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人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.4.1节 《 充分条件与必要条件 》学案
本学案的亮点是：依托教材，变式教学；学案中的典例讲解环节中，每道典例均为教材中的原题，每个典例配备根据例题改编的变式训练，多为原创题目，分A、B两组，其中A组为基础题，B组为中档题。学案共分五部分：学习目标、知识梳理、概念辨析（针对学生在理解概念时易错、易混淆的地方，涉及的题目）、典例讲解（配有变式训练）、课堂小结、课后作业。
学习目标
理解充分条件、必要条件的定义，能准确判断 “若p，则q” 形式命题中p是q的充分条件或q是p的必要条件。掌握充分条件、必要条件的判断方法，能运用定义解决相关问题，提升逻辑推理素养。明晰充分条件、必要条件中的逻辑关系，规避常见错误。
知识梳理
一般地，“若p，则q” 为真命题，记作______，读作 “______”。这时我们说，p是q的______条件，q是p的______条件。如果 “若p，则q” 为假命题，那么由p推不出q，
记作______。此时，p不是q的______条件，q不是p的______条件。充分条件的本质：p成立能______q成立；必要条件的本质：q是p成立的______条件（即p成立必须要q成立）。
概念辨析
1下列说法正确的有（ ）
A. 若 “若p，则q” 为真，则p是q的充分条件
B. 若 “若q，则p” 为真，则p是q的必要条件
C. 若 “若p，则q” 为假，则p是q的充分条件
D. 若 “若q，则p” 为假，则q不是p的必要条件
2、关于充分条件和必要条件，下列说法错误的有（）
A. 若p是q的充分条件，则p成立时q一定成立
B. 若q是p的必要条件，则p成立时q可能成立
C. 若p不是q的充分条件，则p成立时q一定不成立
D. 若q不是p的必要条件，则p成立时q一定不成立
典例讲解
典例 1：判断p是q的充分条件下列 “若p，则q” 形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.
变式训练
A 组（基础题）
1、（单选题）若p：，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
2、（单选题）若p：四边形是正方形，q：四边形是矩形，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
3、（单选题）若p：，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
4、（多选题）下列命题中，p是q的充分条件的有（）
A. p：，q： B. p：两个角是对顶角，q：两个角相等
C. p：四边形是梯形，q：四边形是平行四边形 D. p：，q：
5（多选题）若p是q的充分条件，则下列说法正确的有（）
A. “若p，则q” 为真命题 B. p成立时q一定成立
C. q成立时p不一定成立 D. p不成立时q一定不成立
B 组（中档题）
1、（单选题）若p：函数是二次函数，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、（单选题）若p：，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、（单选题）若p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4（多选题）：下列命题中，p不是q的充分条件的有（）
A. p：，q：
B. p：，q：
C. p：三角形是锐角三角形，q：三角形是等腰三角形
D. p：，q：且
5（多选题）：已知p，q是两个命题，若p是q的充分条件，则下列等价说法正确的有（ ）
A. q是p的必要条件 B. “若p，则q” 为假
C. p成立能保证q成立 D. q不成立，则p一定不成立
典例 2：判断q是p的必要条件下列 “若p，则q” 形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数.
变式训练
A 组（基础题）
1、（单选题）若p：，q：，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
2、（单选题）若p：四边形是菱形，q：四边形的对角线互相平分，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
3、（单选题）：若p：，q：，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
4、（多选题）下列命题中，q是p的必要条件的有（）
A. p：，q：
B. p：两个角是同位角，q：两个角相等
C. p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形
D. p：，q：
B 组（中档题）
1、（单选题）若p：x是偶数，q：x是整数，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、（单选题）若p：直线，q：直线与的斜率相等，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、（多选题）下列命题中，q不是p的必要条件的有（）
A. p：，q： B. p：三角形是直角三角形，q：三角形是等腰三角形
C. p：，q： D. p：函数是二次函数，q：函数的图像是抛物线
4、（多选题）若q是p的必要条件，则下列说法正确的有（）
A. “若p，则q” 为真命题 B. p成立时q一定成立
C. q不成立时p一定不成立 D. q成立时p一定成立
课堂总结
定义注意事项：“p是q的充分条件”：p成立一定能保证q成立，但p不成立时q也可能成立；“q是p的必要条件”：p成立必须要q成立（若q不成立，则p一定不成立），但q成立时p不一定成立。
判断基本步骤：第一步：明确命题中p（条件）和q（结论）；第二步：判断 “若p，则q” 的真假：若为真（），则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若为假（），则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；第三步：结合定义下结论。
额外注意事项：充分、必要条件是逻辑推出关系，与命题真假直接相关；可通过举反例验证 “”（即找p成立但q不成立的情况）；要结合数学定理、定义（如平行四边形、相似三角形的判定与性质），同时关注特殊情况（如无理数相乘为有理数、等式中的情况等）。
课后作业
1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；
（2）若x是无理数，则也是无理数.
3. 如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.人教 A 版高中数学必修一第一章 集合与常用逻辑用语
第1.4.1节 《 充分条件与必要条件 》学案
本学案的亮点是：依托教材，变式教学；学案中的典例讲解环节中，每道典例均为教材中的原题，每个典例配备根据例题改编的变式训练，多为原创题目，分A、B两组，其中A组为基础题，B组为中档题。学案共分五部分：学习目标、知识梳理、概念辨析（针对学生在理解概念时易错、易混淆的地方，涉及的题目）、典例讲解（配有变式训练）、课堂小结、课后作业。
学习目标
理解充分条件、必要条件的定义，能准确判断 “若p，则q” 形式命题中p是q的充分条件或q是p的必要条件。掌握充分条件、必要条件的判断方法，能运用定义解决相关问题，提升逻辑推理素养。明晰充分条件、必要条件中的逻辑关系，规避常见错误。
知识梳理
一般地，“若p，则q” 为真命题，记作______，读作 “______”。这时我们说，p是q的______条件，q是p的______条件。如果 “若p，则q” 为假命题，那么由p推不出q，
记作______。此时，p不是q的______条件，q不是p的______条件。充分条件的本质：p成立能______q成立；必要条件的本质：q是p成立的______条件（即p成立必须要q成立）。
知识梳理答案: ；p推出q；充分；必要, ；充分；必要, 保证；必不可少
概念辨析
1下列说法正确的有（ ）
A. 若 “若p，则q” 为真，则p是q的充分条件
B. 若 “若q，则p” 为真，则p是q的必要条件
C. 若 “若p，则q” 为假，则p是q的充分条件
D. 若 “若q，则p” 为假，则q不是p的必要条件
解析：根据定义，“若p，则q” 为真（），则p是q的充分条件（A 正确）；“若q，则p” 为真（），等价于 “p是q的必要条件”（B 正确）；“若p，则q” 为假（），则p不是q的充分条件（C 错误）；“若q，则p” 为假（），则q不是p的必要条件（D 正确）。答案：ABD
2、关于充分条件和必要条件，下列说法错误的有（）
A. 若p是q的充分条件，则p成立时q一定成立
B. 若q是p的必要条件，则p成立时q可能成立
C. 若p不是q的充分条件，则p成立时q一定不成立
D. 若q不是p的必要条件，则p成立时q一定不成立
解析：A 选项，p是q的充分条件（），则p成立时q一定成立，A正确；B 选项，q是p的必要条件（），则p成立时q一定成立，不是 “可能”，B 错误；C 选项，p不是q的充分条件（），则p成立时q可能成立也可能不成立，不是 “一定不成立”，C 错误；D 选项，q不是p的必要条件（），则p成立时q可能成立，不是 “一定不成立”，D 错误。答案：BCD
典例讲解
典例 1：判断p是q的充分条件下列 “若p，则q” 形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.
【解析】（1）平行四边形判定定理，，p是q的充分条件。
（2）相似三角形判定定理，，p是q的充分条件。
（3）菱形性质定理，，p是q的充分条件。
（4）但，，p不是q的充分条件。
（5）等式性质，，p是q的充分条件。
（6）是无理数，但是有理数，，p不是q的充分条件。
变式训练
A 组（基础题）
1、（单选题）若p：，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
解析：时不一定（如），故；时一定，故。因此p不是q的充分条件。答案：C
2、（单选题）若p：四边形是正方形，q：四边形是矩形，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
解析：正方形是特殊的矩形，故，p是q的充分条件。答案：A
3、（单选题）若p：，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
解析：时，故，p是q的充分条件。答案：A
4、（多选题）下列命题中，p是q的充分条件的有（）
A. p：，q： B. p：两个角是对顶角，q：两个角相等
C. p：四边形是梯形，q：四边形是平行四边形 D. p：，q：
解析：A 中；B 中对顶角相等；C 中，梯形不是平行四边形，；
D 中，。答案：ABD
5（多选题）若p是q的充分条件，则下列说法正确的有（）
A. “若p，则q” 为真命题 B. p成立时q一定成立
C. q成立时p不一定成立 D. p不成立时q一定不成立
解析：p是q的充分条件（），故 A、B 正确；q成立时p可能成立（如p：，q：，时都成立），也可能不成立（如时q成立但p不成立），故 C 正确；p不成立时q可能成立（如时p不成立但q成立），故 D 错误。答案：ABC
B 组（中档题）
1、（单选题）若p：函数是二次函数，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：二次函数要求，故；时函数是二次函数，故，因此p是q的充分条件（也是必要条件）。答案：A
2、（单选题）若p：，q：，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：当且仅当，故，p是q的充分条件。答案：A
3、（单选题）若p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形，则p是q的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，故，p是q的充分条件。答案：A
4（多选题）：下列命题中，p不是q的充分条件的有（）
A. p：，q：
B. p：，q：
C. p：三角形是锐角三角形，q：三角形是等腰三角形
D. p：，q：且
解析：A 中（如）；B 中（p是充分条件）；
C 中锐角三角形不一定是等腰三角形（）；D 中且（如）。答案：ACD
5（多选题）：已知p，q是两个命题，若p是q的充分条件，则下列等价说法正确的有（ ）
A. q是p的必要条件 B. “若p，则q” 为假
C. p成立能保证q成立 D. q不成立，则p一定不成立
解析：p是q的充分条件（），故 A（q是p的必要条件）、C 正确；“若p，则q” 为真与若p是q的充分条件的说法相同，B错；由逆否命题，q不成立则p不成立（D 正确），答案：ACD。
典例 2：判断q是p的必要条件下列 “若p，则q” 形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数.
解：（1）平行四边形性质定理，，q是p的必要条件。
（2）相似三角形性质定理，，q是p的必要条件。
（3）如图，四边形对角线互相垂直但不是菱形，，q不是p的必要条件。
（4）时，，q是p的必要条件。
（5）但，，q不是p的必要条件。
（6）是无理数，但1不是无理数，，q不是p的必要条件。
变式训练
A 组（基础题）
1、（单选题）若p：，q：，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
解析：，故q是p的必要条件。答案：B
2、（单选题）若p：四边形是菱形，q：四边形的对角线互相平分，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
解析：菱形的对角线互相平分，故，q是p的必要条件。答案：B
3、（单选题）：若p：，q：，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分也不是必要条件 D. 无法判断
解析：，故q是p的必要条件。答案：B
4、（多选题）下列命题中，q是p的必要条件的有（）
A. p：，q：
B. p：两个角是同位角，q：两个角相等
C. p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形
D. p：，q：
解析：A 中；B 中同位角不一定相等（）；C 中等边三角形是等腰三角形（）；D 中（如）。答案：AC
B 组（中档题）
1、（单选题）若p：x是偶数，q：x是整数，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：偶数是整数，故，q是p的必要条件。答案：B
2、（单选题）若p：直线，q：直线与的斜率相等，则q是p的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：时，若两直线垂直于x轴，斜率不存在（）；斜率相等时，两直线可能平行或重合（）。因此q不是p的必要条件。答案：D
3、（多选题）下列命题中，q不是p的必要条件的有（）
A. p：，q： B. p：三角形是直角三角形，q：三角形是等腰三角形
C. p：，q： D. p：函数是二次函数，q：函数的图像是抛物线
解析：A 中（q是必要条件）；B 中直角三角形不一定是等腰三角形（）；C 中（如）；D 中二次函数的图像是抛物线（，q是必要条件）。答案：BC
4、（多选题）若q是p的必要条件，则下列说法正确的有（）
A. “若p，则q” 为真命题 B. p成立时q一定成立
C. q不成立时p一定不成立 D. q成立时p一定成立
解析：q是p的必要条件（），故 A、B 正确；由逆否命题，q不成立则p不成立（C 正确）；q成立时p可能成立（如p：，q：，时都成立），也可能不成立（如时q成立但p不成立），故 D 错误。答案：ABC
课堂总结
定义注意事项：“p是q的充分条件”：p成立一定能保证q成立，但p不成立时q也可能成立；“q是p的必要条件”：p成立必须要q成立（若q不成立，则p一定不成立），但q成立时p不一定成立。
判断基本步骤：第一步：明确命题中p（条件）和q（结论）；第二步：判断 “若p，则q” 的真假：若为真（），则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若为假（），则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；第三步：结合定义下结论。
额外注意事项：充分、必要条件是逻辑推出关系，与命题真假直接相关；可通过举反例验证 “”（即找p成立但q不成立的情况）；要结合数学定理、定义（如平行四边形、相似三角形的判定与性质），同时关注特殊情况（如无理数相乘为有理数、等式中的情况等）。
课后作业
1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则；
（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；
（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件
【详解】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件；
（2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件；
（3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件.
2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若直线l与有且仅有一个交点，则l为的一条切线；
（2）若x是无理数，则也是无理数.
【答案】（1）q是p的必要条件；（2）q不是p的必要条件
【详解】（1）这是圆的切线定义，，所以q是p的必要条件；
（2）由于是无理数，但不是无理数，，所以q不是p的必要条件.
3. 如图，直线a与b被直线1所截，分别得到了，，和.请根据这些信息，写出几个“”的充分条件和必要条件.
【答案】充分条件和必要条件见解析
【详解】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到，所以 “”的充分条件：，，；因为可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，所以“”的必要条件：，，.

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