知识点 列分式方程解应用题
1.小阳参与“半程马拉松”(约21 km)项目，前12km以原计划的平均速度v km/h完成，之后身体竞技状态下降，以0.75v km/h的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划晚15 min到达目的地，则小阳前12 km的平均速度为 (C)
A.9km/h B.10km/h
C.12km/h D.21 km/h
2.我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何 ”其大意为“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，每尺绫布和每尺罗布一共需要120文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺 ”设绫布有x尺，则可列方程为
3.中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，为激发学生的钻研精神，某校计划购买A，B两种不同的物理实验仪器供学生使用，经调查发现，分别用2 400元，2000元购进A，B两种不同的仪器，B种的数量是 A 种数量的2倍，但单价比 A 种仪器便宜70元，请问购进A，B两种不同的仪器各多少个
解析 设购进 A 种仪器x个，则购进 B 种仪器2x个，由题意得 解得x=20,
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，故2x=40.
答案答：购进A种仪器20个，B 种仪器40个.
4.新项目式学习题「2025山西忻州联考」山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人，发放劳动报酬的方式来完成该项工作.小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告.请根据活动报告计算支付给工人的总费用.
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地测量
测量过程及计算 调研内容及图示 横杠 400根 竖杠 1200根 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人每天的费用为200元，安装竖杠的工人每人每天的费用为240元. ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成
计算结果 ……
解析 设招募安装横杠的工人x名，则招募安装竖杠的工人(6-x)名.
由题意，得 解得x=2,经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，则6-x=4,
支付给工人的总费用为 2×200+4×240 = 1 360(元).
答：支付给工人的总费用为1 360元.
能力提升
5.某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3 000 米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过 18 万元.该公司原计划最多安排多少名工人施工
解析 (1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米,
根据题意得
解得x=40,
经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意，∴1.25x=50,
则原计划与实际每天铺设的管道为40米与50米.
(2)设该公司原计划安排y名工人施工，根据题意得300×(3 000÷40)y≤180 000,解得y≤8,
则该公司原计划最多安排8名工人施工.
6.「2025山东济南模拟，〔’〕为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A 品牌足球共花费2 880元，B品牌足球共花费2 400元，且购买 A 品牌足球数量是B 品牌足球数量的1.5倍，每个A 品牌足球的售价比每个B品牌足球的售价便宜12元.
(1)求去年 A 品牌足球和B品牌足球的单价.
(2)今年由于参加俱乐部的人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了5%，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买 A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个 A品牌足球
解析 答案(1)设去年A品牌足球的单价为x元，则B品牌足球的单价为(x+12)元，
由题意得
解得x=48.
经检验，x=48是原分式方程的解，且符合题意，∴x+12=60.
答：A品牌足球的单价为48元，B品牌足球的单价为60元.
(2)设学校要购买y个 A品牌足球，则学校要购买(50-y)个B品牌足球,
由题意得48×(1-5%)y+60×(1+10%)(50-y)≤ ×(2880+2400),解得
∵y为整数，∴y的最小值为33.
答：学校至少要购买33个 A 品牌足球.
素养提优
7. 1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050 元购进的商品数量比乙商店用1 260 元购进的商品数量少10件.
(1)求该商品的单价.
(2)2月份，两商店以a元/件(低于1月份单价)再次购进该商品，购进总价不变.
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小.
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为 1 050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量.

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