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2.2平方根与立方根（课时练习） -2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册
一、选择题
1．4的平方根是（　　）
A． 2 B． C． D．4
2．下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
3．实数 有平方根，则 可以取的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．9的平方根是x，64的立方根是y，则的值为（　　）
A．3 B．7 C．3或7 D．1或7
5．一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数为（　　）
A．7 B．10 C． D．100
6． 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
7．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm ，则该几何体的最大高度是（　　）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
二、填空题
9． 化简：　 　．
10．已知一个正数的平方根是和，则这个数是　 　．
11．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是　 　
12．若实数x与y满足 ，则点P（x，y）在第　 　象限
13．如图是一个数值转换器，当输入x的值为324时，则输出y的值是　 　．

14．若m，n满足，且m，n恰好为直角三角形的两边长，则该直角三角形的斜边长为　 　.
三、解答题
15．已知是9的算术平方根，是的立方根.
（1）求的平方根；
（2）求的值.
16．已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．
（1）求a，x，y的值；
（2）求的算术平方根．
17．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是　 　；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
18．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为．
（1）求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长．
（2）若图中的四边形是一个正方形，则该正方形的边长为_____．
19．对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：4的平方根是： .
故答案为：C.
【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A.的平方根是，故该选项不符合题意；
B.，故该选项不符合题意；
C.的算术平方根是，故该选项符合题意；
D.的立方根是，故该选项不符合题意；
故答案为：C ．
【分析】利用平方根、算术平方根和立方根的定义判断解题．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵实数1-3a有平方根，
∴1-3a≥0，
解得a≤ ，
而四个选项中只有A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
4．【答案】D
【解析】【解答】解： 9的平方根是， 64的立方根是 4，
∴，，
∴或；
故选D．
【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，代入 ，计算求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别为和，
利用正数两个平方根的性质，它们是互为相反数，
+=0，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，可得平方根之和为0，据此解答即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解： 大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，中正方形的面积比1大，又比5小，设为s，则有：1所以A、C、D都不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】求得算术平方根，并对其大小范围进行估算即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
空白部分的面积正方形的面积的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得，
（舍去负值）．
故答案为：A。
【分析】本题首先利用ASA，证明出 ，此时即可得到四边形的面积的面积，这样，空白部分的面积正方形的面积的面积，然后列式变形，并且利用勾股定理和完全平方公式即可求解。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故答案为：D．
【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3，进而解答即可。
9．【答案】4
【解析】【解答】根据题意
故填：4
【分析】根据算术平方根的定义即可求得16的算术平方根即化简。
10．【答案】25
【解析】【解答】解： 这个正数的平方根是和 ，
，
解得：x=3，
x-8=-5，5x-10=5，
这个数是.
故答案为：25.
【分析】根据一个正数的平方根由两个，且互为相反数，可知，求出x的值，还原这个数的平方根，即可得到这个正数.
11．【答案】5
【解析】【解答】解：∵a+1的平方根为±2，∴a+1=4，a=3，
∵2a+b-2的立方根为2，∴6+b-2=8，b=4，
∴a2+b2=9+16=25，25的算术平方根为5；
故答案为：5.
【分析】根据平方根、立方根的含义求出a和b，继而计算a2+b2的算术平方根即可。
12．【答案】四
【解析】【解答】∵0，|y+2|0，且+|y+2|=0，
∴=0，|y+2|=0，
即x-3=0，y+2=0，
所以x=3，y=-2，
点P（3，-2），
则点P在第四象限.
故答案为：四.
【分析】本题考查了二次根式的非负性和绝对值的非负性，由+|y+2|=0，判断出=0，|y+2|=0，进而求出x=3，y=-2，得到点P的坐标，判断所在象限即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：输入x的值为324时，324的算术平方根是18，18是有理数，18的算术平方根是，则输出y的值是．
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的定义程序流程进行计算。“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”，据此求解．
14．【答案】5
【解析】【解答】解：∵，
∴m-4=0，n-3=0，
∴
①当m、n为直角三角形的两条直角边时，
∴该直角三角形的斜边长为：
②当m为直角三角形的斜边时，
∴该三角形的另一条直角边为：符合三角形三边关系定理，
综上所述，该直角三角形的斜边长为：4或5，
故答案为：4或5.
【分析】根据两个非负数之和为0，则每个非负数均为0，据此求出m和n的值，然后分两种情况讨论，①当m、n为直角三角形的两条直角边时，②当m为直角三角形的斜边时，分别进行计算即可.
15．【答案】（1）解：由题可得：
，解得，
∴，
∴的平方根是；
（2）解：
【解析】【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的含义和求法．
（1）先根据算术平方根的定义和立方根的定义可得方程组，进而求出x，y的值，据此可求出的值，根据平方根的定义可求出答案；
（2）把x、y的值代入后，再利用同底数幂的除法：同底数幂相除底数不变，指数相减可求出答案
16．【答案】（1）解：依题意，得，
解得，
∴，，
∴．
∵负数y的立方根与它本身相同，
∴；
（2）解：当，时，，
∴的算术平方根为5．
【解析】【分析】（1）利用平方根的定义可得，求出a的值，再求出x的值，再利用立方根的定义求出y的值即可；
（2）将x、y的值代入，再利用算术平方根的计算方法分析求解即可.
17．【答案】（1）
（2）解：，则，，
；
答：的值为2．
（3）解：与互为相反数，
，
，，
解得，，
，
．
【解析】【解答】解：
(1) ∵点A 表示数 ，点B所表示的数为m，又∵从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，∴m= +2.
故答案为： +2.
【分析】(1) 通过A， B在数轴上表示的数进行计算即可；
(2) 根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算即可；
(3)根据绝对值、算数平方根的非负性进行解答即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为.
（2）
【解析】【解答】（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
故答案为：.
【分析】（1）先求出一个小正方体的体积，再求出棱长即可作答；
（2）利用勾股定理求出BC的值即可。
（1）解：，
∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为；
（2）解：由勾股定理得，
∴正方形的边长为，
故答案为：。
19．【答案】（1）解：如+=0，则8+(-8)=0，即8与-8互为相反数，
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.
（2）解：因为和互为相反数，
所以+=0，
所以8-y+2y-5=0，解得y=-3.
因为x+5的平方根是它本身，
所以x+5=0，所以x=-5，
所以x+y=-5-3=-8，
所以x+y的立方根是-2.
【解析】【分析】（1）例子中的被开方数最好是一个整数的立方，比如1与-1，8与-8，27与-27.
（2）根据“ 如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数 ”这一结论转化为被开方数互为相反数，求出y，平方根是它本身的数是0，可求出x，最后求x+y的立方根.

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