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第3章 勾股定理 单元同步检测卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册
考试时间：100分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前5 分钟收取答题卡
一、选择题(共8题；共24分)
1．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
2．如图，中，D为中点，．若，，则的长度（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
3．如图，在中，于点D，在上取点F，使得，，连结并延长交于点E，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点．蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，为上一点，且，，，则的面积为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．9
6．如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．
7．学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则CD的长是（　　）
A． B．4 C． D．
8．如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(共6题；共24分)
9．如图，在中，是高，则　 　．
10．如图，在中，D为中点，E在边上，且，，则长为　 　．
11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　．
12．如图，为外一点，，平分的一个外角，．若，，则的长为　 　．
13．如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是　 　．
14．如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于　 　．
三、解答题(共6题；共52分)
15．如图，在四边形ABCD中，，点是边上一点，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
16．如图，在中，是斜边AB上的高线，CE是斜边AB上的中线.
（1）若，求证：.
（2）若，求CD的长．
17．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
18．如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米．
（1）求梯子顶端A与地面的距离的长；
（2）若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长．
19．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
20．小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．
（1）求线段的长；
（2）若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】设直角三角形的另一条直角边为 k ，则斜边为 ，由勾股定理得 ，解之得 ，则其周长为 ，
故答案为：C．
【分析】能够运用代数式求解勾股定理产生的方程，并得出正确结论．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理.利用垂直的定义可得：，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理进行计算可求出．
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
∵，
∴，
在Rt△ACD和Rt△BFD中
∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）
∴，∠BFD=∠C，
∴，
∵∠C+∠CAD=90°，
∴∠BFD+∠CAD=90°，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE+∠CAD=90°，
∴∠AEF=90°，即BE⊥AC，
∴
∴
解得
∴．
故答案为：B．
【分析】由题意，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AD的值，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△BFD，得到BD=AD，∠BFD=∠C，用直角三角形两锐角互余和对顶角相等可得∠AEF=90°，然后利用等面积法可得关于BE的方程，解方程求出BE的值，再由线段的构成FE=BE-BF即可求解．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，
则蚂蚁爬行的最短路程为，
故答案为：D．
【分析】本题考查平面展开最短路径问题、勾股定理，两点之间线段最短．先将正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，再利用勾股定理：，代入数据可求出答案．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
，
∵AD=BD，
设AD=x，则CD=8-x，
∵BD2=DC2+BC2即x2=（8-x）2+42
解之：x=5，
∴AD=5，
∴.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，设AD=x，则CD=8-x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出△ABD的面积.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：根据勾股定理 ，
有即
∴即 最小的正方形面积7
故答案为：C
【分析】根据勾股定理得到四个正方形面积之间的关系，然后求出答案即可
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由题知，，
，
，
，
，解得，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理算出，然后根据割补法求出的面积，再根据，解题即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故①正确，
平分，，，
，
，，
，
，
，故②正确，
在和中，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，故③④正确；
若成立，
则有，
显然，，
∴④不正确，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的定义可得，然后得到，即可得到，然后得到，判断①；过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形性质推出，判断②；然后证明是矩形，即可得到，进而得到，故，判断③；根据反证法可判断④解题即可．
9．【答案】
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
∴
故答案为：．
【分析】
根据三角形内角和定理求出，在直角三角形中得出，根据直角三角形的性质计算即可．
10．【答案】6
【解析】【解答】解：∵D为中点，，
∴；
在中，由勾股定理得：；
故答案为：6．
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的长，再应用勾股定理即可．
11．【答案】34
【解析】【解答】解：如图，AD2=DE2+AE2=9，BC2=BE2+CE2=25，
∵AB2=BE2+AE2，CD2=CE2+DE2，
∴AB2+CD2=BE2+AE2+CE2+DE2= BE2+CE2+AE2+DE2 =25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据勾股定理，即可得出答案。
12．【答案】8
【解析】【解答】解：如图，AD交CB于点E，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得到．
故答案为：8．
【分析】根据等腰三角形的判定定理可得，再通过证明，可得，从而可求、的长度，最后在中利用勾股定理求解即可．
13．【答案】
【解析】【解答】解：由勾股定理得：长方形对角线的长：=，∴OA=，
∵点A在原点左侧，
∴A点表示的数是：，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理得长方形对角线的长，即可得出点A的坐标．
14．【答案】
【解析】【解答】解：，，
是的中线，，
是的中点，
∴，
∴
的周长为8，
，
，
，
由勾股定理可知：，
故答案为：
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BF=2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=DF，即可根据题意求出AB的长，在由勾股定理计算出AF.
15．【答案】（1）证明：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°.
∴∠ACB+∠DCE=90°.
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠DCE=∠CAB.
在△ABC和△CED中，
∴△ABC≌△CED(AAS).
（2）解：∵，， ∠E=90°，
∴.
∵△ABC≌△CED，
∴AC=DC，
∵∠ACD=90°，
∴AD=
【解析】【分析】（1）利用垂直和等量代换证得∠CAB=∠DCE，于是可利用AAS证明两个三角形全等；
（2）利用全等得到AC=CD，利用勾股定理，先求AC长，继而可求AD长.
16．【答案】（1）证明：因为在中，是斜中线，
所以，
因为，
所以，所以是等边三角形，
所以
（2）因为，所以，
所以，
由勾股定理，
可得
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得，再由线段垂直平分线的性质得，从而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可证明；
（2）根据线段数量关系得，，进而得出CE=5，再由勾股定理即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
【解析】【分析】（1）结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半即可证明；
（2）由题意得到等腰直角△CEB，求得EF长度，结合勾股定理求得CF长度，利用等面积法求得EG长度，从而得到CG，进而求解.
18．【答案】（1）解：根据勾股定理可得：24（米），
答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米。
（2）解：∵梯子的顶端A下滑到E，使，
∴（米），
∴15（米），
则（米），
答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米
【解析】【分析】（1）根据勾股定理：，代入数据即可求解。
（2）根据（1）中求出的AC，可知，EC=AC-AE，代入数据求出EC的值，然后再根据勾股定理：，代入数据，求出DC的值，然后再根据BD=DC-BC，代入数据即可求解。
（1）由勾股定理可得：24（米），
答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米；
（2）∵梯子的顶端A下滑到E，使，
∴（米），
∴15（米），
则（米），
答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米．
19．【答案】（1）解：如图，
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∵BC＝9，AB＝4，
∴AC＝，
∵AD＝7，CD＝4，
∴AD2+CD2＝72+42＝65，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴为直角三角形，
∴这块空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝，
答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2；
（2）解：∵S△ABC＝，
∴4×＝9×AE，
∴AE＝m．
∴ 小路AE的长 为m
【解析】【分析】（1）在中由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理逆定理判断为直角三角形，分别求出和的面积，就可以求出 空地ABCD的面积 .
（2）在中应用等面积法得：S△ABC＝，进一步可解得AE的长.
20．【答案】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米），
（元，
答：制作这样一块背景板需花费360元．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题．

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