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2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．将二次函数的图象向右平移2个单位，则平移后的二次函数的表达式为　　
A． B． C． D．
2．已知反比例函数为常数）的图象在第一、三象限，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是　　
A． B．
C． D．
4．如图，嘉嘉要测量池塘两岸，两点间的距离，先在的延长线上选定点，测得，再选一点，连接，，作，交于点，测得，，则　　
A． B． C． D．
5．如图，是△的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使△△的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流（A）与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是　　
A．当时，
B．与的函数关系式是
C．当时，
D．当时，的取值范围是
7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△相似的是　　
A． B．
C． D．
8．若点在抛物线上，其中，则不等式的解为　　
A．或 B．
C．或 D．
9．如图，在中，，点在边上，过画直线截使截得的三角形与相似，这样的直线最多可画　　
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．在自变量的取值范围内，对于自变量时，函数值，则称是函数的一个不动点，若函数恰有一个不动点，则实数的值不可能是　　
A． B．0 C．1 D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．如果，那么的值为 　　．
12．已知点是线段的黄金分割点，若，则　　．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 　　．
14．如图，， ，，点是线段上一动点，若点从点开始向点运动．
（1）当时，　　；
（2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是 　　．
三、解答题（共9小题，共90分）
15．如果，且，求的值．
16．已知抛物线．
（1）用配方法求它的顶点坐标、对称轴；
（2）取何值时，随增大而减小？
（3）取何值时，抛物线在轴上方？
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个△，使它与位似，且相似比是．
（1）请画出△；
（2）请直接写出△各顶点的坐标；
（3）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是 　　．
18．掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．（1）求关于的函数表达式；（2）根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分15分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
19．如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高．
20．有一块三角形的余料△，它的面积是，边，要把它加工成一个矩形，使矩形的一边落在上，其余两个顶点分别在，上，且，求矩形的面积．
21．已知抛物线．
（1）求证：无论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若直线经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式．
22．已知：如图，、是的两条高．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
23．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且．
（1）求证：；
（2）当点为中点时，求的长；
（3）当为等腰三角形时，请直接写出的长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．
2．．
3．
4．
5．
6．
7．．
8．．
9．．
10．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．．
12．．
13．或．
14（1）；
（2）2．
三、解答题（共9小题，共90分）
15．解：令，
，，，
，
，
，
，，，
．
16．解：（1），
则顶点坐标是，对称轴是直线；
（2）当时，随的增大而减小；
（3）令，则，
解得，，
则当时，抛物线在轴的上方．
17．解：（1）如图，△即为所求．
（2）由图可得，，，．
（3）由题意可得，点的坐标为．
故答案为：．
18．解：（1）设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
，
解得，
．
（2）该女生在此项考试中没有得满分．
理由：令，即，
解得，（舍去），
实心球从起点到落地点的水平距离为7.5米，小于7.80米，
该女生在此项考试中没有得满分．
19．解：过作交于点，如图所示：
设墙上的影高落在地面上时的长度为 ，树高为，
某一时刻测得长为的竹竿影长为，墙上的影高为，
，
解得：，
树的影长为：，
，
解得：．
答：树高为．
20．解：设，的交点为，如图所示，
四边形是矩形，
，，，，
△△，
，
，
，四边形是矩形，
，
，△的面积是，
，
，
，
，
，
解得，
，
矩形的面积为：．
21．（1）证明：△，
无论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：线，
，
该抛物线的最低点为，
直线经过，
，
解得或，
当时，二次函数解析式为，
当时，二次函数解析式为，
综上所述，二次函数的解析式为或．
22．（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
的值为．
23．（1）证明：，
，
，，，
，
，
；
（2）解：，点为中点，
，
，
，即，
解得：；
（3）解：当时，，
，
；
当时，，
，
，不合题意，
；
当时，，
，
，
，即，
解得：，
，
综上所述：当为等腰三角形时，的长为2或．

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