资源简介

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
【教材课后习题P98】
1．判断直线与圆的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标．
2．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：
（1）圆心为，且与直线相切；
（2）圆心在直线上，半径为2，且与直线相切；
（3）半径为，且与直线相切于点．
3．求直线被圆截得的弦的长．
4．求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．
5．求与圆关于直线对称的圆的方程．
6．正方形ABCD的边长为a，在边BC上取线段，在边DC的延长线上取．试证明：直线AE与BF的交点M位于正方形ABCD的外接圆上．
7．求经过点以及圆与圆交点的圆的方程．
8．求圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点的圆的方程．
9．求圆与圆的公共弦的长．
10．求经过点M（3，﹣1）且与圆C：x2+y2+2x﹣6y+5=0相切于点N（1，2）的圆的方程．
11．如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）．
12．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值．
13．已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？
14．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦．
（1）当时，求AB的长．
（2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
15．已知点和以点Q为圆心的圆．
（1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程；
（2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
（3）求直线AB的方程．
【教材习题答案】
1．答案：直线与圆相切；
解析：圆心坐标为 ，则圆心到到直线的距离为
所以直线与圆相切，
联解得所以公共点坐标为
2．答案：（1）；（2） 或；（3） 或 .
解析：（1）因为圆与直线相切，
所以点到直线的距离即为圆的半径，
所以，
所以圆的方程为：，
图像如图：
（2）因为圆心在直线上，半径为2，
所以设圆心坐标为，
又因为所求圆与直线相切，
所以，解得或，
所以所求圆的方程为 或，
图像如图：
（3）半径为，且与直线 相切于点，
所以设圆心坐标为，则，解得或，
所以所求圆的方程为： 或 ，
图像如下：
3．答案：
解析：将圆的方程化为标准式，可得，
所以圆心坐标为，半径为，
所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为，
所以根据几何法得弦长为．
所以弦的长为
4．答案：或
解析：设所求的圆的方程是，则圆心为，半径为. 令，得，
由圆与轴相切，得，即①
又圆心到直线的距离为.
由已知，得，
即②
又圆心在直线上，则③
联立①②③，解得或
故所求圆的方程是或.
5．答案：
解析：圆可化为：，
所以其圆心，半径.
设对称的圆的圆心，则有：，解得：，
所以对称的圆的方程为：.
6．答案：证明见解析
解析：如图建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，则直线方程为，直线的方程为
则解得，即，所以，即，所以点在圆上；
7．答案：
解析：联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：.
8．答案：
解析：设经过两圆交点的圆的方程为，即，圆心坐标为 ，将其代入直线解得 ．所以圆的方程为．
故所求圆方程为：
9．答案：
解析：圆与圆，两式相减得，即公共弦方程为，圆的圆心坐标为，半径，圆心到公共弦的距离，故公共弦
10．答案：（x﹣）2+（y﹣）2=．
解析：设所求圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2
已知圆的圆心：（﹣1，3），半径=，
由题意可得：（3﹣a）2+（﹣1﹣b）2=r2，（1﹣a）2+（2﹣b）2=r2，（a+1）2+（b﹣3）2=，
解得a=，b=，r2=
∴所求圆：（x﹣）2+（y﹣）2=
11．答案：
解析：根据题意，以点为坐标原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图，

则，，，
由于，所以直线的方程为，
故设，则，
由于圆与圆相外切，故，解方程得
所以cm.
故A，C两齿轮的中心距离约为.
12．答案：最大值为88，最小值为72
解析：设，
因为，，三点，
所以
，
，
因为点P在圆上运动，
则，解得，
所以，
当时，取的最大值88，
当时，取的最小值72.
13．答案：
解析：因为圆的方程为，所以圆心为，半径为
因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1，
所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件，
直线的一般式方程为：，
所以圆心到直线的距离为：，解得，
故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
14．答案：（1）;（2）.
解析：（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点，
所以直线AB的方程为：，
圆心到直线AB的距离为，则，
所以；
（2）当弦被点平分时，AB与垂直，
因为，所以，
直线AB的点斜式方程为
即.
15．答案：(1)作图见解析，； (2)证明见解析；(3) .
解析：(1)易知，所以PQ的中点，
又因为 ，圆的半径为，
所以圆的方程为.作图如下：
(2)因为PQ为直径，在圆Q上，所以，
所以直线PA，PB是圆Q的切线.
(3) 圆的方程可化为，
圆Q的方程可化为，
两圆方程相减，得，
所以直线AB的方程为.
【定点变式训练】
1.已知圆，圆，则圆，的位置关系为( )
A.内含 B.外切 C.相交 D.外离
2.圆与圆的公切线条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
4.与圆的公切线的方程可能为( )
A. B. C. D.
5.圆的方程为，圆的圆心为点.
（1）若圆与圆外切，求圆的方程；
（2）若圆与圆交于A，B两点，且，求圆的方程.
【变式训练答案】
1.答案：C
解析：圆，化为，圆心为，半径为；圆，化为，圆心为，半径为.两圆心距离为，因为，所以圆与圆相交.故选C.
2.答案：B
解析：两圆的圆心分别为，，半径分别为，，圆心距，
所以，所以两圆相交，有2条公切线.故选B.
3.答案：A
解析：已知直线，变形整理得，
由得即直线l恒过定点，代入圆C的方程的左端有，即点在圆内，所以直线l与圆C相交.故选A.
4.答案：CD
解析：圆O的圆心为，半径为，圆M的圆心为，半径，
由题意得，圆O与圆M的半径之和为，半径之差为0，因为，所以圆O与圆M相交.
由题意得，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为2.
设公切线的方程为，即，由，得，
所以公切线的方程为或.故选CD.
5.答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为圆的方程为，
所以圆的圆心坐标为，半径为2.
又因为圆的圆心为点，所以圆心距为.
又圆与圆外切，所以所求圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）设圆的方程为.
因为圆的方程为，
所以两圆的方程相减得两圆公共弦AB所在直线的方程，为.
圆心到直线AB的距离为，解得或.
故圆的方程为或.

展开更多......

收起↑